Rechner für bestimmte Integrale

Warum F(b) − F(a) die Fläche liefert

Stell dir eine Flächenfunktion $A(t)$ vor, die die Fläche unter $f$ von $a$ bis zu einer beweglichen Stelle $t$ misst. Verschiebst du $t$ um ein winziges Stück $h$, kommt ein schmaler Streifen mit der Höhe ungefähr $f(t)$ und der Breite $h$ hinzu, also gilt $A(t+h) - A(t) \approx f(t)\,h$. Teilt man durch $h$ und lässt es gegen null gehen, sieht man $A'(t) = f(t)$: Die Flächenfunktion ist eine Stammfunktion von $f$.

Zwei Stammfunktionen unterscheiden sich nur um eine Konstante, also gilt $A(t) = F(t) + C$ für die gefundene Stammfunktion $F$. Da $A(a) = 0$ ist, hat die Konstante den Wert $-F(a)$, und die ganze Fläche ist $A(b) = F(b) - F(a)$. Deshalb taucht die Integrationskonstante bei einem bestimmten Integral nie auf: Sie hebt sich bei der Subtraktion weg.

Orientierte und geometrische Fläche

Verläuft die Kurve unterhalb der Achse, zieht das Integral diesen Teil ab. Bei $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx$ heben sich der positive und der negative Bogen genau auf, und das Ergebnis ist 0. Das ist der richtige Wert des Integrals, aber nicht die Fläche, die du in einer Skizze schraffieren würdest.

Für die Gesamtfläche bestimmst du die Nullstellen der Funktion im Intervall, integrierst über jedes Teilstück und addierst die Beträge der Ergebnisse. Der Rechner akzeptiert abs(): Gibst du abs(x-1) von 0 bis 2 ein, liefert er 1, die Summe zweier Dreiecksflächen, während x-1 auf demselben Intervall 0 ergibt.

Uneigentliche Integrale: unendliche Grenzen und senkrechte Asymptoten

Ein Integral ist uneigentlich, wenn eine Integrationsgrenze unendlich ist oder die Funktion irgendwo im Intervall unbeschränkt ist. Sein Wert wird dann als Grenzwert definiert. Für $\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx$ findet der Rechner $F(x) = -\frac1x$, bestimmt den Grenzwert für $x \to \infty$, der 0 ist, subtrahiert $F(1) = -1$ und meldet, dass das Integral gegen 1 konvergiert.

Bei Asymptoten gilt dieselbe Idee. $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$ konvergiert gegen 2, weil $2\sqrt{x}$ bei 0 einen endlichen Grenzwert hat, während $\int_0^1 \frac1x\,dx$ divergiert, weil $\ln x$ gegen $-\infty$ geht. Beide Funktionen wachsen bei null über alle Grenzen; wie schnell das geschieht, entscheidet über das Ergebnis. Liegt die Singularität mitten im Intervall, muss das Integral dort geteilt werden, und jede Hälfte muss für sich konvergieren.

Auf der ganzen reellen Achse brauchen beide Integrationsgrenzen einen Grenzwert. Der Rechner berechnet $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2}\,dx$ als $\arctan x$ von $-\frac{\pi}{2}$ bis $\frac{\pi}{2}$ und liefert genau $\pi$.

Wenn es keine Formel gibt: numerische Integration

Einige ganz alltägliche Funktionen haben Stammfunktionen, die sich nicht mit elementaren Funktionen schreiben lassen. Die Glockenkurve $e^{-x^2}$, $\frac{\sin x}{x}$ und $\sqrt{1 + x^3}$ sind klassische Beispiele. Ihre bestimmten Integrale existieren trotzdem; sie müssen nur numerisch berechnet werden.

In diesem Fall verwendet der Rechner die adaptive Simpsonregel, die auf kleinen Kurvenabschnitten Parabeln anpasst und dort weiter unterteilt, wo die Schätzung noch nicht genau genug ist, mit dem Ziel eines Fehlers unter $10^{-10}$. Für $\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$ liefert er ungefähr 0.7468241328 und kennzeichnet das als numerischen Näherungswert, damit er nie mit einem exakten Wert verwechselt wird.

Nützliche Eigenschaften, die Zeit sparen

Vertauscht man die Grenzen, ändert sich das Vorzeichen: $\int_1^0 x^2\,dx = -\frac13$. Ein Integral über ein Intervall der Breite null ist null. Für eine ungerade Funktion wie $x^3$ oder $\sin x$ ist das Integral über ein symmetrisches Intervall $[-a, a]$ null, für eine gerade Funktion ist es doppelt so groß wie das Integral von 0 bis $a$. Wer die Symmetrie vor dem Rechnen bemerkt, macht aus einer mühsamen Aufgabe oft eine einzeilige Antwort.

Das Integral ist außerdem linear: Konstanten lassen sich herausziehen, und Summen zerfallen in getrennte Integrale. Zusammen mit der Intervalladditivität kannst du so ein kompliziertes Gebiet in leicht zu behandelnde Teile zerlegen.