Ableitungsrechner

Die Grundregeln

Fast alle Ableitungen eines ersten Analysiskurses folgen aus wenigen Regeln. Die Potenzregel liefert $\frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$ für jedes reelle $n$, und das schließt Wurzeln ein, denn $\sqrt{x} = x^{1/2}$ hat die Ableitung $\frac{1}{2\sqrt{x}}$. Mit der Faktorregel und der Summenregel leitest du ein Polynom Summand für Summand ab. Die Exponentialfunktion $e^x$ ist ihre eigene Ableitung, und für den Logarithmus gilt $\frac{d}{dx}\ln x = \frac1x$. Jede der sechs trigonometrischen Funktionen hat eine Grundableitung, angefangen bei $\frac{d}{dx}\sin x = \cos x$ und $\frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$.

Diese Grundableitungen werden über drei Strukturregeln kombiniert. Die Produktregel behandelt $f \cdot g$, die Quotientenregel $\frac{f}{g}$ und die Kettenregel eine Funktion innerhalb einer anderen. Den vorliegenden Aufbau zu erkennen ist der größte Teil der Arbeit, und deshalb nennt der Rechner die Regel in der Überschrift jedes Schritts.

Die Kettenregel in der Praxis

Die Kettenregel besagt: Ist $y = f(g(x))$, dann gilt $y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$. Man leitet die äußere Funktion ab, lässt die innere unverändert und multipliziert mit der Ableitung der inneren Funktion. Bei $\sin(x^2)$ ist die äußere Funktion der Sinus und die innere $x^2$, also lautet die Ableitung $\cos(x^2) \cdot 2x$. Der Rechner schreibt sie als $2\cos(x^2)\,x$; das ist derselbe Term mit vertauschten Faktoren.

Die Kettenregel steckt auch in anderen Regeln. Bei $e^{3x}$ ist die innere Funktion $3x$, also ist die Ableitung $3e^{3x}$, und der Rechner nennt diesen Schritt Ableitung der Exponentialfunktion mit $e^u \cdot u'$. Den Faktor der inneren Ableitung zu vergessen ist der häufigste Fehler beim Ableiten, und dein Ergebnis mit dem Schritt des Rechners für die innere Funktion zu vergleichen ist der schnellste Weg, ihn zu finden.

Quotienten und Vereinfachen

Für einen Quotienten $\frac{u}{v}$ lautet die Regel $\frac{u'v - uv'}{v^2}$. Die Reihenfolge im Zähler ist wichtig, denn die Subtraktion ist nicht kommutativ. Leitet man $\frac{e^{3x}}{x}$ ab, erhält man $\frac{3e^{3x} \cdot x - e^{3x}}{x^2}$, was der Rechner zu $\left(\frac3x - \frac{1}{x^2}\right)e^{3x}$ vereinfacht. Beide Formen sind richtig, genau wie $\frac{e^{3x}(3x - 1)}{x^2}$. Sieht dein Ergebnis anders aus, setze in beide einen Wert wie $x = 1$ ein; stimmen sie an mehreren Stellen überein, ist das ein gutes Indiz dafür, dass die Terme äquivalent sind.

Höhere Ableitungen und Wert an einer Stelle

Leitet man noch einmal ab, erhält man die zweite Ableitung, die misst, wie sich die Steigung selbst ändert. Eine positive zweite Ableitung bedeutet, dass die Kurve linksgekrümmt ist wie eine Schale, eine negative zweite Ableitung bedeutet Rechtskrümmung. Für $f(x) = x^3$ ist die erste Ableitung $3x^2$ und die zweite $6x$; ausgewertet bei $x = 2$ ergibt sich $f''(2) = 12$. Wäre $x^3$ in der Physik ein Ort, so wäre 12 die Beschleunigung zum Zeitpunkt 2.

Wertet man die erste Ableitung an einer Stelle aus, erhält man die Steigung der Tangente dort und kann zusammen mit dem Punkt selbst die Tangentengleichung aufstellen. Darauf beruhen die lineare Näherung und das Newton-Verfahren zum Lösen von Gleichungen.

Mit Ableitungen Hoch- und Tiefpunkte finden

Eine differenzierbare Funktion kann ein lokales Maximum oder Minimum nur dort haben, wo ihre Ableitung null ist oder nicht existiert, denn auf einem Gipfel oder in einem Tal verläuft die Tangente waagerecht. Um eine Funktion zu optimieren, leitest du sie ab, setzt $f'(x) = 0$, löst nach $x$ auf und untersuchst jeden Kandidaten. Für $f(x) = x^3 - 3x$ ist die Ableitung $3x^2 - 3$, die bei $x = -1$ und bei $x = 1$ null wird. Die zweite Ableitung $6x$ ist bei $-1$ negativ und bei $1$ positiv: Die Kurve hat also einen Hochpunkt bei $(-1, 2)$ und einen Tiefpunkt bei $(1, -2)$.

Auf einem abgeschlossenen Intervall können der größte und der kleinste Wert auch an den Rändern liegen; vergleiche deshalb auch die Funktionswerte dort. Viele Anwendungsaufgaben, etwa den Materialverbrauch einer Schachtel mit festem Volumen zu minimieren, folgen genau diesem Ablauf, sobald die zu optimierende Größe als Funktion einer einzigen Variablen geschrieben ist.

Wie der Rechner das Ergebnis prüft

Symbolisches Ableiten kann auf subtile Weise schiefgehen, vor allem beim Vereinfachen; deshalb wird das Ergebnis nicht ungeprüft übernommen. Der Rechner wertet deine Ableitung an einer Reihe von Teststellen aus und vergleicht sie mit einem zentralen Differenzenquotienten, $\frac{f(x + h) - f(x - h)}{2h}$ für ein kleines $h$, der direkt aus deiner ursprünglichen Funktion berechnet wird. Stimmen beide an allen Stellen, an denen die Funktion definiert ist, innerhalb einer engen Toleranz überein, ist die Prüfung bestanden und wird unter dem Ergebnis angezeigt. Dieselbe Idee kannst du von Hand mit einem Taschenrechner anwenden: Wähle einen Wert für $x$, verschiebe ihn ein wenig nach oben und unten und prüfe, ob die Änderung von $f$ geteilt durch die Änderung von $x$ zu deiner Ableitung passt.