Matrizenrechner

Über den Matrizenrechner

Matrizen ordnen Zahlen in Zeilen und Spalten an; sie sind die Sprache der linearen Algebra, der Computergrafik, ökonomischer Modelle, der Statistik und des maschinellen Lernens. Die Operationen selbst sind einfach, reihen aber viele kleine Multiplikationen und Additionen aneinander, und ein einziger Fehler in einem Eintrag verdirbt die ganze Antwort.

Dieser Rechner beherrscht neun Matrixoperationen: Produkt, Summe, Differenz, Skalarmultiplikation, ganzzahlige Potenzen, Transponierte, reduzierte Zeilenstufenform, Rang und Spur. Die Einträge dürfen ganze Zahlen, Dezimalzahlen oder Brüche sein, und alle Rechnungen sind exakt: Ein Ergebnis wie $\frac32$ erscheint als Bruch und nicht als gerundete Dezimalzahl. Beim Umformen in die Zeilenstufenform wird jede Zeilenumformung der Reihe nach aufgeführt.

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist ein rechteckiges Zahlenschema mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten, genannt $m \times n$ -Matrix. Der Eintrag in Zeile $i$ und Spalte $j$ wird mit $a_{ij}$ bezeichnet. Eine quadratische Matrix hat gleich viele Zeilen wie Spalten, und die Einheitsmatrix $I$ hat Einsen auf der Hauptdiagonale und überall sonst Nullen.

Matrizen stellen lineare Abbildungen und lineare Gleichungssysteme dar. Multipliziert man eine Matrix mit einem Vektor, wendet man eine Abbildung an, etwa eine Drehung oder eine Streckung, und multipliziert man zwei Matrizen, verkettet man zwei Abbildungen zu einer einzigen.

So benutzt du den Matrizenrechner

Wähle eine Rechenoperation aus der Liste.
Gib die Matrix A mit Leerzeichen zwischen den Einträgen und Semikolons zwischen den Zeilen ein, zum Beispiel 1 2; 3 4.
Für Produkt, Summe und Differenz gibst du die Matrix B im selben Format ein.
Für die Skalarmultiplikation oder Potenzen gibst du die Zahl $k$ ein.
Klicke auf Berechnen und verfolge die Schritte bis zum Ergebnis.

Formeln

Eintrag des Matrizenprodukts

(AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Summe

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

Transponierte

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

Spur einer Matrix

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i} a_{ii}

Durchgerechnetes Beispiel: A × B (2×2)

Das Beispiel multipliziert $A = \begin{pmatrix}1 & 2\\3 & 4\end{pmatrix}$ mit $B = \begin{pmatrix}5 & 6\\7 & 8\end{pmatrix}$ . Jeder Eintrag des Produkts ist das Skalarprodukt einer Zeile von $A$ mit einer Spalte von $B$ ; der Eintrag oben links ist $1 \cdot 5 + 2 \cdot 7 = 19$ .

Wiederholt man diese Rechnung an den anderen drei Positionen, erhält man $\begin{pmatrix}19 & 22\\43 & 50\end{pmatrix}$ . In umgekehrter Reihenfolge ergibt sich $\begin{pmatrix}23 & 34\\31 & 46\end{pmatrix}$ , eine andere Matrix, was zeigt, dass die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

A × B exakt berechnen.

Lösungsweg Schritt für Schritt

Matrix A einlesen
$A = \begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\ (2×2)$
Matrix B einlesen
$B = \begin{bmatrix}5 & 6 \\ 7 & 8\end{bmatrix}\ (2×2)$
Jeder Eintrag ist das Skalarprodukt einer Zeile von A mit einer Spalte von B
Das Ergebnis ist 2×2.
$c_{11} = (1)(5) + (2)(7) = 19$
Ergebnis
$\begin{bmatrix}19 & 22 \\ 43 & 50\end{bmatrix}$

Verwendete Formeln

Matrizenprodukt
$c_{ij} = \sum_k a_{ik} b_{kj}$

A ist 2×2 und B ist 2×2, also ist AB gleich 2×2. Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ: BA ist im Allgemeinen verschieden.

Probe

Alle Rechnungen sind exakt (Brüche, keine Rundung).

Ausführliche Erklärung

Wann sind die Operationen definiert?

Summe und Differenz verlangen Matrizen genau gleicher Größe und werden eintragsweise berechnet. Das Produkt $AB$ verlangt, dass die Spaltenzahl von $A$ gleich der Zeilenzahl von $B$ ist; eine $m \times n$ -Matrix mal eine $n \times p$ -Matrix ergibt ein $m \times p$ -Ergebnis. Eine $2 \times 3$ -Matrix kann nicht mit einer $2 \times 2$ -Matrix multipliziert werden, und der Rechner erklärt die unpassenden Größen, statt einen Fehlercode auszugeben.

