انتقل إلى المحتوى
MathSolver Pro
  • افتح حلّال الرياضيات
  • اسأل المعلم الذكي
  • ابحث عن مقرر AP
  • أنشئ اختبارًا قصيرًا
  • افتح الآلة الحاسبة
  • الآلة الحاسبة البيانية
  • تصفح كل الحاسبات
  • اقرأ أدلة الرياضيات
↑ ↓Enter للفتح · Esc للإغلاق
حلّ مسألة
النهاياتالتفاضل والتكاملالجامعة≈ 2:19

أوجد lim x→0 (1 - cos(2x))/x²

درس متحرك خطوة بخطوة. اضغط تشغيل لمشاهدة كل خطوة مع الترجمة النصية، أو اقرأ الخطوات والنص أدناه. الإجابة: النهاية = 2.

فيديو مسجل: الصوت والكتابة في الصورة باللغة الإنجليزية. الترجمة: العربية. للحصول على التعليق الصوتي بهذه اللغة، افتح النسخة التفاعلية.

فيديو باللغة الإنجليزية: تنزيل MP4 (0.9 MB) · الترجمة (WebVTT): العربية · ترجمة مصاحبة باللغة الإنجليزية (WebVTT)

الخطوات على الشاشة

  1. 1. المسألة
    مثال محلول
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}}
  2. 2. الخطوات، الجزء 1
    1. lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=lim⁡x→02sin⁡(2x)2x\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x}
      صيغة غير معيّنة 0/0: طبّق قاعدة لوبيتال
    2. lim⁡x→02sin⁡(2x)2x=lim⁡x→0sin⁡(2x)x\lim_{x \to 0} \frac{2\sin\left(2x\right)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x}
      بسّط
    3. lim⁡x→0sin⁡(2x)x=lim⁡x→02cos⁡(2x)1\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left(2x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1}
      صيغة غير معيّنة 0/0: طبّق قاعدة لوبيتال
    4. lim⁡x→02cos⁡(2x)1=lim⁡x→02cos⁡(2x)\lim_{x \to 0} \frac{2\cos\left(2x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right)
      بسّط
  3. 3. الخطوات، الجزء 2
    1. lim⁡x→02cos⁡(2x)=2cos⁡(2(0))=2\lim_{x \to 0} 2\cos\left(2x\right) = 2\cos\left(2\left(0\right)\right) = 2
      التعويض المباشر
  4. 4. الإجابة
    lim⁡x→01−cos⁡(2x)x2=2\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos\left(2x\right)}{{x}^{2}} = 2

    lim x→0 (1 - cos(2x)) / x² = 2

  5. 5. التحقق
    • قيم عددية من اليمين: f(0.01) = 1.9999333, f(0.001) = 1.9999993, f(0.0001) = 2, f(0.00001) = 2.0000002 (لا يوجد اتجاه واضح عند هذه الدقة)
    • قيم عددية من اليسار: f(-0.01) = 1.9999333, f(-0.001) = 1.9999993, f(-0.0001) = 2, f(-0.00001) = 2.0000002 (لا يوجد اتجاه واضح عند هذه الدقة)

النص الكامل

المسألة. إليك المسألة: أوجد lim x- أكبر من 0 (1 ناقص cos(2x))/x تربيع. أوجد نهاية (1 ناقص cos(2x)) / x تربيع عندما x → 0.

الخطوات، الجزء 1. صيغة غير معيّنة 0 على 0: طبّق قاعدة لوبيتال. اشتق البسط والمقام كلًّا على حدة (وهذه ليست قاعدة القسمة). بسّط. صيغة غير معيّنة 0 على 0: طبّق قاعدة لوبيتال. اشتق البسط والمقام كلًّا على حدة (وهذه ليست قاعدة القسمة). بسّط.

الخطوات، الجزء 2. التعويض المباشر. العبارة متصلة عند x يساوي 0، لذا تساوي النهاية قيمتها هناك.

الإجابة. إذن الإجابة هي النهاية يساوي 2. تصف النهاية القيمة التي تقترب منها الدالة، لا بالضرورة القيمة التي تأخذها. وحين يعطي التعويض صيغة غير معيّنة، تُعاد كتابة العبارة (بقاعدة لوبيتال أو بالمرافق أو باللوغاريتمات) حتى ينجح التعويض.

التحقق. قيم عددية من اليمين: f(0.01) يساوي 1.9999333, f(0.001) يساوي 1.9999993, f(0.0001) يساوي 2, f(0.00001) يساوي 2.0000002 (لا يوجد اتجاه واضح عند هذه الدقة). قيم عددية من اليسار: f(سالب 0.01) يساوي 1.9999333, f(سالب 0.001) يساوي 1.9999993, f(سالب 0.0001) يساوي 2, f(سالب 0.00001) يساوي 2.0000002 (لا يوجد اتجاه واضح عند هذه الدقة).

دروس مشابهة

أوجد lim x→0 (1 - cos(2x))/x² — درس فيديو خطوة بخطوة