Bestimmtes oder unbestimmtes Integral?

Der Unterschied auf einen Blick

• Schreibweise: unbestimmt $\int f(x)\,dx$; bestimmt $\int_a^b f(x)\,dx$, mit einer unteren Grenze $a$ und einer oberen Grenze $b$.
• Ergebnis: Das unbestimmte liefert eine Funktion plus eine Konstante; das bestimmte liefert eine Zahl.
• Bedeutung: Das unbestimmte beantwortet die Frage „Welche Funktionen haben diese Ableitung?“; das bestimmte die Frage „Wie viel sammelt sich zwischen $a$ und $b$ an?“.
• Konstante: Das unbestimmte verlangt $+ C$; bei einem bestimmten Integral hebt sich die Konstante weg.
• Kontrolle: Leite das Ergebnis eines unbestimmten Integrals ab, um den Integranden zurückzuerhalten; schätze das eines bestimmten anhand eines Graphen oder mit Rechtecken ab.

Sind Integrale neu für dich, beginne mit was ein Integral ist, wo beide Ideen von Grund auf aufgebaut werden.

Unbestimmte Integrale: Familien von Stammfunktionen

Das unbestimmte Integral von $f$ ist die Menge aller Funktionen, deren Ableitung $f$ ist. Da das Addieren einer Konstanten die Ableitung nicht ändert, ist das Ergebnis immer eine Kurvenschar, deren Kurven senkrecht gegeneinander verschoben sind:

Um ein Mitglied der Schar auszuwählen, braucht man eine zusätzliche Information, meist einen bekannten Wert. Man spricht dann von einem Anfangswertproblem.

Die Physik nutzt das ständig. Ist die Beschleunigung konstant gleich $-9.8$ m/s², liefert eine erste Integration die Geschwindigkeit $v(t) = -9.8t + v_0$ und eine zweite die Höhe $h(t) = -4.9t^2 + v_0 t + h_0$. Die beiden Konstanten sind die Anfangsgeschwindigkeit und die Anfangshöhe.

Bestimmte Integrale: Zahlen aus Grenzwerten von Summen

Ein bestimmtes Integral ist als Grenzwert von Riemann-Summen definiert und stellt den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse von $a$ bis $b$ dar. Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung liefert die Abkürzung, um es zu berechnen:

Nimmt man $F + C$ statt $F$, ändert sich nichts, denn $(F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)$. Deshalb verzichtet man auf die Konstante.

Eigenschaften bestimmter Integrale

Summen und konstante Faktoren lassen sich wie bei Ableitungen durch das Integralzeichen ziehen. Symmetrie kann viel Arbeit sparen: Ist $f$ ungerade, also $f(-x) = -f(x)$, dann gilt $\int_{-a}^{a} f\,dx = 0$. Zum Beispiel ist $\int_{-2}^{2} x^3\,dx = 0$, weil sich die negative und die positive Hälfte aufheben. Ist $f$ gerade, gilt $\int_{-a}^{a} f\,dx = 2\int_0^a f\,dx$, also $\int_{-1}^{1} x^2\,dx = 2\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

Der Mittelwert von $f$ auf $[a, b]$ ist $\frac{1}{b - a}\int_a^b f\,dx$. Für $x^2$ auf $[0, 3]$ beträgt er $\frac{1}{3}\cdot 9 = 3$: Ein Rechteck mit der Höhe 3 und der Breite 3 hat dieselbe Fläche wie die Region unter der Parabel.

Die Substitution funktioniert nicht auf dieselbe Weise

Bei einem unbestimmten Integral substituierst du, integrierst und kehrst dann zur ursprünglichen Variablen zurück. Bei einem bestimmten Integral kannst du die Grenzen an die neue Variable anpassen und musst nie zurücksubstituieren.

Ein häufiger Fehler ist, zu $u$ überzugehen und dabei die alten Grenzen in $x$ zu behalten. Entweder passt du die Grenzen an, oder du substituierst vor dem Auswerten zurück zu $x$, aber nie ein bisschen von beidem.

Wo sie sich treffen: Integralfunktionen

Ein bestimmtes Integral mit veränderlicher oberer Grenze ist eine Funktion: $A(x) = \int_a^x f(t)\,dt$. Sie ist eine bestimmte Stammfunktion von $f$, nämlich diejenige, die bei $x = a$ den Wert 0 hat. Zum Beispiel ist $\int_0^x t^2\,dt = \frac{x^3}{3}$.

Der erste Teil des Hauptsatzes besagt, dass $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ gilt. So ist $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos(t^2)\,dt = \cos(x^2)$, obwohl dieses Integral keine geschlossene Formel hat. Ist die obere Grenze selbst eine Funktion, kommt durch die Kettenregel ein Faktor hinzu: $\frac{d}{dx}\int_0^{x^2}\sin t\,dt = 2x\sin(x^2)$. Die Ableitungsregeln sind in die Ableitungsregeln erklärt zusammengefasst.

