Grenzwertrechner

Q: Was macht der Grenzwertrechner, wenn Einsetzen 0/0 ergibt?

Er erkennt den unbestimmten Ausdruck und wendet die Regel von L'Hospital an: Er leitet Zähler und Nenner getrennt ab, setzt erneut ein und wiederholt das, bis der unbestimmte Ausdruck aufgelöst ist oder die Methode nicht mehr weiterhilft.

Q: Wie berechne ich einen einseitigen Grenzwert?

Wähle „Von rechts“ für x → a⁺ oder „Von links“ für x → a⁻. Einseitige Grenzwerte sind wichtig bei senkrechten Asymptoten, an den Rändern einer Definitionsmenge, wie √x bei 0, und bei abschnittsweise definierten Funktionen oder Funktionen mit Betrag.

Q: Wie gebe ich einen Grenzwert im Unendlichen ein?

Schreibe inf, oder -inf für minus unendlich, in das Feld „x geht gegen“. Der Rechner vergleicht die dominierenden Terme, wendet die Regel von L'Hospital an und schreibt bei Bedarf in Exponentialform um.

Q: Was bedeutet hier „Der Grenzwert existiert nicht“?

Entweder sind linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden, und der Rechner nennt dann beide Werte, oder die Werte schwingen und pendeln sich nie auf eine Zahl oder auf ±∞ ein.

Q: Ist ein unendlicher Grenzwert dasselbe wie kein Grenzwert?

Streng genommen ist ein unendlicher Grenzwert keine reelle Zahl: Der Grenzwert existiert in den reellen Zahlen also nicht. Zu sagen, er sei +∞, ist genauer, weil es das Verhalten der Werte beschreibt, und so gibt der Rechner ihn an.

Q: Warum prüft der Rechner Grenzwerte numerisch?

Symbolisches Rechnen kann in heiklen Fällen danebenliegen. Die Funktion an einer Folge von Stellen auszuwerten, die sich dem Ziel nähern, bestätigt das Ergebnis, und widersprechen die Zahlen dem symbolischen Ergebnis, wird keine Antwort angezeigt.

Q: Löst er unbestimmte Ausdrücke der Form 1 hoch unendlich?

Ja. Er verwandelt die Potenz mit dem Logarithmus in ein Produkt, löst den entstehenden Ausdruck 0·∞ mit der Regel von L'Hospital und kehrt dann zur Exponentialfunktion zurück; so zeigt man, dass (1 + 1/x)^x → e gilt.

Q: Ist der Grenzwert gleich dem Funktionswert an dieser Stelle?

Nur wenn die Funktion dort stetig ist. Für (x² − 4)/(x − 2) ist der Grenzwert bei 2 gleich 4, obwohl der Term bei x = 2 nicht definiert ist.

Q: Berechnet er Grenzwerte mit zwei Variablen?

Nein. Der Rechner arbeitet mit einer einzigen Variablen, meist x. Grenzwerte mit mehreren Variablen hängen vom Annäherungsweg ab und erfordern andere Techniken.

Über den Grenzwertrechner

Grenzwerte sind das Fundament, auf dem die ganze Analysis steht. Ableitungen sind Grenzwerte von Differenzenquotienten, Integrale sind Grenzwerte von Summen, und die Konvergenz einer Reihe ist ein Grenzwert von Partialsummen. Trotzdem begegnen Schülerinnen und Schüler bei Grenzwerten zum ersten Mal Ausdrücken wie $\frac00$ , die sinnlos wirken, und man verliert leicht den Überblick, welche Methode passt.

Dieser Rechner geht einen Grenzwert so an, wie es eine sorgfältige Schülerin tun würde. Zuerst versucht er das direkte Einsetzen. Entsteht ein unbestimmter Ausdruck, benennt er ihn — $\frac00$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $0\cdot\infty$ , $\infty - \infty$ , $1^\infty$ , $0^0$ oder $\infty^0$ — und wendet die passende Methode an: die Regel von L'Hospital, das Umschreiben eines Produkts als Quotient, das Erweitern mit dem konjugierten Term oder das Logarithmieren. Jeder Schritt wird mit den berechneten Ableitungen gezeigt.

