Steigung berechnen — Steigung und Geradengleichung aus 2 Punkten

Q: Was bedeutet eine negative Steigung?

Dass die Gerade fällt, wenn x wächst. Eine Steigung -3/2 fällt auf 2 Einheiten nach rechts um 3 Einheiten.

Q: Wie stellt man die Geradengleichung auf?

Berechne die Steigung, bestimme mit b = y_1 - m x_1 den y-Achsenabschnitt und schreibe y = mx + b.

Über den Steigungsrechner

Die Steigung einer Geraden misst, wie stark sie steigt oder fällt: die Änderung von $y$ geteilt durch die Änderung von $x$ zwischen zwei beliebigen Punkten. Eine positive Steigung steigt nach rechts an, eine negative fällt, die Steigung null gehört zu einer waagerechten Geraden, und eine senkrechte Gerade hat keine Steigung.

Kennt man die Steigung $m$ , ergibt sich der y-Achsenabschnitt $b$ aus einem der beiden Punkte, und man erhält die Gerade $y = mx + b$ .

Was ist die Steigung einer Geraden?

Die Steigung ist eine einzige Zahl, die Neigung und Richtung einer Geraden beschreibt. Sie ist definiert als Quotient aus senkrechter und waagerechter Veränderung, wie im Steigungsdreieck: wie viel die Gerade für jede Einheit nach rechts steigt oder fällt. Eine Steigung 2 bedeutet, dass die Gerade bei jedem Schritt nach rechts um 2 Einheiten steigt, eine Steigung $-\frac32$ , dass sie auf 2 Einheiten nach rechts um 3 Einheiten fällt, und eine Steigung 0, dass sie waagerecht ist.

Da eine Gerade überall gleich steil ist, liefern zwei beliebige ihrer Punkte dieselbe Steigung. Deshalb ist sie der Schlüssel zur Geradengleichung: Kennst du $m$ und einen Punkt, ist die Gerade vollständig festgelegt. Im Alltag ist die Steigung eine Änderungsrate, etwa Kilometer pro Stunde in einem Weg-Zeit-Diagramm oder Euro pro Stück in einem Kostendiagramm.

So benutzt du den Steigungsrechner

Gib die Koordinaten des ersten Punkts (x₁, y₁) ein.
Gib die Koordinaten des zweiten Punkts (x₂, y₂) ein.
Starte die Berechnung, um die senkrechte und die waagerechte Änderung, die gekürzte Steigung und die Geradengleichung zu sehen.

Formeln

Steigung

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

Normalform (Steigung und y-Achsenabschnitt)

y = mx + b,\quad b = y_1 - m x_1

Punktsteigungsform

y - y_1 = m(x - x_1)

Durchgerechnetes Beispiel: (2, 3) und (6, 11)

Das Beispiel verwendet die Punkte (2, 3) und (6, 11). Die senkrechte Änderung ist $11 - 3 = 8$ und die waagerechte $6 - 2 = 4$ , also ist die Steigung $\frac84 = 2$ . Mit dem ersten Punkt ergibt sich der y-Achsenabschnitt $b = 3 - 2 \cdot 2 = -1$ , und die Gerade ist $y = 2x - 1$ . Zur Probe wird der zweite Punkt eingesetzt: $2 \cdot 6 - 1 = 11$ , wie erwartet.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

m = 2,\quad y = 2x - 1

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Die Steigung (Änderungsrate) der Geraden durch zwei Punkte bestimmen.

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Punkte benennen
$(x_1, y_1) = (2, 3),\quad (x_2, y_2) = (6, 11)$
Die Änderung von y bestimmen (Höhenunterschied)
$y_2 - y_1 = 11 - 3 = 8$
Die Änderung von x bestimmen (horizontaler Abstand)
$x_2 - x_1 = 6 - 2 = 4$
Höhenunterschied durch horizontalen Abstand teilen
$m = \frac{8}{4} = 2$
Den y-Achsenabschnitt mit dem ersten Punkt bestimmen
$b = y_1 - m x_1 = 3 - 2 \cdot 2 = -1$
Die Geradengleichung aufschreiben
$y = 2x - 1$

Verwendete Formeln

Steigung
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$
Normalform der Geradengleichung
$y = mx + b$

Die Steigung ist 2: Für jede Zunahme um 1 Einheit ändert sich x, y um 2. Die Gerade steigt von links nach rechts.

