Terme vereinfachen — Rechner mit Rechenweg

Über den Rechner zum Vereinfachen von Termen

Vereinfachen ist das tägliche Aufräumen der Algebra. Bevor man löst, zeichnet oder Terme vergleicht, muss man sie meist in eine saubere Normalform bringen: Klammern aufgelöst, gleichartige Terme zusammengefasst und Brüche gekürzt. Von Hand ist das vor allem eine Frage der Sorgfalt, und ein einziges vergessenes Vorzeichen verdirbt das Ergebnis.

Dieser Rechner vereinfacht Polynomterme in einer oder mehreren Variablen wie $3(x + 2) - 2(x - 1)$ oder $(a + b)^2 - (a - b)^2$ , numerische Terme mit Brüchen und Bruchterme in einer Variablen wie $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ : Er faktorisiert sie, kürzt gemeinsame Faktoren und gibt die ausgeschlossenen Werte an.

Was bedeutet es, einen Term zu vereinfachen?

Zwei Terme sind äquivalent, wenn sie für jeden zulässigen Wert der Variablen denselben Wert annehmen. Vereinfachen heißt, einen Term durch einen äquivalenten, kürzeren oder einheitlicheren zu ersetzen. Bei einem Polynom hat die Normalform keine Klammern, genau einen Term für jede Kombination von Potenzen, und die Terme stehen nach fallendem Grad geordnet.

Bei einem Bruchterm ist die einfachste Form die, in der Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Polynomfaktor mehr haben. Einen Faktor wie $x + 3$ zu kürzen ist nur dort erlaubt, wo $x + 3 \ne 0$ gilt, deshalb nennt eine vollständige Antwort diese Einschränkung.

So benutzt du den Rechner zum Vereinfachen von Termen

Gib den Term ein, zum Beispiel 3(x + 2) - 2(x - 1) oder (x^2 - 9)/(x^2 + 3x).
Verwende ^ für Potenzen und * oder einfaches Nebeneinanderschreiben für die Multiplikation: 2x, 2*x und 2(x + 1) funktionieren gleich.
Starte die Vereinfachung und verfolge die Schritte: Ausmultiplizieren, Auflösen der Potenzen, Zusammenfassen gleichartiger Terme und bei Brüchen Faktorisieren und Kürzen.
Lies die vereinfachte Endform zusammen mit den zugehörigen ausgeschlossenen Werten ab.

Formeln

Distributivgesetz

a(b + c) = ab + ac

Erste binomische Formel

(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Zusammenfassen gleichartiger Terme

px^k + qx^k = (p + q)x^k

Kürzen eines gemeinsamen Faktors

\frac{AC}{BC} = \frac{A}{B}, \quad C \ne 0

Durchgerechnetes Beispiel: 3(x + 2) − 2(x − 1)

Im Beispiel wird $3(x + 2) - 2(x - 1)$ vereinfacht. Der Rechner multipliziert jeden Koeffizienten aus und achtet darauf, dass die $-2$ beide Terme der zweiten Klammer multipliziert, wodurch aus $-1$ ein $+2$ wird.

So erhält man $3x + 6 - 2x + 2$ . Fasst man die Terme mit $x$ und die Konstanten getrennt zusammen, bleibt $x + 8$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

x + 8

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Den Polynomterm in x vereinfachen.

3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)

Lösungsweg Schritt für Schritt

Den Term lesen
$3 \left( x+2\right)-2 \left( x-1\right)$
Ausmultiplizieren (jedes Produkt auflösen)
Jeder Term des einen Faktors wird mit jedem Term des anderen multipliziert: a(b + c) = ab + ac.
Ergebnis nach dem Ausmultiplizieren
$3x + 6 - 2x + 2$
Gleichartige Terme zusammenfassen
x: 3 − 2 = 1; Konstanten: 6 + 2 = 8. Gleichartige Terme haben dieselben Variablen und Exponenten, deshalb werden nur ihre Koeffizienten addiert.
Das Ergebnis in Normalform schreiben
Die Terme werden nach fallendem Gesamtgrad geordnet.
$x + 8$

Verwendete Formeln

Distributivgesetz
$a(b + c) = ab + ac$
Quadrat einer Summe
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
Gleichartige Terme
$m\,x^k + n\,x^k = (m + n)\,x^k$

Nach dem Ausmultiplizieren und Zusammenfassen gleichartiger Terme lautet der Term x + 8, ein Polynom vom Grad 1 mit 2 Termen.

Probe

Stichprobe bei x = 0.73: ursprünglich 8.73, vereinfacht 8.73 ✓

Ausführliche Erklärung

Gleichartige Terme

Gleichartige Terme haben genau dieselben Variablen mit genau denselben Exponenten; nur die Zahlenkoeffizienten dürfen sich unterscheiden. So sind $5x^2y$ und $-2x^2y$ gleichartig und ergeben zusammen $3x^2y$ , aber $x^2y$ und $xy^2$ sind es nicht und müssen getrennt bleiben.

Der Rechner speichert jeden Term als Koeffizienten zusammen mit einer Liste von Exponenten. Zwei Terme zu addieren heißt dann, die Koeffizienten mit derselben Liste zu addieren, und genau das ist das Zusammenfassen gleichartiger Terme. Da die Koeffizienten exakte Brüche sind, sind Ergebnisse wie $\tfrac{1}{3}x + \tfrac{1}{6}x = \tfrac{1}{2}x$ exakt.

