Anleitungen, die das Verfahren hinter den häufigsten Aufgaben erklären, mit Rechenbeispielen, die du mit den Rechnern überprüfen kannst.
Algebra
Eine lineare Gleichung löst man, indem man in umgekehrter Reihenfolge rückgängig macht, was mit der Unbekannten geschehen ist, und dabei beide Seiten stets gleich hält. Diese Anleitung macht daraus ein Verfahren in fünf Schritten und behandelt alle gängigen Varianten.
Algebra
Faktorisieren ist am schnellsten, wenn es klappt, die quadratische Ergänzung erklärt, woher die Formel kommt, und die Mitternachtsformel funktioniert immer. So wählst du den passenden Weg, mit Probe zu jedem Beispiel.
Algebra
Faktorisieren ist Ausmultiplizieren rückwärts. Folge immer demselben Fahrplan, beginnend mit dem gemeinsamen Faktor, und fast jedes Polynom aus der Algebra zerfällt in einfache Faktoren.
Algebra
Ein Gleichungssystem verlangt Werte, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Einsetzungs- und Additionsverfahren funktionieren bei jedem linearen System; die Kunst besteht darin, das Verfahren mit dem geringsten Rechenaufwand zu wählen.
Algebra
Vereinfachen heißt, einen Term in eine gleichwertige, kürzere Form umzuschreiben, ohne seinen Wert für irgendeinen zulässigen Wert zu ändern. Wenige Regeln in einer sinnvollen Reihenfolge decken fast alle Fälle ab.
Algebra
Eine Ungleichung löst man fast wie eine Gleichung, mit einer zusätzlichen Regel und einer anderen Art von Antwort: einer Menge von Werten statt einer einzigen Zahl. Diese Anleitung behandelt alle gängigen Fälle.
Algebra
Die quadratische Ergänzung schreibt $x^2 + bx$ als vollständiges Quadrat minus eine Konstante. Das Verfahren löst jede quadratische Gleichung, liefert den Scheitelpunkt einer Parabel, führt zur Mitternachtsformel und taucht bei Kreisen und in der Analysis wieder auf.
Funktionen
Ein Logarithmus beantwortet eine einzige Frage: Mit welchem Exponenten muss man die Basis potenzieren, um diese Zahl zu erhalten? Alle Regeln und Techniken in dieser Anleitung folgen aus dieser Idee.
Funktionen
Der Definitionsbereich ist die Menge der Werte, die eine Funktion als Eingabe akzeptiert; der Wertebereich ist die Menge der Werte, die sie liefern kann. Den Definitionsbereich findest du, indem du nach verbotenen Werten suchst; den Wertebereich, indem du fragst, welche Werte tatsächlich angenommen werden.
Funktionen
Funktionen zu verketten heißt, die Ausgabe einer Funktion als Eingabe einer anderen zu verwenden. So entstehen komplizierte Funktionsterme aus einfachen Bausteinen, und diese Bausteine zu erkennen ist unverzichtbar für Umkehrfunktionen und für die Kettenregel in der Analysis.
Funktionen
Eine Umkehrfunktion macht rückgängig, was die ursprüngliche Funktion tut. Bildet $f$ die 2 auf 7 ab, bildet die Umkehrfunktion 7 wieder auf 2 ab. Diese Anleitung erklärt, wann die Umkehrfunktion existiert, wie man ihren Funktionsterm findet und wie man ihn prüft.
Funktionen
Polynomfunktionen sind nach Geraden und Parabeln die einfachsten Funktionen, und ihre Graphen folgen ein paar verlässlichen Regeln. Kennt man Grad, Leitkoeffizient und Nullstellen, kann man fast jede ganzrationale Funktion von Hand skizzieren.
Trigonometrie
Der Einheitskreis verwandelt die Trigonometrie von einer Liste auswendig gelernter Werte in ein Bild, das man lesen kann. Jeder Winkel entspricht einem Punkt auf dem Kreis, und die Koordinaten dieses Punktes sind Kosinus und Sinus des Winkels.