Danach wird jedes symbolische Ergebnis mit den tatsächlichen Funktionswerten an Stellen verglichen, die immer näher am Ziel liegen. Stimmen sie nicht überein, wird kein Ergebnis angezeigt; das schützt dich vor Fehlern, die symbolische Tricks manchmal mit trügerischer Sicherheit produzieren. Der Rechner bestimmt außerdem die einseitigen Grenzwerte und weist darauf hin, wenn ein Grenzwert nicht existiert, weil die beiden Seiten nicht übereinstimmen.

Was ist ein Grenzwert?

Der Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen $a$ ist der Wert, dem $f(x)$ beliebig nahe kommt, wenn $x$ nahe bei $a$ liegt, ohne ihm gleich zu sein. Er beschreibt, wie sich die Funktion in der Nähe einer Stelle verhält, nicht ihren Wert an dieser Stelle. Die Funktion muss bei $a$ nicht einmal definiert sein: $\frac{\sin x}{x}$ ist bei 0 nicht definiert, und trotzdem ist ihr Grenzwert dort genau 1.

Formal bedeutet $\lim_{x\to a} f(x) = L$ : Zu jeder Toleranz $\varepsilon > 0$ gibt es einen Abstand $\delta > 0$ , sodass $|f(x) - L| < \varepsilon$ gilt, wann immer $0 < |x - a| < \delta$ ist. Mit anderen Worten: Du kannst $f(x)$ so nahe an $L$ bringen, wie du willst, wenn du $x$ nur nahe genug bei $a$ hältst.

Ein Grenzwert kann auch unendlich sein, geschrieben $\lim f(x) = \infty$ , wenn die Werte über alle Grenzen wachsen; außerdem kann $x$ gegen $\pm\infty$ gehen, was das Langzeitverhalten der Funktion und ihre waagerechten Asymptoten beschreibt. Ein Grenzwert existiert nur, wenn der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert existieren und gleich sind.

So benutzt du den Grenzwertrechner

Schreibe die Funktion von x, zum Beispiel sin(x)/x, (x^2-4)/(x-2) oder (1+1/x)^x.
Gib den Wert ein, gegen den x geht: eine Zahl, einen Bruch, pi, inf oder -inf.
Wähle beidseitig, von rechts (x → a⁺) oder von links (x → a⁻).
Klicke auf Grenzwert berechnen, um den Einsetzversuch, den unbestimmten Ausdruck und jeden Schritt zu seiner Auflösung zu sehen.
Lies die letzte Zeile: Sie nennt den Grenzwert, ±∞ oder meldet, dass der Grenzwert nicht existiert, und warum.

Formeln

Regel von L'Hospital

\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\quad\text{für } \tfrac00 \text{ oder } \tfrac{\infty}{\infty}

Grundlegender trigonometrischer Grenzwert

\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1

Definition der eulerschen Zahl e

\lim_{x\to\infty}\left(1 + \frac1x\right)^x = e

Unbestimmte Ausdrücke mit Potenzen

\lim f^{\,g} = e^{\lim g\,\ln f}

Einseitige Grenzwerte

\lim_{x\to a} f(x) = L \iff \lim_{x\to a^-} f(x) = \lim_{x\to a^+} f(x) = L

Durchgerechnetes Beispiel: sin(x)/x, x → 0

Das Rechenbeispiel wird live für $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}$ erzeugt. Setzt man $x = 0$ ein, erhält man $\frac00$ , einen unbestimmten Ausdruck: Der Rechner wendet daher die Regel von L'Hospital an. Die Ableitung des Zählers ist $\cos x$ , die des Nenners ist 1. Erneutes Einsetzen ergibt $\cos 0 = 1$ : Der Grenzwert ist also 1.

Eine Wertetabelle bestätigt das. Bei $x = 0.1$ ist der Quotient etwa 0.99833, bei $x = 0.01$ etwa 0.9999833: Er nähert sich 1 von unten. Genau dieser Grenzwert erklärt, warum die Ableitung von $\sin x$ gleich $\cos x$ ist; es lohnt sich also, ihn sofort wiederzuerkennen.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = 1

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Bestimme den Grenzwert von sin(x) / x für x → 0.

