Eigenwerte und Eigenvektoren berechnen

Über den Eigenwert-Rechner

Eigenwerte und Eigenvektoren beschreiben die Richtungen, die eine Matrix festhält, und wie stark sie diese streckt. Sie stecken hinter dem ursprünglichen PageRank-Algorithmus von Google, den Schwingungsformen von Brücken und Molekülen, der Hauptkomponentenanalyse in der Statistik, der Stabilität von Differentialgleichungen und den Energieniveaus der Quantenmechanik. In einer Vorlesung zur linearen Algebra ist es meist das Kapitel, in dem alles Bisherige — Determinanten, gaußsches Eliminationsverfahren und Kerne — zusammenkommt.

Dieser Rechner folgt dem Lehrbuchverfahren. Er bildet das charakteristische Polynom $\det(\lambda I - A)$ , bestimmt seine Nullstellen exakt mit dem Satz über rationale Nullstellen, der Mitternachtsformel und der Polynomdivision und löst dann $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ für jeden Eigenwert, sodass die Eigenvektoren nach Möglichkeit einfache ganzzahlige Komponenten haben.

Irrationale Eigenwerte bleiben in exakter Form mit Wurzeln stehen, komplexe erscheinen als konjugierte Paare, und mehrfache werden mit ihrer algebraischen und geometrischen Vielfachheit angegeben, damit du auf einen Blick siehst, ob die Matrix diagonalisierbar ist. Akzeptiert werden Matrizen von 2×2 bis 4×4, was praktisch alle Übungsaufgaben und Klausuren abdeckt.

Was sind Eigenwerte und Eigenvektoren?

Ein Vektor $\mathbf v$ ungleich null ist ein Eigenvektor einer quadratischen Matrix $A$ , wenn die Multiplikation mit $A$ nur seine Länge ändert: $A\mathbf v = \lambda \mathbf v$ für eine Zahl $\lambda$ . Diese Zahl ist der zu $\mathbf v$ gehörende Eigenwert. Die meisten Vektoren ändern ihre Richtung, wenn man sie mit einer Matrix multipliziert; Eigenvektoren sind die besonderen, die auf ihrer eigenen Ursprungsgeraden bleiben.

Schreibt man die Definition als $(A - \lambda I)\mathbf v = \mathbf 0$ , sieht man, wie man sie findet. Eine Lösung ungleich null gibt es nur, wenn $A - \lambda I$ nicht invertierbar ist, also wenn ihre Determinante null ist. Die Gleichung $\det(A - \lambda I) = 0$ heißt charakteristische Gleichung; für eine $n \times n$ -Matrix ist sie ein Polynom vom Grad $n$ : Es gibt also, mit Vielfachheit gezählt, genau $n$ Eigenwerte, und einige davon können komplex sein.

Jeder Eigenwert hat unendlich viele Eigenvektoren, denn jedes Vielfache eines Eigenvektors ungleich null ist wieder ein Eigenvektor. Deshalb werden die Antworten als ein repräsentativer Vektor angegeben, oder als Basis, wenn es mehrere unabhängige Richtungen gibt, und dein Lehrbuch zeigt vielleicht ein anderes Vielfaches desselben Vektors.

So benutzt du den Eigenwert-Rechner

Schreibe die Matrix mit einer Matrixzeile pro Textzeile und Leerzeichen zwischen den Einträgen, zum Beispiel 4 1 in der ersten Zeile und 2 3 in der zweiten.
Du kannst die ganze Matrix auch in eine einzige Zeile schreiben, mit Semikolons zwischen den Zeilen, etwa 4 1; 2 3.
Die Einträge dürfen ganze Zahlen, Dezimalzahlen, Brüche oder negative Zahlen sein. Die Matrix muss quadratisch sein, von 2×2 bis 4×4.
Klicke auf Eigenwerte berechnen, um das charakteristische Polynom, seine Nullstellen und die Berechnung der Eigenvektoren zu jedem Eigenwert zu sehen.
Sieh dir bei mehrfachen Eigenwerten die angegebenen Vielfachheiten an, wenn du wissen musst, ob die Matrix diagonalisierbar ist.