Trigonometrie
Eine trigonometrische Identität ist eine Gleichung, die für jeden Winkel gilt, für den beide Seiten definiert sind. Eine kurze Liste von Formeln, alle aus dem Einheitskreis hergeleitet, genügt, um Terme zu vereinfachen, exakte Werte zu bestimmen, Aussagen zu beweisen und Gleichungen zu lösen.
Trigonometrie
Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck jede Seite geteilt durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl ergibt. Mit ihm löst man ein Dreieck, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind, und mit etwas Vorsicht auch, wenn zwei Seiten und der Gegenwinkel einer davon bekannt sind.
Trigonometrie
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf jedes Dreieck. Mit ihm bestimmst du die dritte Seite, wenn zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bekannt sind, und jeden Winkel, wenn alle drei Seiten bekannt sind.
Trigonometrie
Ein Dreieck zu berechnen heißt, aus den bekannten Angaben alle drei Seiten und alle drei Winkel zu bestimmen. Welches Werkzeug du brauchst, hängt davon ab, welche drei Stücke du kennst: Deshalb ist der erste Schritt immer, den Fall zu erkennen.
Analysis
Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, wenn ihre Variable sich einer Zahl nähert, ganz gleich, ob die Funktion diesen Wert erreicht oder nicht. Grenzwerte sind die Grundlage von Ableitungen, Integralen und Reihen: Sie sicher zu berechnen ist die erste echte Fähigkeit der Analysis.
Analysis
Die Ableitung einer Funktion misst, wie schnell sich ihr Wert ändert, wenn sich die Variable ändert, und zwar in einem bestimmten Moment. Grafisch ist sie die Steigung der Tangente; algebraisch ist sie der Grenzwert der mittleren Änderungsraten über immer kleinere Intervalle.
Analysis
Ableitungen über die Grenzwertdefinition zu berechnen ist mühsam. Eine kleine Zahl von Regeln, jede ein einziges Mal aus dieser Definition bewiesen, erlaubt es, fast jede Formel in wenigen Zeilen abzuleiten. Dieser Leitfaden stellt jede Regel vor, erklärt, warum sie funktioniert, und zeigt, wie man sie kombiniert.
Analysis
Ein Integral summiert unendlich viele winzige Teile zu einer Gesamtgröße: einer Fläche, einer Strecke, einem Volumen oder jeder anderen angesammelten Größe. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung verbindet dieses Summieren mit Stammfunktionen, und genau das macht Integrale in der Praxis berechenbar.
Analysis
Ein unbestimmtes Integral ist eine Familie von Funktionen, den Stammfunktionen, geschrieben mit einer Konstanten $+ C$. Ein bestimmtes Integral hat Integrationsgrenzen und liefert eine einzige Zahl, einen orientierten Flächeninhalt oder eine angesammelte Gesamtgröße. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung erlaubt es, das zweite mithilfe des ersten zu berechnen.
Analysis
Implizites Differenzieren liefert dy/dx für Kurven, die durch eine Gleichung in x und y gegeben sind, ohne y vorher freizustellen. Man leitet beide Seiten nach x ab, behandelt y als Funktion von x, um die Kettenregel anzuwenden, und stellt zum Schluss nach dy/dx um.
Analysis
Eine Taylorreihe schreibt eine Funktion als unendliches Polynom, das aus ihren Ableitungen an einer einzigen Stelle aufgebaut ist. Bricht man die Reihe nach einigen Gliedern ab, erhält man ein Taylorpolynom, eine leicht berechenbare Näherung, deren Fehler sich abschätzen lässt.
Analysis
Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl streben. Statt diese Zahl zu berechnen, entscheiden Konvergenzkriterien, ob sie existiert, und jedes passt zu einer bestimmten Form der Reihenglieder. Die eigentliche Fähigkeit besteht darin, zu erkennen, welches Kriterium zu welcher Reihe passt.
Lineare Algebra
Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema aus Zeilen und Spalten. Matrizen speichern Daten kompakt und stellen vor allem lineare Abbildungen und Gleichungssysteme dar. Dieser Leitfaden stellt die Schreibweise und die Grundrechenarten vor, mit Schwerpunkt auf der Matrizenmultiplikation.