Potenzen sind nur für quadratische Matrizen definiert, da $A \cdot A$ passende Größen verlangt. Erhebt man $\begin{pmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}$ zur fünften Potenz, erhält man $\begin{pmatrix}8 & 5\\5 & 3\end{pmatrix}$ , deren Einträge Fibonacci-Zahlen sind.

Zeilenstufenform und Rang

Die reduzierte Zeilenstufenform entsteht durch drei elementare Zeilenumformungen: zwei Zeilen vertauschen, eine Zeile mit einer Zahl ungleich null multiplizieren und zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen addieren. Ziel ist, dass jede Zeile ungleich null ein Pivotelement 1 hat, mit Nullen darüber und darunter. Die reduzierte Zeilenstufenform ist das Standardverfahren, um lineare Gleichungssysteme zu lösen, eine Basis zu finden und lineare Unabhängigkeit zu untersuchen.

Der Rang ist die Zahl der Zeilen ungleich null in der reduzierten Zeilenstufenform, also auch die Zahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten. Die Matrix $\begin{pmatrix}1 & 2 & 3\\4 & 5 & 6\\7 & 8 & 9\end{pmatrix}$ lässt sich auf eine Form mit einer Nullzeile bringen: Ihr Rang ist also 2, da die dritte Zeile eine Kombination der ersten beiden ist.

Transponierte und Spur

Die Transponierte ist die Spiegelung einer Matrix an ihrer Hauptdiagonale: Aus Zeilen werden Spalten. Sie taucht bei Skalarprodukten, bei der Methode der kleinsten Quadrate und in der Definition der symmetrischen Matrix auf, die gleich ihrer eigenen Transponierten ist. Die Spur addiert die Diagonaleinträge einer quadratischen Matrix; sie ist gleich der Summe der Eigenwerte, was sie zu einer schnellen Kontrolle macht, wenn man diese berechnet.

Häufige Fehler

Matrizen eintragsweise statt Zeile mal Spalte multiplizieren.
Annehmen, dass $AB = BA$ gilt; die Reihenfolge der Faktoren ist wichtig.
Versuchen, Matrizen unterschiedlicher Größe zu addieren.
Die Größe des Produkts falsch bestimmen; eine $m \times n$ -Matrix mal eine $n \times p$ -Matrix ergibt $m \times p$ .
Beim Umformen eine Zeile mit null multiplizieren, wodurch Information verloren geht.

Tipps

Schreibe vor dem Multiplizieren die Größe neben jede Matrix, um zu prüfen, ob das Produkt existiert.
Verwende Brüche statt gerundeter Dezimalzahlen, damit die Zeilenumformung exakt bleibt.
Kontrolliere ein Produkt, indem du einen Eintrag von Hand nachrechnest.
Nutze den Determinantenrechner, um zu prüfen, ob eine quadratische Matrix invertierbar ist.
Nutze den Rechner für Gleichungssysteme, wenn deine Matrix aus einem linearen Gleichungssystem stammt.

Häufige Fragen

Wie gebe ich eine Matrix ein?

Trenne die Einträge einer Zeile durch Leerzeichen oder Kommas und die Zeilen durch Semikolons. So ist 1 2; 3 4 die 2×2-Matrix mit den Zeilen (1, 2) und (3, 4).

Warum ist die Matrizenmultiplikation nicht kommutativ?

AB kombiniert die Zeilen von A mit den Spalten von B, während BA die Zeilen von B mit den Spalten von A kombiniert. Das sind verschiedene Rechnungen: Im Allgemeinen unterscheiden sich die Ergebnisse, und manchmal existiert ein Produkt und das andere nicht.

Wann kann man zwei Matrizen multiplizieren?

Wenn die Spaltenzahl der ersten gleich der Zeilenzahl der zweiten ist. Das Produkt hat so viele Zeilen wie die erste und so viele Spalten wie die zweite Matrix.

Was ist die reduzierte Zeilenstufenform?

Eine Form, in der jede Zeile ungleich null mit einer führenden 1 beginnt, jede führende 1 rechts von der der vorherigen Zeile steht und alle anderen Einträge in der Spalte einer führenden 1 null sind.

Was misst der Rang einer Matrix?

Die Zahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten. Bei einer quadratischen Matrix bedeutet vollen Rang zu haben, dass die Matrix invertierbar ist und das zugehörige lineare Gleichungssystem eine eindeutige Lösung hat.

Kann ich Brüche in der Matrix verwenden?

Ja. Einträge wie 1/2 werden akzeptiert, und alle Ergebnisse werden mit exakten Brüchen berechnet.

Was ist die Spur einer Matrix?

Die Summe der Einträge auf der Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix. Sie ist außerdem gleich der Summe der Eigenwerte der Matrix.

Probier den Matrizenrechner aus

Gib deine Matrizen ein, wähle eine Rechenoperation und erhalte das exakte Ergebnis mit jedem Schritt erklärt.

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