Gleichungsrechner

Q: Wie werden kubische Gleichungen gelöst?

Der Rechner testet die möglichen rationalen Nullstellen p/q, teilt mit dem Horner-Schema durch jede gefundene Nullstelle und löst, was übrig bleibt. Verbleibende irrationale Nullstellen werden numerisch bestimmt.

Q: Wie viele Lösungen kann eine Polynomgleichung haben?

Eine Polynomgleichung vom Grad n hat höchstens n reelle Lösungen und genau n komplexe Lösungen, wenn man mehrfache Nullstellen mitzählt. Die quartische Gleichung x^4 - 5x^2 + 4 = 0 hat vier reelle Lösungen: -2, -1, 1 und 2.

Über den Gleichungsrechner

Ein Gleichungslöser muss erkennen, welche Art von Aufgabe vor ihm liegt. Eine lineare Gleichung verlangt Umkehroperationen, eine quadratische die Mitternachtsformel, und eine kubische oder quartische Gleichung lässt sich mit dem Satz über rationale Nullstellen zerlegen.

Dieser Rechner fasst die Terme wann immer möglich zu einem Polynom zusammen und löst es exakt. Bei Gleichungen wie $2^x = 32$ oder $\sin x = 0.5$ bestimmt er die reellen Lösungen numerisch und listet sie in einem angegebenen Intervall auf. Ohne Gleichheitszeichen vereinfacht oder berechnet er den Term.

Was ist ein Gleichungsrechner?

Ein Gleichungsrechner nimmt eine Gleichung mit einer Unbekannten entgegen und gibt alle Werte zurück, die sie erfüllen, zusammen mit dem verwendeten Verfahren. Das Verfahren hängt von der Art der Gleichung ab. Eine lineare Gleichung wie $5x - 3 = 12$ braucht nur Umkehroperationen. Eine Polynomgleichung wie $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ verlangt, die Nullstellen eine nach der anderen zu finden. Eine Gleichung wie $2^x = 32$ hat die Unbekannte im Exponenten und wird anders behandelt.

Der Rechner schreibt die Gleichung zuerst als einen einzigen Term gleich null und prüft, ob dieser Term ein Polynom ist. Wenn ja, werden die Nullstellen exakt bestimmt; wenn nicht, werden die reellen Nullstellen in einem angegebenen Intervall numerisch gesucht. Gibst du einen Term ohne Gleichheitszeichen ein, wird er ausmultipliziert und vereinfacht: $(x + 3)^2$ wird zu $x^2 + 6x + 9$ .

So benutzt du den Gleichungsrechner

Gib eine Gleichung wie x^3 − 6x^2 + 11x − 6 = 0 oder einen Term wie (x + 3)^2 ein.
Verwende ^ für Potenzen, * für die Multiplikation (zwischen Zahl und Buchstabe optional) und sqrt( ) für Wurzeln.
Klicke auf Lösen. Die Interpretationszeile zeigt das gewählte Verfahren.

Formeln

Satz über rationale Nullstellen

a_n x^n + \cdots + a_0 = 0,\ x = \frac{p}{q} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n

Mitternachtsformel

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Faktorsatz

P(r) = 0 \iff (x - r) \text{ ist ein Faktor von } P(x)

Durchgerechnetes Beispiel: x³ − 6x² + 11x − 6 = 0

Das durchgerechnete Beispiel ist die kubische Gleichung $x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ . Nach dem Satz über rationale Nullstellen muss jede rationale Nullstelle 6 teilen, also testet der Rechner die Kandidaten $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Er findet $x = 1$ , teilt durch den zugehörigen Faktor und erhält $x^2 - 5x + 6$ ; dann findet er $x = 2$ , es bleibt $x - 3$ übrig und schließlich $x = 3$ . Setzt man jede Nullstelle in die ursprüngliche kubische Gleichung ein, erhält man 0, wie die Probe bestätigt.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

x = 1,\ x = 2,\ x = 3

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Polynomgleichung vom Grad 3 in x.

{x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0

Lösungsweg Schritt für Schritt

Von der Gleichung ausgehen
${x}^{3}-6{x}^{2}+11x-6 = 0$
Alle Terme auf eine Seite bringen
$x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = 0$
Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 1 ist eine Nullstelle
Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x - 1) lässt ein Polynom vom Grad 2 übrig.
$x^{2} - 5x + 6 = 0$
Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 2 ist eine Nullstelle
Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x - 2) lässt ein Polynom vom Grad 1 übrig.
$x - 3 = 0$
Kandidaten nach dem Satz über rationale Nullstellen testen: x = 3 ist eine Nullstelle
Die Polynomdivision (Horner-Schema) durch (x - 3) lässt ein Polynom vom Grad 0 übrig.
Die reellen Lösungen sammeln
$x = 1,\quad x = 2,\quad x = 3$

Verwendete Formeln

Satz über rationale Nullstellen
$x = \frac{p}{q},\ p \mid a_0,\ q \mid a_n$

Ein Polynom vom Grad 3 hat genau 3 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt (einige können komplex sein). Zuerst werden exakte rationale Nullstellen gesucht, danach werden die übrigen exakt berechnet oder angenähert.