Lineare Algebra
Die Determinante ist eine einzelne Zahl, die aus einer quadratischen Matrix berechnet wird. Sie zeigt, ob die Matrix invertierbar ist, wie sie Flächen und Volumen skaliert und ob sie die Orientierung umkehrt. Dieser Leitfaden stellt alle gängigen Rechenverfahren mit ausführlichen Beispielen vor.
Lineare Algebra
Die Inverse einer quadratischen Matrix macht rückgängig, was die Matrix bewirkt, so wie die Division die Multiplikation rückgängig macht. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von null verschieden ist. Dieser Leitfaden zeigt die schnelle Formel für 2-mal-2-Matrizen, das allgemeine Gauß-Jordan-Verfahren und wie Inverse Gleichungssysteme lösen.
Lineare Algebra
Ein Eigenvektor einer Matrix ist eine Richtung, die die Matrix nur streckt oder umkehrt, ohne sie je zu drehen, und der Eigenwert ist der Streckfaktor. Sie zeigen das wesentliche Verhalten einer Matrix und sind die Grundlage der Diagonalisierung, der Stabilitätsanalyse, der Markow-Ketten und der Datenkompression.
Lineare Algebra
Das Skalarprodukt verbindet zwei Vektoren zu einer einzigen Zahl, die misst, wie sehr sie in dieselbe Richtung zeigen. Mit ihm bestimmt man den Winkel zwischen zwei Vektoren, prüft, ob sie orthogonal sind, projiziert einen Vektor auf einen anderen und berechnet in der Physik die Arbeit einer Kraft.
Lineare Algebra
Das Kreuzprodukt, auch Vektorprodukt genannt, multipliziert zwei Vektoren im Raum und liefert einen neuen Vektor, der zu beiden orthogonal ist. Sein Betrag ist gleich dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms, was es zum Standardwerkzeug für Normalenvektoren, Flächen, Drehmomente und Volumen macht.
Statistik
Mittelwert, Median und Modus beschreiben die Mitte eines Datensatzes, Spannweite und Standardabweichung seine Streuung. Zu wissen, wie man jedes dieser Maße berechnet und wann es eine ehrliche Zusammenfassung liefert, ist die Grundlage der Statistik.
Statistik
Die Standardabweichung misst, wie weit die Daten typischerweise vom Mittelwert entfernt liegen. Diese Anleitung zeigt die Berechnung Schritt für Schritt, erklärt, wann man durch n und wann durch n minus 1 teilt, und wie man das Ergebnis anschließend deutet.
Statistik
Eine Wahrscheinlichkeit misst die Chance eines Ereignisses auf einer Skala von 0 bis 1. Einige wenige Regeln für das Gegenereignis, die Vereinigung, unabhängige und abhängige Ereignisse und die bedingte Wahrscheinlichkeit lösen die meisten Aufgaben, und wer die klassischen Fallstricke kennt, vermeidet die meisten Fehler.
Statistik
Ein z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert über oder unter dem Mittelwert liegt. Mit ihm lassen sich Werte auf verschiedenen Skalen vergleichen und, wenn die Daten normalverteilt sind, jeder Wert in ein Perzentil oder eine Wahrscheinlichkeit umrechnen.
Statistik
Permutationen und Variationen zählen Anordnungen, bei denen die Reihenfolge zählt, Kombinationen zählen Auswahlen, bei denen sie keine Rolle spielt. Alle folgen aus dem allgemeinen Zählprinzip und den Fakultäten und stecken hinter Wahrscheinlichkeitsrechnungen von Kartenspielen bis zum Lotto.
Lerntipps
Mathe lernt man durch Tun, nicht durch Lesen. Kurze, regelmäßige Einheiten mit aktivem Aufgabenlösen, zeitlich verteilt und thematisch gemischt, verbunden mit dem Verständnis jeder Methode, bauen Fähigkeiten auf, die bis zur Prüfung und weit darüber hinaus halten.