Formeln

Eigenwertgleichung

A\mathbf v = \lambda \mathbf v,\quad \mathbf v \ne \mathbf 0

Charakteristische Gleichung

\det(\lambda I - A) = 0

Abkürzung für 2×2

\lambda^2 - (\operatorname{tr} A)\,\lambda + \det A = 0

Spur und Determinante

\lambda_1 + \cdots + \lambda_n = \operatorname{tr} A,\quad \lambda_1 \cdots \lambda_n = \det A

Diagonalisierung einer Matrix

A = PDP^{-1},\quad D = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)

Durchgerechnetes Beispiel: 2×2, rationale Einträge

Das Rechenbeispiel wird live für $A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$ berechnet. Die Spur ist 7 und die Determinante $4\cdot3 - 1\cdot2 = 10$ : Das charakteristische Polynom ist also $\lambda^2 - 7\lambda + 10 = (\lambda - 5)(\lambda - 2)$ , und die Eigenwerte sind 5 und 2.

Für $\lambda = 5$ hat die Matrix $A - 5I$ die Zeilen $(-1, 1)$ und $(2, -2)$ , und ihr Kern wird von $\langle 1, 1 \rangle$ aufgespannt. Für $\lambda = 2$ hat $A - 2I$ die Zeilen $(2, 1)$ und $(2, 1)$ , was $\langle -1, 2 \rangle$ ergibt. Die Probe geht schnell: $A\langle 1, 1\rangle = \langle 5, 5\rangle$ , genau das Fünffache des Vektors.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\lambda = 5,\ 2

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer 2×2-Matrix berechnen.

\begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die charakteristische Gleichung aufstellen
$\det(\lambda I - A) = 0,\quad A = \begin{bmatrix}4 & 1 \\ 2 & 3\end{bmatrix}$
Für eine 2×2-Matrix lautet sie λ² − (Spur)λ + det
$\lambda^2 - (7)\lambda + (10) = 0$
Charakteristisches Polynom
$p(\lambda) = \lambda^{2} - 7\lambda + 10$
Rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen gefunden
$\lambda = 2,\ \lambda = 5$
Eigenvektoren zu λ = 5: (A − λI)v = 0 lösen
$\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ 2 & -2\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle 1, 1 \rangle$
Eigenvektoren zu λ = 2: (A − λI)v = 0 lösen
$\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\,v = 0 \Rightarrow v = \langle -1, 2 \rangle$

Verwendete Formeln

Charakteristische Gleichung
$\det(\lambda I - A) = 0$
Eigenvektorgleichung
$(A - \lambda I)\,v = 0,\ v \neq 0$

Die Eigenwerte sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms. Eigenvektoren: λ = 5: ⟨1, 1⟩; λ = 2: ⟨-1, 2⟩.

Probe

Die Summe der Eigenwerte ≈ 7 ist gleich der Spur 7.
Das Produkt der Eigenwerte ist gleich der Determinante 10.

Ausführliche Erklärung

Schritt 1: das charakteristische Polynom

Für eine 2×2-Matrix lässt sich das Polynom direkt als $\lambda^2 - (\text{Spur})\lambda + \det$ schreiben. Bei größeren Matrizen entwickelt der Rechner $\det(\lambda I - A)$ nach Kofaktoren. Die symmetrische 3×3-Matrix mit den Zeilen $(2, 0, 0)$ , $(0, 3, 4)$ und $(0, 4, 9)$ ergibt $\lambda^3 - 14\lambda^2 + 35\lambda - 22$ .

Zwei schnelle Kontrollen finden die meisten Rechenfehler. Der Koeffizient von $\lambda^{n-1}$ ist das Negative der Spur, hier $-(2 + 3 + 9) = -14$ , und das konstante Glied ist $(-1)^n \det A$ , hier $-22$ , weil die Determinante 22 ist.

Schritt 2: die Nullstellen finden

Bei ganzzahligen Koeffizienten teilt jeder rationale Eigenwert das konstante Glied: Der Rechner testet also die Teiler von 22, findet $\lambda = 1$ , teilt das Polynom durch $(\lambda - 1)$ und faktorisiert das verbleibende quadratische Polynom. Die Eigenwerte sind 11, 2 und 1, und ihre Summe 14 ist tatsächlich gleich der Spur.

Lässt sich der verbleibende quadratische Faktor über den rationalen Zahlen nicht zerlegen, liefert die Mitternachtsformel exakte Wurzelausdrücke. Für $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}$ hat das Polynom $\lambda^2 - 5\lambda - 2$ die Nullstellen $\frac52 \pm \frac{\sqrt{33}}{2}$ , etwa 5.372 und $-0.372$ . Ist die Diskriminante negativ, sind die Nullstellen konjugiert komplex; die Drehmatrix $\begin{bmatrix}0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ ergibt $\lambda^2 + 1 = 0$ , also $\lambda = \pm i$ , was ausdrückt, dass eine Drehung um 90° keine reelle Richtung festhält.