Erst ausmultiplizieren, dann zusammenfassen

Klammern verstecken gleichartige Terme. In $(a + b)^2 - (a - b)^2$ lässt sich nichts zusammenfassen, solange die beiden Quadrate nicht aufgelöst sind: $a^2 + 2ab + b^2 - (a^2 - 2ab + b^2)$ . Dann heben sich die Terme $a^2$ und $b^2$ auf, und es bleibt $4ab$ . Der Rechner multipliziert immer zuerst alle Produkte und Potenzen aus und fasst erst danach zusammen.

Das Subtrahieren einer Klammer ist eine klassische Fehlerquelle. Das Minuszeichen gilt für alle Terme in der Klammer, also ist $-(a^2 - 2ab + b^2) = -a^2 + 2ab - b^2$ .

Bruchterme

Um einen Quotienten von Polynomen zu vereinfachen, faktorisierst du Zähler und Nenner vollständig und kürzt dann die Faktoren, die in beiden vorkommen. In $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x} = \frac{(x - 3)(x + 3)}{x(x + 3)}$ kürzt man den gemeinsamen Faktor $x + 3$ , und es bleibt $\frac{x - 3}{x}$ mit $x \ne 0$ und $x \ne -3$ .

Gekürzt werden nur Faktoren, nie einzelne Summanden. Das $x^2$ in $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 3x}$ wegzustreichen wäre ein Fehler, denn $x^2$ ist ein Summand und kein Faktor des ganzen Zählers. Merke: Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen.

Numerische Terme und Rechenreihenfolge

Wenn ein Term nur Zahlen enthält, heißt Vereinfachen, ihn exakt auszurechnen. Der Rechner hält sich an die übliche Rechenreihenfolge: zuerst Klammern, dann Potenzen, dann Punkt- vor Strichrechnung, jeweils von links nach rechts. Brüche bleiben von Anfang bis Ende Brüche, sodass $\tfrac34 + \tfrac56 \cdot 2$ zu $\tfrac34 + \tfrac53 = \tfrac{29}{12}$ wird und nicht zu einer gerundeten Dezimalzahl.

Exaktes Rechnen ist wichtig, weil zu frühes Runden ein späteres Ergebnis verfälschen kann. Brauchst du für eine praktische Antwort einen Dezimalwert, wandle den exakten Endwert nur einmal ganz am Schluss um.

Häufige Fehler

Ein Minuszeichen nur auf den ersten Term der Klammer anwenden.
$(a + b)^2$ als $a^2 + b^2$ schreiben und dabei den Term $2ab$ vergessen.
Terme zusammenfassen, die nicht gleichartig sind, etwa $x^2$ und $x$ addieren und $2x^3$ erhalten.
In einem Bruch Summanden statt Faktoren kürzen.
Nach dem Kürzen eines Faktors die ausgeschlossenen Werte vergessen.

Tipps

Schreibe das Subtrahieren einer Klammer als Addition von $-1$ mal der Klammer, bevor du ausmultiplizierst.
Markiere gleichartige Terme mit derselben Farbe, bevor du sie zusammenfasst.
Prüfe eine Vereinfachung, indem du einen einfachen Wert wie $x = 2$ in beide Formen einsetzt.
Faktorisiere alles, bevor du in einem Bruchterm irgendetwas kürzt.
Ordne das Ergebnis nach fallenden Potenzen, damit du es leicht mit anderen Lösungen vergleichen kannst.

Häufige Fragen

Was sind gleichartige Terme?

Terme mit denselben Variablen und denselben Exponenten, wie 4xy und minus 7xy. Nur die Koeffizienten unterscheiden sich, deshalb lassen sie sich zu einem einzigen Term zusammenfassen.

Ändert das Vereinfachen den Wert eines Terms?

Nein. Ein vereinfachter Term ist für jeden zulässigen Wert äquivalent zum ursprünglichen. Der einzige Unterschied: Gekürzte Faktoren erzeugen ausgeschlossene Werte, die angegeben werden müssen.

Vereinfacht der Rechner Terme mit mehreren Variablen?

Ja: Polynomterme mit beliebig vielen Variablen werden ausmultipliziert und ihre gleichartigen Terme zusammengefasst. Bruchterme werden in einer Variablen vereinfacht.

Warum hat mein gekürzter Bruch Einschränkungen?

Wenn du einen gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner kürzt, war der ursprüngliche Term dort nicht definiert, wo dieser Faktor null wird. Die vereinfachte Form muss diese Einschränkung behalten, um äquivalent zu bleiben.

Ist Vereinfachen dasselbe wie Lösen?

Nein. Vereinfachen formt einen Term um; Lösen bestimmt die Werte, die eine Gleichung wahr machen. Vereinfache zuerst beide Seiten und nutze für die Lösungen den Gleichungsrechner.

Was ist die Normalform eines Polynoms?

Alle Klammern sind aufgelöst, es gibt genau einen Term für jede Kombination von Potenzen, und die Terme stehen vom höchsten zum niedrigsten Grad, mit dem Absolutglied am Ende.

Kann ich auch numerische Terme vereinfachen?

Ja. Terme wie 3/4 + 5/6 mal 2 werden nach der Rechenreihenfolge exakt berechnet und dann zu einem vollständig gekürzten Bruch vereinfacht.

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Gib einen Term ein und verfolge jeden Schritt bis zu seiner einfachsten exakten Form.

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