Lineare Gleichungen Schritt für Schritt lösen

Was ist eine lineare Gleichung?

Eine lineare Gleichung mit einer Unbekannten ist eine Gleichung, die sich in die Form $ax + b = 0$ bringen lässt, wobei $a$ und $b$ Zahlen sind und $a \neq 0$. Die Unbekannte kommt nur in der ersten Potenz vor: kein $x^2$, kein $\sqrt{x}$ und kein $x$ im Nenner. Da der Graph von $y = ax + b$ eine Gerade ist, hat die Gleichung genau eine Lösung, $x = -\frac{b}{a}$, nämlich die Stelle, an der diese Gerade die x-Achse schneidet.

Gleichungen wie $3x + 7 = 22$, $5(x - 2) = 3x + 4$ und $\frac{x}{3} + \frac{x}{4} = 7$ sind alle linear, auch wenn sie noch nicht wie $ax + b = 0$ aussehen. Die Arbeit besteht darin, sie mit einer zulässigen Umformung nach der anderen umzuschreiben, bis die Unbekannte allein steht.

Das Waagemodell hinter jedem Schritt

Stell dir eine Gleichung als Waage im Gleichgewicht vor. Du darfst auf einer Seite tun, was du willst, solange du auf der anderen Seite genau dasselbe tust, denn zwei gleiche Größen, die sich auf dieselbe Weise ändern, bleiben gleich. Die vier Umformungen, die du brauchst, sind:

• auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term addieren;
• auf beiden Seiten dieselbe Zahl oder denselben Term subtrahieren;
• beide Seiten mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren;
• beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null dividieren.

Mit null zu multiplizieren oder durch null zu teilen ist das Einzige, was verboten ist: Die Multiplikation mit null macht aus jeder Gleichung $0 = 0$ und zerstört die Information, und die Division durch null ist nicht definiert.

Ein Verfahren in fünf Schritten

1. Löse die Klammern mit dem Distributivgesetz auf: $5(x - 2)$ wird zu $5x - 10$.
2. Beseitige Brüche oder Dezimalzahlen, indem du beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner oder mit einer Zehnerpotenz wie 10 multiplizierst.
3. Fasse auf jeder Seite getrennt gleichartige Terme zusammen.
4. Bringe durch Addieren oder Subtrahieren die x-Terme auf eine Seite und die Zahlen auf die andere.
5. Teile durch den Koeffizienten der Unbekannten und setze die Lösung dann zur Probe in die ursprüngliche Gleichung ein.

Nicht jede Gleichung braucht alle Schritte. Das Verfahren gibt nur eine Reihenfolge vor, die die häufigsten Verwechslungen vermeidet, etwa schon zu teilen, bevor gleichartige Terme zusammengefasst sind.

Gelöste Beispiele, vom einfachsten zum schwierigsten

Achte auf die Reihenfolge. Beim Aufbau des Terms $3x + 7$ wurde die Sieben zuletzt addiert: Deshalb wird sie als Erstes entfernt. Lösen heißt, die Reihenfolge der Rechenschritte umzukehren.

Wenn dir ein positiver Koeffizient lieber ist, sammle die x-Terme auf der Seite, die schon den größeren Koeffizienten hat. In Beispiel 3 ergibt die Addition von $4x$ auf beiden Seiten $9 = 6x - 15$, dann $24 = 6x$ und $x = 4$, ganz ohne Division durch eine negative Zahl.

Gleichungen mit Brüchen und Dezimalzahlen

Bei Brüchen passieren die meisten Fehler: Beseitige sie deshalb gleich zu Beginn. Multipliziere jeden Term auf beiden Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner. Jeder Term heißt wirklich jeder Term, auch die ganzen Zahlen, die keinen sichtbaren Nenner haben.

Dezimalzahlen behandelt man genauso, mit einer Zehnerpotenz. Wähle die Potenz, die die Dezimalzahl mit den meisten Nachkommastellen beseitigt.

Gleichungen voller Brüche kannst du mit dem Bruchrechner überprüfen oder jeden Schritt mit dem Gleichungslöser vergleichen.

Keine Lösung oder unendlich viele Lösungen

Manchmal verschwindet die Unbekannte beim Lösen vollständig. Was übrig bleibt, zeigt dir, in welchem Sonderfall du bist.

Eine wahre Aussage wie $6 = 6$ bedeutet, dass beide Seiten derselbe Term sind: Jede reelle Zahl ist eine Lösung. Eine solche Gleichung heißt allgemeingültig.

Eine falsche Aussage wie $6 = 5$ bedeutet, dass kein Wert von $x$ beide Seiten gleich machen kann: Die Gleichung hat keine Lösung. Im Graphen sind beide Seiten parallele Geraden mit derselben Steigung und verschiedenen y-Achsenabschnitten, die sich daher nie schneiden.

Eine Formel nach einer Variablen umstellen

Dasselbe Waagemodell hilft beim Umstellen von Formeln, also beim Auflösen einer Gleichung mit mehreren Variablen nach einer davon. Behandle jeden Buchstaben außer dem, nach dem du auflösen willst, wie eine Zahl.

Eine Gleichung in diese Form zu bringen, ist der erste Schritt zum Zeichnen ihres Graphen, was du mit dem Steigungsrechner erkunden kannst.

Die Gleichung zu einer Textaufgabe aufstellen

Alltagsprobleme führen auf lineare Gleichungen, wenn sich eine Größe mit konstanter Rate ändert. Benenne die Unbekannte, übersetze jeden Satz in einen Term und setze die beiden Beschreibungen derselben Größe gleich.

Das Übersetzen von Sätzen in Gleichungen kannst du mit dem Löser für Textaufgaben weiter üben.

Häufige Fehler und wie du sie vermeidest

• Nur den ersten Term ausmultiplizieren: $3(x + 4)$ ist $3x + 12$, nicht $3x + 4$.
• Ein Minuszeichen verlieren: $-(x - 5)$ ist $-x + 5$. Multipliziere das Minuszeichen mit jedem Term in der Klammer.
• Nur die Brüche mit dem Hauptnenner multiplizieren und die ganzzahligen Terme vergessen.
• Einen Term auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen, ohne sein Vorzeichen zu ändern. Zu sagen, ein Term wird „rübergebracht“, ist nur eine Abkürzung dafür, dass er auf beiden Seiten subtrahiert wird.
• Bei $-x = 3$ aufhören. Teile durch $-1$, um $x = -3$ zu erhalten.
• Die Probe auslassen. Setzt du in die ursprüngliche Gleichung ein und nicht in eine spätere Zeile, findest du einen Fehler in jedem beliebigen Schritt.

Was du als Nächstes lernen solltest

Sobald lineare Gleichungen sitzen, lassen sich dieselben Fähigkeiten direkt auf lineare Ungleichungen übertragen, bei denen eine zusätzliche Regel hinzukommt, und auf Gleichungssysteme, bei denen sich zwei lineare Gleichungen zwei Unbekannte teilen. Enthält eine Gleichung $x^2$, lies die Anleitung zum Lösen quadratischer Gleichungen. Zum Üben gib eines der obigen Beispiele in den Rechner zum Auflösen nach x ein und vergleiche seine Schritte mit deinen.

Häufige Fragen