Trigonometrie

Wie man jedes Dreieck berechnet, Fall für Fall

Q: Wie viele Angaben braucht man, um ein Dreieck zu berechnen?

Drei, darunter mindestens eine Seite. Die drei Winkel allein legen nur die Form fest. Die Konstellation SSW kann null, ein oder zwei Dreiecke liefern: Deshalb verlangt sie eine zusätzliche Prüfung.

Q: Mit welchem Satz beginnt man bei einem allgemeinen Dreieck?

Hast du eine Seite und ihren Gegenwinkel, beginne mit dem Sinussatz. In einem Fall SWS oder SSS gibt es kein solches Paar: Beginne dann mit dem Kosinussatz.

Q: Warum sucht man bei einer SSS-Aufgabe zuerst den größten Winkel?

Nur der größte Winkel kann stumpf sein. Berechnet man ihn mit dem Arkuskosinus, wird er korrekt erkannt, und die beiden anderen Winkel sind garantiert spitz: Es bleibt keine Mehrdeutigkeit.

Q: Kann man ein Dreieck aus den drei Winkeln berechnen?

Nicht eindeutig. Jede Vergrößerung des Dreiecks hat dieselben Winkel: Man kann die Seitenverhältnisse bestimmen, aber nicht die Längen. Um die Größe festzulegen, braucht man die Länge einer Seite.

Q: Wie merkt man sich die Funktionen im rechtwinkligen Dreieck?

Der Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, der Kosinus die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse und der Tangens die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete. Die Eselsbrücke „GAGA Hühnerhof AG“ fasst das zusammen: Die Buchstaben paarweise übereinander gelesen ergeben Sinus = G/H, Kosinus = A/H, Tangens = G/A und Kotangens = A/G, und außerdem lohnt es sich, zu wissen, dass der Tangens gleich Sinus geteilt durch Kosinus ist.

Von MathSolver Pro Editorial Team · Veröffentlicht am 25. Oktober 2026

Ein Dreieck zu berechnen heißt, aus den bekannten Angaben alle drei Seiten und alle drei Winkel zu bestimmen. Welches Werkzeug du brauchst, hängt davon ab, welche drei Stücke du kennst: Deshalb ist der erste Schritt immer, den Fall zu erkennen.

Was es heißt, ein Dreieck zu berechnen

Jedes Dreieck hat sechs Stücke: drei Seiten und drei Winkel. Kennst du drei davon, darunter mindestens eine Seite, ist das Dreieck im Allgemeinen festgelegt, und die übrigen drei lassen sich berechnen. Nur die drei Winkel zu kennen reicht nicht, denn ähnliche Dreiecke jeder Größe haben dieselben Winkel; dieser Fall heißt manchmal WWW und hat keine eindeutige Lösung.

Die Angaben werden in der Reihenfolge benannt, in der sie beim Umlaufen des Dreiecks auftreten. WSW bedeutet zwei Winkel und die Seite dazwischen; SWS zwei Seiten und den Winkel dazwischen. Die sechs möglichen Konstellationen und das passende Werkzeug für jede sind:

Rechtwinkliges Dreieck mit zwei beliebigen weiteren Angaben: Sinus, Kosinus, Tangens und Satz des Pythagoras.
WWS oder WSW: Winkelsumme, dann Sinussatz.
SWS: Kosinussatz für die dritte Seite, dann die restlichen Winkel.
SSS: Kosinussatz für die Winkel.
SSW: Sinussatz, mit Prüfung, ob es null, ein oder zwei Dreiecke gibt.
WWW: nur die Form, keine eindeutige Größe.

Zeichne immer eine Skizze und trage die Angaben ein, bevor du ein Verfahren wählst. Die meisten Fehler entstehen, wenn eine Seite dem falschen Winkel zugeordnet wird.

Rechtwinkliges Dreieck: Sinus, Kosinus und Tangens

In einem rechtwinkligen Dreieck verbinden die drei trigonometrischen Funktionen einen spitzen Winkel $\theta$ mit den Seiten: der Gegenkathete, der Ankathete und der Hypotenuse.

\sin\theta = \frac{\text{GK}}{\text{Hyp}}, \qquad \cos\theta = \frac{\text{AK}}{\text{Hyp}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{GK}}{\text{AK}}

Beispiel 1: Hypotenuse 10 und ein Winkel von $35^\circ$

Gegenkathete: $10\sin 35^\circ \approx 5.736$ .
Ankathete: $10\cos 35^\circ \approx 8.192$ .
Der andere spitze Winkel: $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ .
Kontrolle: $5.736^2 + 8.192^2 \approx 32.90 + 67.10 = 100 = 10^2$ .

Beispiel 2: Höhe eines Baums aus seinem Schatten

Ein Baum wirft einen Schatten von 18 m, wenn die Sonne $40^\circ$ über dem Horizont steht.
Die Höhe ist die Gegenkathete des Winkels und der Schatten die Ankathete: Man nimmt also den Tangens, $h = 18\tan 40^\circ \approx 15.10$ m.