\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Unbestimmter Ausdruck 0/0 — Regel von L'Hospital anwenden
Zähler und Nenner getrennt ableiten (das ist nicht die Quotientenregel).
$\lim_{x \to 0} \frac{\sin\left( x\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1}$
Kürzen
$\lim_{x \to 0} \frac{\cos\left( x\right)}{1} = \lim_{x \to 0} \cos\left( x\right)$
Direktes Einsetzen
Der Term ist bei x = 0 stetig, also ist der Grenzwert gleich seinem Funktionswert dort.
$\lim_{x \to 0} \cos\left( x\right) = \cos\left(0\right) = 1$

Verwendete Formeln

Regel von L'Hospital
$\lim \frac{f}{g} = \lim \frac{f'}{g'}\ \text{für } \tfrac{0}{0} \text{ oder } \tfrac{\infty}{\infty}$
Beidseitiger Grenzwert
$\lim_{x\to a} f = L \iff \lim_{x\to a^-} f = \lim_{x\to a^+} f = L$

Ein Grenzwert beschreibt den Wert, dem sich eine Funktion nähert, nicht unbedingt den Wert, den sie annimmt. Liefert das Einsetzen einen unbestimmten Ausdruck, wird der Term umgeformt (Regel von L'Hospital, Erweitern mit dem konjugierten Term oder Logarithmieren), bis das Einsetzen funktioniert.

Probe

Numerische Werte von rechts stimmen überein: f(0.01) = 0.99998333, f(0.001) = 0.99999983, f(0.0001) = 1, f(0.00001) = 1 ✓
Numerische Werte von links stimmen überein: f(-0.01) = 0.99998333, f(-0.001) = 0.99999983, f(-0.0001) = 1, f(-0.00001) = 1 ✓

Ausführliche Erklärung

Mit direktem Einsetzen beginnen

Ist die Funktion an der Stelle stetig, ist der Grenzwert einfach ihr Funktionswert dort: Deshalb fängt man immer mit Einsetzen an. Polynome, Exponentialfunktionen, Sinus und Kosinus sind auf ihrer ganzen Definitionsmenge stetig, und gebrochenrationale Funktionen sind überall stetig, wo der Nenner nicht null wird. Liefert das Einsetzen eine gewöhnliche Zahl, bist du fertig.

Einsetzen kann auch einen unendlichen Grenzwert offenlegen. Eine Zahl ungleich null geteilt durch eine Größe, die gegen null geht, wie $\frac1x$ in der Nähe von 0, wächst über alle Grenzen. Das Vorzeichen hängt dann von der Seite ab: Der Rechner meldet $+\infty$ von rechts und $-\infty$ von links, also existiert der Grenzwert nicht.

Unbestimmte Ausdrücke und die Regel von L'Hospital

Ausdrücke wie $\frac00$ und $\frac{\infty}{\infty}$ heißen unbestimmte Ausdrücke, weil ihre Form allein nichts über das Ergebnis verrät. $\frac{x^2}{x}$ , $\frac{x}{x}$ und $\frac{x}{x^2}$ ergeben bei null alle $\frac00$ , und doch sind ihre Grenzwerte 0, 1 und nicht existent. Man muss darauf schauen, wie schnell sich Zähler und Nenner ihren Grenzwerten nähern.

Genau das leistet die Regel von L'Hospital, indem sie Änderungsraten vergleicht. Gehen beide Teile gegen 0 oder beide gegen unendlich, ist der Grenzwert des Quotienten gleich dem Grenzwert des Quotienten der Ableitungen, sofern dieser neue Grenzwert existiert. Für $\frac{x^2-4}{x-2}$ bei $x = 2$ sind die Ableitungen $2x$ und 1: Der Grenzwert ist also 4. Faktorisieren und Kürzen liefert dasselbe Ergebnis, $x + 2 \to 4$ , was als Kontrolle dient.

Manchmal muss man die Regel mehrmals anwenden. $\frac{1-\cos x}{x^2}$ hat nach der ersten Anwendung immer noch die Form $\frac00$ ; eine zweite ergibt $\frac{\cos x}{2}$ und den Grenzwert $\frac12$ . Der Rechner wiederholt die Regel automatisch und hört auf, wenn die Terme anfangen zu wachsen, statt sich zu vereinfachen.

Produkte, Differenzen und Potenzen

Die Regel von L'Hospital gilt nur für Quotienten: Die anderen unbestimmten Ausdrücke müssen vorher umgeschrieben werden. Ein Produkt $0 \cdot \infty$ wird zum Quotienten, indem man einen Faktor als Kehrwert in den Nenner bringt. Eine Differenz $\infty - \infty$ mit Quadratwurzel, wie $\sqrt{x^2 + x} - x$ im Unendlichen, erweitert man mit dem konjugierten Term; sie vereinfacht sich bis zu einem Grenzwert von $\frac12$ .