Schritt 3: die Eigenvektoren aus dem Kern

Setze jeden Eigenwert in $A - \lambda I$ ein und löse das homogene Gleichungssystem mit dem gaußschen Eliminationsverfahren. Da die Matrix nicht invertierbar ist, wird mindestens eine Zeile zu einer Nullzeile, und es bleibt eine freie Variable übrig. Gibt man der freien Variablen einen geschickten Wert und setzt rückwärts ein, erhält man den Eigenvektor, den der Rechner auf kleine ganze Zahlen kürzt.

Für $\lambda = 11$ im 3×3-Beispiel hat $A - 11I$ die Zeilen $(-9, 0, 0)$ , $(0, -8, 4)$ und $(0, 4, -2)$ . Die erste Zeile erzwingt $v_1 = 0$ , und die beiden anderen besagen $v_3 = 2v_2$ : Man erhält $\mathbf v = \langle 0, 1, 2 \rangle$ . Symmetrische Matrizen wie diese haben immer reelle Eigenwerte und zueinander orthogonale Eigenvektoren, was du mit dem Skalarprodukt nachprüfen kannst.

Mehrfache Eigenwerte und Diagonalisierung

Ein Eigenwert, der $k$ -mal als Nullstelle auftritt, hat die algebraische Vielfachheit $k$ . Die Anzahl der zugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren ist seine geometrische Vielfachheit, und die kann kleiner sein. $\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 0 & 2\end{bmatrix}$ und $2I$ haben beide den doppelten Eigenwert 2, aber die erste hat nur eine Eigenvektorrichtung, $\langle 1, 0 \rangle$ , während die zweite zwei hat, $\langle 1, 0 \rangle$ und $\langle 0, 1 \rangle$ .

Eine Matrix lässt sich genau dann als $PDP^{-1}$ schreiben, mit den Eigenwerten auf der Diagonalen von $D$ und den Eigenvektoren in den Spalten von $P$ , wenn die geometrische Vielfachheit jedes Eigenwerts gleich seiner algebraischen Vielfachheit ist. Die Diagonalisierung erleichtert das Berechnen von Potenzen, denn $A^k = PD^kP^{-1}$ , und so sagen Eigenwerte das Langzeitverhalten von Populationsmodellen und Markow-Ketten voraus.

Nützliche Abkürzungen

Die Eigenwerte einer Dreiecksmatrix sind ihre Diagonaleinträge: Die Matrix mit den Zeilen $(1, 2, 3)$ , $(0, 4, 5)$ und $(0, 0, 6)$ hat also ohne jede Rechnung die Eigenwerte 6, 4 und 1. Eine Matrix ist genau dann invertierbar, wenn 0 kein Eigenwert ist, und die Eigenwerte von $A^{-1}$ sind die Kehrwerte der Eigenwerte von $A$ , mit denselben Eigenvektoren.

Einfache Änderungen an einer Matrix verschieben ihre Eigenwerte auf vorhersagbare Weise. Addiert man das $c$ -Fache der Einheitsmatrix, erhöht sich jeder Eigenwert um $c$ ; multipliziert man die Matrix mit einem Skalar, wird jeder Eigenwert mit diesem Skalar multipliziert; potenziert man sie mit $k$ , wird jeder Eigenwert mit $k$ potenziert, und das alles, ohne die Eigenvektoren zu ändern. Eine Matrix und ihre Transponierte haben dieselben Eigenwerte, im Allgemeinen aber nicht dieselben Eigenvektoren. Mit diesen Eigenschaften kannst du Antworten kontrollieren und Ergebnisse vorhersagen, bevor du rechnest.

Häufige Fehler

$\det(A) - \lambda$ statt $\det(A - \lambda I)$ berechnen; $\lambda$ muss von jedem Diagonaleintrag abgezogen werden.
Den Nullvektor als Eigenvektor akzeptieren; ein Eigenvektor ist per Definition ungleich null.
Sich beim Polynom verrechnen und dann einen Kern finden, der nur den Nullvektor enthält.
Annehmen, dass jede Matrix reelle Eigenwerte hat; Drehungen und viele nicht symmetrische Matrizen haben komplexe Eigenwerte.
Einen Eigenvektor für falsch halten, weil er sich vom Eigenvektor im Lehrbuch um einen konstanten Faktor unterscheidet.
Eine Matrix für diagonalisierbar erklären, ohne die geometrische Vielfachheit mehrfacher Eigenwerte zu prüfen.

