AbleitungenAnalysisHochschule≈ 1:26

Ableitung von (√(eˣ+1))(cos(sin(x)))

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Schritte auf dem Bildschirm

1. Die Aufgabe
Musterlösung
$\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right]$
2. Schritte, Teil 1
1. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
  Produktregel: (uv)′ = u′v + uv′
2. $\frac{d}{dx}\left[\cos\left(\sin\left( x\right)\right)\right] = -\left(\sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)\right)$
  Kettenregel — d/dx[cos u] = −sin u · u′
3. $\frac{d}{dx}\left[\sin\left( x\right)\right] = \cos\left( x\right)$
  d/dx[sin x] = cos x
4. $\frac{d}{dx}\left[\sqrt{{e}^{x}+1}\right] = \frac{\frac{{e}^{x}}{2}}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
  Kettenregel — d/dx[√u] = u′/(2√u)
3. Schritte, Teil 2
1. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}+1\right] = {e}^{x}$
  Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
2. $\frac{d}{dx}\left[{e}^{x}\right] = {e}^{x}$
  Ableitung der Exponentialfunktion: d/dx[eᵘ] = eᵘ·u′
3. $f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
  Zusammenfassen und vereinfachen
4. Die Antwort
$f'(x) = \frac{\frac{{e}^{x} \cos\left(\sin\left( x\right)\right)}{2}-{\sqrt{{e}^{x}+1}}^{2} \sin\left(\sin\left( x\right)\right) \cos\left( x\right)}{\sqrt{{e}^{x}+1}}$
f'(x) = (e^x·cos(sin(x)) / 2 - sqrt(e^x + 1)²·sin(sin(x))·cos(x)) / sqrt(e^x + 1)
5. Probe
- Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen ✓

Transkript

Die Aufgabe. Hier ist die Aufgabe: Ableitung von (sqrt(e hoch x plus 1))(cos(sin(x))). Bestimme die Ableitung von (sqrt(e hoch x plus 1)) (cos(sin(x))) nach x.

Schritte, Teil 1. Produktregel: (uv) Strich gleich u Strich v plus uv Strich. Kettenregel — d nach d x[cos u] gleich minus sin u mal u Strich. d nach d x[sin x] gleich cos x. Kettenregel — d nach d x[die Wurzel aus u] gleich u Strich /(2die Wurzel aus u.

Schritte, Teil 2. Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten. Ableitung der Exponentialfunktion: d nach d x[eᵘ] gleich eᵘ mal u Strich. Zusammenfassen und vereinfachen.

Die Antwort. Die Antwort lautet also f Strich von x gleich (e hoch x mal cos(sin(x)) / 2 minus sqrt(e hoch x plus 1) hoch zwei mal sin(sin(x)) mal cos(x)) / sqrt(e hoch x plus 1). Die Ableitung wird von außen nach innen gebildet: Summen werden in Summanden zerlegt, konstante Faktoren bleiben stehen, für Produkte und Quotienten gelten eigene Regeln, und jede verkettete Funktion wird mit der Ableitung ihrer inneren Funktion multipliziert (Kettenregel).

Probe. Numerisch an 8 Stichprobenstellen mit einem unabhängigen symbolischen Ableitungsprogramm abgeglichen, das stimmt.

Schritte auf dem Bildschirm

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