Die unbestimmten Potenzausdrücke $1^\infty$ , $0^0$ und $\infty^0$ löst man mit Logarithmen. Um $\lim (1 + \frac1x)^x$ zu berechnen, nimm den natürlichen Logarithmus: Du erhältst $x \ln(1 + \frac1x)$ , eine Form $\infty\cdot 0$ ; schreibe sie als Quotient, wende die Regel von L'Hospital an, um zu sehen, dass der Logarithmus gegen 1 geht, und kehre dann zur Exponentialfunktion zurück. Das Ergebnis ist $e^1 = e \approx 2.718281828$ . Dieselbe Methode zeigt, dass $x^x \to 1$ für $x \to 0^+$ gilt.

Grenzwerte im Unendlichen und waagerechte Asymptoten

Für $x \to \pm\infty$ werden gebrochenrationale Funktionen von den Termen höchsten Grades bestimmt. Haben Zähler und Nenner denselben Grad, ist der Grenzwert der Quotient der Leitkoeffizienten: $\frac{3x^2 + 1}{5x^2 - x} \to \frac35$ . Hat der Nenner den höheren Grad, ist der Grenzwert 0; hat ihn der Zähler, wächst die Funktion über alle Grenzen.

Diese Grenzwerte entsprechen genau den waagerechten Asymptoten einer Kurve. Exponentialfunktionen überholen schließlich jede Potenz, und Logarithmen wachsen langsamer als jede positive Potenz: Das ist die Wachstumshierarchie, die sich mit der Regel von L'Hospital präzise machen lässt.

Wenn ein Grenzwert nicht existiert

Ein Grenzwert existiert nicht, wenn linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind, wie bei $\frac{|x|}{x}$ an der Stelle 0, wo der Rechner einen rechtsseitigen Grenzwert von 1 und einen linksseitigen Grenzwert von $-1$ meldet. Er existiert auch nicht, wenn die Funktion schwingt, ohne sich einzupendeln, wie $\sin\frac1x$ in der Nähe von 0. In diesem Fall erklärt der Rechner, dass sich die Werte nicht stabilisieren, statt eine Zahl zu erfinden.

Ein unendlicher Grenzwert ist streng genommen eine weitere Art, als reelle Zahl nicht zu existieren, enthält aber mehr Information: Deshalb wird er als $\infty$ oder $-\infty$ angegeben, zusammen mit der Seite, zu der er gehört.

Häufige Fehler

$\frac00 = 0$ oder $\frac00 = 1$ schreiben; das ist ein unbestimmter Ausdruck, der weitere Arbeit erfordert.
Die Regel von L'Hospital auf einen Grenzwert anwenden, der weder die Form $\frac00$ noch die Form $\frac{\infty}{\infty}$ hat, wie $\frac{x+1}{x}$ bei 0.
Den ganzen Bruch mit der Quotientenregel ableiten, statt Zähler und Nenner getrennt abzuleiten.
Annehmen, dass $1^\infty = 1$ ist; der Grenzwert von $(1 + \frac1x)^x$ ist $e$ , nicht 1.
Schließen, dass der Grenzwert existiert, nachdem nur eine Seite geprüft wurde.
Bei trigonometrischen Grenzwerten den Gradmodus des Taschenrechners verwenden; $\frac{\sin x}{x} \to 1$ gilt nur im Bogenmaß.

Tipps

Setze immer zuerst ein; viele Grenzwerte brauchen nicht mehr als das.
Versuche vor der Regel von L'Hospital zu faktorisieren und zu kürzen; das geht oft schneller.
Teile bei Grenzwerten im Unendlichen jeden Term durch die höchste Potenz von x im Nenner.
Werte die Funktion an einigen Stellen nahe dem Ziel aus, um das Ergebnis vor der Rechnung abzuschätzen.
Schreibe Potenzen, deren Exponent die Variable enthält, in der Form $e^{g \ln f}$ .
Skizziere oder plotte die Funktion, um zu sehen, ob beide Seiten übereinstimmen.

Häufige Fragen

Was macht der Grenzwertrechner, wenn Einsetzen 0/0 ergibt?