انتقل إلى المحتوى
MathSolver Pro
  • افتح حلّال الرياضيات
  • اسأل المعلم الذكي
  • ابحث عن مقرر AP
  • أنشئ اختبارًا قصيرًا
  • افتح الآلة الحاسبة
  • الآلة الحاسبة البيانية
  • تصفح كل الحاسبات
  • اقرأ أدلة الرياضيات
↑ ↓Enter للفتح · Esc للإغلاق
حلّ مسألة
المتتاليات والمتسلسلاتالجبرالجامعة≈ 2:39

أوجد قيمة مجموع 1/(n(n+2)) من n=1 إلى ∞

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: المتسلسلة تقاربية (اختبار المقارنة للنهايات مع Σ 1/n^2); المجموع ≈ 0.75 (يطابق 3/4 لأكثر من 10 أرقام).

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (1.0 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

  1. 1. المسألة
    مثال محلول
    ∑n=1∞1n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)}
  2. 2. خطوة بخطوة
    1. ∑n=1∞1n(n+2)\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)}
      اكتب المتسلسلة
    2. lim⁡n→∞1n(n+2)=0\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)} = 0
      اختبار الحد النوني
    3. lim⁡n→∞an1/n2=1\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1
      المقارنة النهائية مع متسلسلة p
    4. قدّر المجموع عدديًا
  3. 3. الإجابة
    ∑n=1∞1n(n+2) تتقارب≈0.75\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \left( n+2\right)} \ \text{تتقارب} \approx 0.75

    limit comparison with Σ 1/n^2 ⇒ converges, S ≈ 0.75 (matches 3/4 to 10+ digits)

  4. 4. التحقق
    • المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ = 0.66287879، S₁₀₀ = 0.74014754، S₁₀₀₀ = 0.7490015، S₁₀₀₀₀ = 0.74990001

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد قيمة مجموع 1/(n(n زائد 2)) من n يساوي 1 إلى ما لا نهاية. قرر ما إذا كانت Σ 1 / (n(n زائد 2)) (n من 1 إلى ∞) تقاربية أم تباعدية.

خطوة بخطوة. اكتب المتسلسلة. Σ a(n) لـ n يساوي 1, 2, 3، … مع a(n) يساوي 1 / (n(n زائد 2)). الحدود الأولى: 0.333333, 0.125, 0.0666667, 0.0416667، …. اختبار الحد النوني. lim a(n) يساوي 0، لذا فاختبار التباعد غير حاسم؛ فالحدود تتناقص فعلًا، ولذلك يلزم اختبار أدق. المقارنة النهائية مع متسلسلة p. حدود موجبة: تتناقص الحدود تقريبًا مثل 1/n تربيع (تقدير من a(2N)/a(N))، لذا نقارن مع Σ 1/n تربيع: lim a(n) ضرب n تربيع يساوي 1. والنهاية عدد موجب منتهٍ، لذا تسلك المتسلسلة تمامًا مثل متسلسلة p ‏Σ 1/n تربيع، التي تتقارب لأن p أكبر من 1. قدّر المجموع عدديًا. حُسبت المجاميع الجزئية S N لعدة قيم N واستُكملت إلى N → ∞ (استكمال ريتشاردسون؛ تُؤخذ أولًا المتوسطات للحدود المتناوبة). يتفق استكمالان مستقلان بدقة أفضل من 10 أس ناقص 10، ويعطيان S تقريبًا 0.75. أي صيغة مغلقة معروضة هي مطابقة عددية وليست برهانًا.

الإجابة. إذن الإجابة هي المتسلسلة تقاربية (اختبار المقارنة للنهايات مع Σ 1/n تربيع); المجموع تقريبًا 0.75 (يطابق 3 على 4 لأكثر من 10 أرقام). تتقارب المتسلسلة حين تقترب مجاميعها الجزئية من عدد منتهٍ. ولكي يحدث ذلك يجب أن تؤول الحدود إلى 0، لكن هذا وحده لا يكفي (فالمتسلسلة التوافقية تتباعد)، لذا يُستخدم للحسم اختبار المقارنة أو النسبة أو الجذر أو المتسلسلة المتناوبة أو التكامل.

التحقق. المجاميع الجزئية (دليل داعم، لا برهان): S₁₀ يساوي 0.66287879، S₁₀₀ يساوي 0.74014754، S₁₀₀₀ يساوي 0.7490015، S₁₀₀₀₀ يساوي 0.74990001.

دروس مشابهة

أوجد قيمة مجموع 1/(n(n+2)) من n=1 إلى ∞ — درس فيديو خطوة بخطوة