Uneigentliche Integrale

Ein bestimmtes Integral über ein unendliches Intervall oder über eine Funktion, die innerhalb des Intervalls gegen unendlich strebt, heißt uneigentlich und wird als Grenzwert definiert. Zum Beispiel:

Eine unendlich lange Region kann also eine endliche Fläche haben. Dagegen wächst $\int_1^{\infty}\frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty}\ln b$ über alle Grenzen: Es divergiert. Dieser Vergleich ist die Grundlage des Integralkriteriums, das in Konvergenzkriterien für Reihen vorgestellt wird.

Welches der beiden verlangt die Aufgabe?

Achte darauf, ob das Integralzeichen Grenzen hat, oder suche nach Formulierungen wie „von … bis“, „zwischen“, „insgesamt“, „Fläche“ oder „wie viel“. Sie deuten auf ein bestimmtes Integral und eine Zahl als Antwort hin. Formulierungen wie „bestimme eine Funktion“, „allgemeine Lösung“ oder „Stammfunktion“ deuten auf ein unbestimmtes Integral mit $+ C$ hin. Eine Aufgabe, die einen Anfangswert wie $f(0) = 2$ angibt, verlangt ein unbestimmtes Integral und danach die Bestimmung von $C$.

Verwende den Integralrechner für unbestimmte Integrale Schritt für Schritt und den Rechner für bestimmte Integrale, um sie über einem Intervall auszuwerten, auch uneigentliche Integrale.

Ein ausführlicher Vergleich an einer einzigen Funktion

Sieht man beide Arten von Integralen an derselben Funktion, wird der Gegensatz greifbar. Betrachte die Funktion, die angibt, wie viel Wasser in Litern pro Minute in einen Tank fließt, und nimm an, sie beträgt $4t + 2$ nach $t$ Minuten.

Das unbestimmte Integral, $2t^2 + 2t + C$, beschreibt die Wassermenge im Tank zu jedem Zeitpunkt, aber nur bis auf eine unbekannte Anfangsmenge. Enthielt der Tank zu Beginn 10 Liter, dann ist $C = 10$, und das Volumen nach $t$ Minuten beträgt $2t^2 + 2t + 10$ Liter. Das ist eine Funktion, die man zu jedem Zeitpunkt auswerten kann.

Das bestimmte Integral von $t = 0$ bis $t = 5$ beantwortet eine andere Frage: Wie viel Wasser ist in diesen fünf Minuten hineingeflossen? Es beträgt $(50 + 10) - 0 = 60$ Liter, unabhängig davon, wie viel Wasser anfangs im Tank war. Die erste Antwort ist eine Formel für einen Zustand; die zweite eine einzige Zahl für eine Änderung. Die meisten konkreten Aufgaben lassen sich klar einer der beiden Arten zuordnen, sobald du dich fragst, ob die Aufgabe eine Menge zu einem Zeitpunkt oder eine Gesamtgröße über ein Intervall verlangt.

Häufige Fehler bei beiden Arten

Bei unbestimmten Integralen ist der häufigste Fehler, die Konstante zu vergessen. Das mag nebensächlich wirken, aber bei einem Anfangswertproblem fällt dadurch genau das weg, was du bestimmen sollst, und bei Differenzialgleichungen verschwindet eine ganze Lösungsschar. Ein weiterer Fehler ist, nach einer Substitution das Ergebnis nicht wieder in der ursprünglichen Variablen zu schreiben.

Bei bestimmten Integralen sind die typischen Fehler, in der falschen Reihenfolge zu subtrahieren, nach einer Substitution alte und neue Grenzen zu vermischen und einen orientierten Flächeninhalt als Gesamtfläche zu deuten. Eine weitere Falle: in einem Zug über eine Stelle hinweg zu integrieren, an der die Funktion nicht definiert ist, etwa $\frac{1}{x^2}$ von $-1$ bis 1. Die Formel blind anzuwenden ergibt $-2$, was für eine positive Funktion unmöglich ist; tatsächlich divergiert das Integral, weil die Funktion bei 0 gegen unendlich strebt. Prüfe immer, ob der Integrand auf dem ganzen Intervall stetig ist, bevor du den Hauptsatz anwendest.

Wie die beiden Ideen zusammenpassen

Es hilft, das unbestimmte Integral als Werkzeug und das bestimmte Integral als Arbeit zu sehen. Eine Stammfunktion zu finden ist der schwierige, kreative Schritt; hat man sie einmal, ergibt sich jedes bestimmte Integral dieser Funktion über jedes Intervall durch eine Subtraktion. Deshalb widmen Lehrbücher den Integrationstechniken so viel Zeit, und deshalb kann eine einzige gut gefundene Stammfunktion auf einen Schlag eine ganze Reihe von Fragen zu Flächen, Strecken und Akkumulation beantworten.

Häufige Fragen