Um einen Winkel zu bestimmen, nimm eine Umkehrfunktion. Im rechtwinkligen Dreieck mit den Seiten 3, 4 und 5 misst der kleinere spitze Winkel $\tan^{-1}\frac{3}{4} \approx 36.87^\circ$ .

Zwei Winkel und eine Seite (WWS, WSW)

Bestimme den dritten Winkel, indem du von $180^\circ$ abziehst. Dann hast du alle Winkel und eine Seite, also ein vollständiges Paar für den Sinussatz:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Beispiel 3 (WSW): $A = 50^\circ$ , $B = 65^\circ$ , $c = 12$

$C = 180^\circ - 50^\circ - 65^\circ = 65^\circ$ .
$a = \frac{12\sin 50^\circ}{\sin 65^\circ} \approx 10.14$ .
$B = C$ : Das Dreieck ist gleichschenklig, und $b = c = 12$ ohne weitere Rechnung.

Diese Fälle haben immer genau eine Lösung, sofern die Summe der beiden gegebenen Winkel kleiner als $180^\circ$ ist.

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel (SWS)

Bestimme mit dem Kosinussatz die Seite gegenüber dem bekannten Winkel. Suche dann einen zweiten Winkel. Am sichersten wählst du den Winkel gegenüber der kürzeren der beiden Ausgangsseiten, denn er ist zwangsläufig spitz, und der Arkussinus liefert ihn eindeutig.

Beispiel 4: $b = 10$ , $c = 14$ , $A = 110^\circ$

$a^2 = 10^2 + 14^2 - 2(10)(14)\cos 110^\circ \approx 296 + 95.77 = 391.77$ , also $a \approx 19.79$ .
Da $A$ stumpf ist, sind $B$ und $C$ spitz. $\sin B = \frac{10\sin 110^\circ}{19.79}$ liefert $B \approx 28.34^\circ$ .
$C = 180^\circ - 110^\circ - 28.34^\circ \approx 41.66^\circ$ .
Kontrolle: Die längste Seite, 19,79, liegt dem größten Winkel, $110^\circ$ , gegenüber.

Drei Seiten (SSS)

Prüfe zuerst, ob die Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen: Jede Seite muss kürzer sein als die Summe der beiden anderen. Nimm dann die Kosinusform des Kosinussatzes und beginne mit dem Winkel gegenüber der längsten Seite:

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Beispiel 5: Seiten 6, 8 und 9

Winkel gegenüber 9: $\cos C = \frac{36 + 64 - 81}{96} = \frac{19}{96}$ , also $C \approx 78.58^\circ$ .
Winkel gegenüber 6: $\cos A = \frac{64 + 81 - 36}{144} = \frac{109}{144}$ , also $A \approx 40.80^\circ$ .
Winkel gegenüber 8: $180^\circ - 78.58^\circ - 40.80^\circ \approx 60.61^\circ$ .
Alle drei Winkel sind spitz, wie $81 < 36 + 64$ schon angezeigt hat.

Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel (SSW)

Das ist der mehrdeutige Fall. Stelle den unbekannten Winkel mit dem Sinussatz frei, $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ , und untersuche das Ergebnis:

Ist $\sin B > 1$ , gibt es kein Dreieck.
Ist $\sin B = 1$ , gibt es ein rechtwinkliges Dreieck.
Ist $\sin B < 1$ , teste sowohl $B$ als auch $180^\circ - B$ . Jeder Wert, der einen positiven dritten Winkel übrig lässt, liefert ein gültiges Dreieck.

Zum Beispiel liefern $A = 30^\circ$ , $a = 6$ und $b = 10$ den Wert $\sin B = \frac{5}{6}$ , also $B \approx 56.44^\circ$ oder $123.56^\circ$ . Beide lassen Platz für einen dritten Winkel: Es gibt also zwei Dreiecke. Der Artikel zum Sinussatz berechnet beide vollständig, ebenso die Fälle ohne Dreieck und mit genau einem Dreieck.

Höhenwinkel und Tiefenwinkel

Viele Anwendungsaufgaben beschreiben Winkel, die von der Waagerechten aus gemessen werden. Ein Höhenwinkel wird nach oben zu einem Objekt gemessen, ein Tiefenwinkel nach unten. Da die Waagerechten durch Beobachter und Objekt parallel sind, ist der Tiefenwinkel von A nach B gleich dem Höhenwinkel von B nach A.

Beispiel 6: der Höhenunterschied einer Straße

Eine gerade Straße steigt mit einem Neigungswinkel von $3^\circ$ über 200 m waagerecht gemessen an. Wie viel Höhe gewinnt sie?
Höhenunterschied $= 200\tan 3^\circ \approx 10.48$ m.
Als Steigung ausgedrückt sind das etwa 5,2 Prozent, da $\tan 3^\circ \approx 0.0524$ .