Lerntipps
Flüchtigkeitsfehler sind fast nie Zufall. Die meisten fallen in wenige vorhersehbare Kategorien wie vergessene Minuszeichen, falsch angewandtes Distributivgesetz und falsch gelesene Aufgaben, und für jede Kategorie gibt es eine bestimmte Gewohnheit, die sie verhindert.
Lerntipps
Fast jedes Matheergebnis lässt sich ohne Lösungsblatt überprüfen. Einsetzen in die Gleichung, Rückwärtsrechnen, Überschlagen, spezielle Werte testen und Einheiten kontrollieren finden die allermeisten Fehler in einem Bruchteil der Zeit, die die Aufgabe selbst gekostet hat.
Lerntipps
Eine gute Vorbereitung beginnt Wochen vorher. Finde heraus, was drankommt, ermittle deine schwachen Themen, übe mit alten Prüfungen unter Zeitdruck, plane deine Zeit und nutze die letzten Tage zum Wiederholen, nicht zum Lernen von Neuem.
Lerntipps
Nicht jedes Üben ist gleich viel wert. Effektiv Mathe zu üben heißt, gezielt Schwachstellen anzugehen, Aufgabentypen zu mischen, Einheiten zu verteilen, die Aufgabenform zu variieren und sich sofort zu korrigieren, damit jede Stunde eine dauerhafte Fertigkeit hinterlässt und keine flüchtige Vertrautheit.
Lerntipps
Der Mathe-Teil des digitalen SAT umfasst 44 Aufgaben in zwei adaptiven Modulen zu je 35 Minuten, und ein Taschenrechner ist durchgehend erlaubt. Geprüft werden Algebra, fortgeschrittene Mathematik, Problemlösen und Datenanalyse sowie Geometrie und Trigonometrie; belohnt werden sichere Algebra, geschickter Rechnereinsatz und ein gleichmäßiges Tempo.
Lerntipps
Der Mathe-Teil des neuen ACT umfasst 45 Aufgaben in 50 Minuten mit jeweils vier Antwortmöglichkeiten, und ein zugelassener Taschenrechner ist durchgehend erlaubt. Er reicht von Grundrechenarten bis zur Trigonometrie: Breite Sicherheit und ein gleichmäßiges Tempo zählen also mehr als ein bestimmtes fortgeschrittenes Thema.
Lerntipps
Die AP-Calculus-Prüfungen bestehen aus einem Multiple-Choice-Teil und einem Teil mit offenen Aufgaben, die jeweils die Hälfte der Note ausmachen, mit Abschnitten mit und ohne Taschenrechner. Erfolg hängt von sicherem Ableiten und Integrieren, klaren Begründungen und Übung mit offenen Aufgaben aus früheren Jahren ab.
Jeder Artikel in diesem Blog behandelt ein Thema von Anfang bis Ende. Er beginnt mit der Definition oder Regel, nennt die wichtigste Formel und löst dann mehrere vollständige Beispiele Zeile für Zeile, damit du siehst, warum jeder Schritt erlaubt ist, und nicht nur, wie die Antwort lautet. Jede Anleitung endet mit Antworten auf die Fragen, die Lernende zu dem Thema am häufigsten stellen.
Die Artikel sind in sieben Kategorien geordnet, die dem üblichen Aufbau der Oberstufe und der ersten Semester folgen: Algebra, Funktionen, Trigonometrie, Analysis, lineare Algebra, Statistik und Lerntipps. Lernst du für ein bestimmtes Fach, beginne mit der Kategorie des aktuellen Stoffs und lies die Anleitungen der Reihe nach; spätere Artikel bauen auf früheren auf und verlinken sie.
Alle Rechenbeispiele lassen sich mit dem passenden Rechner überprüfen. Versuche jede Aufgabe zuerst auf Papier und vergleiche dann deine Schritte mit denen des Lösers. Die Beispiele in diesen Anleitungen durchlaufen vor der Veröffentlichung automatische mathematische Tests, und jeder Artikel nennt das Datum seiner letzten Aktualisierung.