Tipps

Prüfe, ob die Summe der Eigenwerte gleich der Spur und ihr Produkt gleich der Determinante ist.
Teste jeden Eigenvektor, indem du $A\mathbf v$ berechnest und mit $\lambda\mathbf v$ vergleichst.
Lies die Eigenwerte von Dreiecksmatrizen direkt auf der Diagonalen ab.
Entwickle bei 3×3-Matrizen die Determinante nach der Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen.
Nutze den Determinantenrechner, um zu bestätigen, dass $A - \lambda I$ für jeden Eigenwert nicht invertierbar ist.
Erwarte reelle Eigenwerte und orthogonale Eigenvektoren, wann immer die Matrix symmetrisch ist.
Klammere zuerst einen Skalar aus der Matrix aus; die Eigenwerte werden einfach mit diesem Faktor multipliziert.

Häufige Fragen

Wie gebe ich eine Matrix in den Eigenwert-Rechner ein?

Schreibe eine Matrixzeile pro Textzeile mit Leerzeichen zwischen den Einträgen, oder setze alle Zeilen in eine einzige, getrennt durch Semikolons, etwa 4 1; 2 3. Brüche, Dezimalzahlen und negative Zahlen sind erlaubt.

Welche Matrixgrößen werden unterstützt?

Quadratische Matrizen von 2×2 bis 4×4. Eigenwerte sind nur für quadratische Matrizen definiert: Eine 3×2-Matrix zum Beispiel wird mit einer Erklärung abgelehnt.

Findet der Rechner komplexe Eigenwerte?

Ja. Hat das charakteristische Polynom eine negative Diskriminante, erscheinen die Eigenwerte als konjugiert komplexes Paar, etwa λ = i und −i bei einer Drehmatrix um 90°.

Warum unterscheidet sich mein Eigenvektor von dem im Lehrbuch?

Jedes Vielfache eines Eigenvektors ungleich null ist wieder ein Eigenvektor. ⟨1, 1⟩ und ⟨3, 3⟩ beschreiben dieselbe Richtung. Prüfe, ob einer der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist.

Was bedeuten algebraische und geometrische Vielfachheit?

Die algebraische Vielfachheit gibt an, wie oft ein Eigenwert als Nullstelle des charakteristischen Polynoms vorkommt. Die geometrische Vielfachheit ist die Anzahl der zugehörigen linear unabhängigen Eigenvektoren. Der Rechner gibt bei mehrfachen Eigenwerten beide an.

Liefert der Rechner exakte Eigenwerte oder Dezimalzahlen?

Exakte, wann immer es geht: ganze Zahlen, Brüche und Wurzelausdrücke wie 5/2 ± √33/2. Auf genaue Dezimalwerte weicht er nur aus, wenn sich die Nullstellen eines Polynoms dritten oder vierten Grades nicht exakt bestimmen lassen.

Wie hängen Eigenwerte, Determinante und Spur zusammen?

Das Produkt aller Eigenwerte ist gleich der Determinante und ihre Summe gleich der Spur. Für die Matrix mit den Zeilen (4, 1) und (2, 3) ist 5 × 2 = 10 die Determinante und 5 + 2 = 7 die Spur.

Was bedeutet ein Eigenwert gleich null?

Dass die Matrix singulär ist: Sie hat keine Inverse, und ihre Determinante ist null. Die Eigenvektoren zu λ = 0 spannen den Kern der Matrix auf.

Wofür braucht man Eigenwerte außerhalb des Unterrichts?

Für Schwingungsanalyse, die Stabilität von Regelungssystemen, die Hauptkomponentenanalyse, die Quantenmechanik, Markow-Ketten und das Ranking von Suchmaschinen: überall dort, wo man verstehen muss, was die wiederholte Anwendung einer linearen Abbildung bewirkt.

Probier den Eigenwert-Rechner aus

Gib eine quadratische Matrix ein und erhalte ihre exakten Eigenwerte und Eigenvektoren mit dem charakteristischen Polynom und jedem Schritt.

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