Aufgaben mit zwei Visierlinien, etwa wenn man die Spitze eines Gebäudes von zwei Punkten am Boden aus anpeilt, löst man durch Kombination eines rechtwinkligen und eines allgemeinen Dreiecks, oft mit dem Sinussatz im allgemeinen Dreieck.

Checkliste für jede Antwort

Die Summe der drei Winkel ist $180^\circ$ .
Die längste Seite liegt dem größten Winkel gegenüber und die kürzeste dem kleinsten.
Jede Seite ist kürzer als die Summe der beiden anderen.
Eine Seite mit dem anderen Satz neu zu berechnen ergibt bis auf Rundung denselben Wert.
Die Antworten werden erst am Ende gerundet, mit der in der Aufgabe verlangten Genauigkeit.

Ist das Dreieck berechnet, ergibt sich der Flächeninhalt aus $\frac{1}{2}ab\sin C$ , mit zwei beliebigen Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Der Kosinussatz-Rechner löst alle Fälle allgemeiner Dreiecke Schritt für Schritt, und der Abstandsrechner für zwei Punkte behandelt Dreiecke, die durch Koordinaten gegeben sind.

Rundung und Genauigkeit

Dreiecksaufgaben verketten mehrere Rechnungen: Kleine Rundungsfehler am Anfang können am Ende zu sichtbaren Abweichungen werden. Behalte bei jedem Zwischenwert die volle Genauigkeit des Taschenrechners, indem du Ergebnisse speicherst oder mindestens vier gültige Ziffern notierst. Runde nur die Endergebnisse, mit der in der Aufgabe verlangten Genauigkeit: meist auf eine oder zwei Nachkommastellen bei Winkeln in Grad und auf eine sinnvolle Zahl gültiger Ziffern bei Längen.

Wegen der Rundungen kann die Summe der drei berechneten Winkel $179.9^\circ$ oder $180.1^\circ$ ergeben. Das ist kein Verfahrensfehler. Weicht die Summe aber um einen ganzen Grad oder mehr ab, ist etwas schiefgelaufen, fast immer eine Seite, die dem falschen Winkel zugeordnet wurde, oder eine übersehene stumpfe Lösung. Eine zweite, unabhängige Rechnung, etwa die letzte Seite mit beiden Sätzen zu bestimmen, ist der zuverlässigste Weg, die Antwort zu bestätigen.

Häufige Fragen

Wie viele Angaben braucht man, um ein Dreieck zu berechnen?

Drei, darunter mindestens eine Seite. Die drei Winkel allein legen nur die Form fest. Die Konstellation SSW kann null, ein oder zwei Dreiecke liefern: Deshalb verlangt sie eine zusätzliche Prüfung.

Mit welchem Satz beginnt man bei einem allgemeinen Dreieck?

Hast du eine Seite und ihren Gegenwinkel, beginne mit dem Sinussatz. In einem Fall SWS oder SSS gibt es kein solches Paar: Beginne dann mit dem Kosinussatz.

Warum sucht man bei einer SSS-Aufgabe zuerst den größten Winkel?

Nur der größte Winkel kann stumpf sein. Berechnet man ihn mit dem Arkuskosinus, wird er korrekt erkannt, und die beiden anderen Winkel sind garantiert spitz: Es bleibt keine Mehrdeutigkeit.

Kann man ein Dreieck aus den drei Winkeln berechnen?

Nicht eindeutig. Jede Vergrößerung des Dreiecks hat dieselben Winkel: Man kann die Seitenverhältnisse bestimmen, aber nicht die Längen. Um die Größe festzulegen, braucht man die Länge einer Seite.

Wie merkt man sich die Funktionen im rechtwinkligen Dreieck?

Der Sinus ist die Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse, der Kosinus die Ankathete geteilt durch die Hypotenuse und der Tangens die Gegenkathete geteilt durch die Ankathete. Die Eselsbrücke „GAGA Hühnerhof AG“ fasst das zusammen: Die Buchstaben paarweise übereinander gelesen ergeben Sinus = G/H, Kosinus = A/H, Tangens = G/A und Kotangens = A/G, und außerdem lohnt es sich, zu wissen, dass der Tangens gleich Sinus geteilt durch Kosinus ist.

MathSolver Pro Editorial Team

Redaktion und mathematisches Lektorat

Unser Redaktionsteam schreibt jede Anleitung so, dass sie die Überlegung hinter jedem Verfahren erklärt und nicht nur die Antwort. Jedes Rechenbeispiel wird vor der Veröffentlichung mit den Lösungs-Engines der Website und durch automatische Tests geprüft, und die Artikel werden überarbeitet, sobald sich ein Verfahren oder das Format eines Tests ändert.