Probe

x = 1: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
x = 2: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓
x = 3: linke Seite = 0, rechte Seite = 0 ✓

Ausführliche Erklärung

Polynomgleichungen Schritt für Schritt

Der Faktorsatz besagt, dass $r$ genau dann eine Nullstelle eines Polynoms ist, wenn $x - r$ ein Faktor davon ist. Jede gefundene Nullstelle erlaubt dem Rechner also, das Polynom mit dem Horner-Schema durch $x - r$ zu teilen, was den Grad um eins senkt. Bleibt ein quadratisches Polynom übrig, beenden Diskriminante und Mitternachtsformel die Arbeit exakt. So wird eine quartische Gleichung wie $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ in ihre vier Nullstellen $-2, -1, 1$ und $2$ zerlegt.

Hat der verbleibende Faktor keine rationale Nullstelle, werden seine reellen Nullstellen numerisch angenähert und mit dem Zeichen ≈ markiert, während für quadratische Faktoren komplexe Nullstellen angegeben werden.

Nicht polynomiale Gleichungen

Bei Exponential-, Logarithmus- und trigonometrischen Gleichungen schreibt der Rechner die Gleichung in der Form $f(x) = 0$ , durchsucht das Intervall von −100 bis 100 nach Stellen, an denen $f$ das Vorzeichen wechselt, und grenzt jede mit dem Bisektionsverfahren ein. Für $2^x = 32$ findet er $x \approx 5$ und setzt ein, um zu zeigen, dass beide Seiten 32 ergeben. Da nur dieses Intervall abgesucht wird, weist der Rechner in den Schritten darauf hin; periodische Gleichungen wie $\sin x = 0.5$ haben unendlich viele Lösungen, und nur die im Intervall werden angezeigt.

Häufige Fehler

2x^2 schreiben, wenn (2x)^2 gemeint ist; die Potenz wird vor der Multiplikation berechnet.
Von einer kubischen Gleichung nur eine Lösung erwarten; ein Polynom vom Grad $n$ kann bis zu $n$ reelle Nullstellen haben.
sin x ohne Klammern schreiben; schreibe sin(x).
Beide Seiten durch einen Faktor teilen, der $x$ enthält, und dabei die Nullstellen verlieren, an denen dieser Faktor null wird.
Vergessen, alle Terme auf eine Seite zu bringen, bevor man faktorisiert.

Tipps

Bring alles auf eine Seite und klammere gemeinsame Faktoren aus, bevor du zu Formeln greifst.
Nutze den Funktionsplotter, um zu sehen, wie viele reelle Nullstellen zu erwarten sind.
Prüfe bei Exponentialgleichungen, ob sich beide Seiten zur selben Basis schreiben lassen.
Ist die Summe aller Koeffizienten 0, dann ist $x = 1$ eine Nullstelle; so ist es im durchgerechneten Beispiel.
Lies zuerst die Interpretationszeile: Sie zeigt, wie die Eingabe verstanden und welches Verfahren verwendet wurde.
Klammere zum Beispiel $x$ aus, statt zu teilen; $x^3 = 4x$ hat drei Lösungen, nicht zwei.

Häufige Fragen

Welche Arten von Gleichungen löst er?

Lineare, quadratische und Polynomgleichungen beliebigen Grades, Bruchgleichungen mit x im Nenner und Gleichungen in einer Variablen mit Exponentialfunktionen, Logarithmen oder trigonometrischen Funktionen (numerisch gelöst).

Wie werden kubische Gleichungen gelöst?

Der Rechner testet die möglichen rationalen Nullstellen $\frac{p}{q}$ , teilt mit dem Horner-Schema durch jede gefundene Nullstelle und löst, was übrig bleibt. Verbleibende irrationale Nullstellen werden numerisch bestimmt.

Warum steht bei der Lösung das Zeichen ≈?

Das Näherungszeichen zeigt, dass die Nullstelle numerisch bestimmt wurde, auf etwa 10 gültige Ziffern, weil es keinen exakten Ausdruck gibt.

Kann ich einen Term ohne Gleichheitszeichen vereinfachen?

Ja. Gib einen Term wie (x + 3)^2 ein, um ihn auszumultiplizieren und zu vereinfachen, oder einen Zahlenterm, um ihn zu berechnen.

Findet er komplexe Lösungen?

Komplexe Lösungen werden für quadratische Gleichungen angegeben und für Polynome, nachdem die reellen Nullstellen abgespalten wurden. Nicht polynomiale Gleichungen werden in den reellen Zahlen gelöst.

Werden die Lösungen geprüft?

Ja. Jede Lösung wird in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt, und das Residuum erscheint im Abschnitt zur Probe.

Wie viele Lösungen kann eine Polynomgleichung haben?

Eine Polynomgleichung vom Grad $n$ hat höchstens $n$ reelle Lösungen und genau $n$ komplexe Lösungen, wenn man mehrfache Nullstellen mitzählt. Die quartische Gleichung $x^4 - 5x^2 + 4 = 0$ hat vier reelle Lösungen: $-2, -1, 1$ und $2$ .

Wozu dient der Satz über rationale Nullstellen?

Er beschränkt die möglichen rationalen Nullstellen auf Brüche $\frac{p}{q}$ , bei denen $p$ das Absolutglied und $q$ den Leitkoeffizienten teilt. So erhältst du eine kurze Liste von Kandidaten zum Testen, statt zu raten.

Kann ich einen Term vereinfachen, ohne ihn zu lösen?

Ja. Lass das Gleichheitszeichen weg, und der Rechner multipliziert aus und fasst gleichartige Terme zusammen, statt zu lösen. Gibst du $(x + 3)^2$ ein, erhältst du $x^2 + 6x + 9$ .

Probiere den Gleichungsrechner aus

Gib eine Gleichung oder einen Term ein und sieh, welches Verfahren gewählt und wie jede Lösung geprüft wird.

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