Probe

Zweiter Punkt: 2·(6) + -1 = 11 (erwartet 11)

Ausführliche Erklärung

Negative Steigungen, Bruchsteigungen und senkrechte Geraden

Für die Punkte (1, 2) und (5, −4) ist die senkrechte Änderung $-6$ und die waagerechte 4: Der Rechner liefert $m = -\frac32$ und die Gerade $y = -\frac32 x + \frac72$ und behält beide Werte als exakte Brüche statt −1,5 und 3,5. Für (3, 1) und (3, 7) ist die waagerechte Änderung null; durch null darf man nicht teilen, also gibt es keine Steigung, und der Rechner gibt die senkrechte Gerade $x = 3$ statt einer Gleichung $y = mx + b$ aus.

Drei Arten, eine Gerade zu schreiben

Die Normalform $y = mx + b$ zeigt Steigung und y-Achsenabschnitt auf einen Blick, und die meisten Funktionsplotter erwarten sie. Die Punktsteigungsform $y - y_1 = m(x - x_1)$ ist schneller, wenn man einen Punkt und die Steigung kennt, aber den y-Achsenabschnitt noch nicht berechnet hat. Die allgemeine Form $Ax + By = C$ mit ganzzahligen Koeffizienten wird in manchen Kursen bevorzugt; aus $y = 2x - 1$ erhält man $2x - y = 1$ . Alle drei beschreiben dieselbe Punktmenge.

Die Steigung als Änderungsrate

In Alltagsaufgaben hat die Steigung eine Einheit: die von y geteilt durch die von x. Kostet eine Taxifahrt über 6 km 11 Euro und eine über 2 km 3 Euro, dann ist die Steigung der Geraden durch (2, 3) und (6, 11) 2 Euro pro Kilometer, und der y-Achsenabschnitt −1 ist der Wert der Geraden bei der Strecke null. So gesehen beantwortet die Steigung die Frage: Um wie viel ändert sich y, wenn x um eine Einheit wächst? Dieselbe Idee überträgt die Ableitung auf Kurven.

Häufige Fehler

Oben und unten in verschiedener Reihenfolge subtrahieren, etwa $y_2 - y_1$ durch $x_1 - x_2$ .
Die waagerechte durch die senkrechte Änderung teilen statt umgekehrt.
Behaupten, eine senkrechte Gerade habe die Steigung 0; in Wahrheit ist sie nicht definiert.
Die Koordinaten eines einzigen Punkts für die senkrechte und waagerechte Änderung halten.
$\frac{8}{4}$ falsch kürzen oder das Minuszeichen der waagerechten Änderung vergessen, wenn die x-Werte abnehmen.

Tipps

Parallele Geraden haben dieselbe Steigung; bei senkrecht aufeinander stehenden Geraden ist das Produkt der Steigungen −1.
Behalte die Steigung als Bruch, damit du beim Berechnen des y-Achsenabschnitts nicht rundest.
Trage beide Punkte in den Funktionsplotter ein, um zu prüfen, ob das Vorzeichen stimmt.
Stell dir die Punkte vor dem Rechnen vor: Liegt der zweite höher und weiter rechts, muss die Steigung positiv sein.
Die Steigung einer Senkrechten ist der negative Kehrwert: Eine Gerade senkrecht zu $y = 2x - 1$ hat die Steigung $-\frac12$ .

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Steigung zwischen zwei Punkten?

Subtrahiere die y-Werte, subtrahiere die x-Werte in derselben Reihenfolge und teile. Für (2, 3) und (6, 11): $m = \frac{11-3}{6-2} = 2$ .

Was bedeutet eine negative Steigung?

Dass die Gerade fällt, wenn x wächst. Eine Steigung $-\frac32$ fällt auf 2 Einheiten nach rechts um 3 Einheiten.

Warum hat eine senkrechte Gerade keine Steigung?

Beide Punkte haben denselben x-Wert, also ist die waagerechte Änderung 0, und die Formel würde durch null teilen. Die Gerade schreibt man als $x = c$ .

Wie stellt man die Geradengleichung auf?

Berechne die Steigung, bestimme mit $b = y_1 - m x_1$ den y-Achsenabschnitt und schreibe $y = mx + b$ .

Spielt die Reihenfolge der Punkte eine Rolle?

Nein. Vertauscht man die Punkte, ändert sich das Vorzeichen beider Differenzen, also bleibt der Quotient gleich.

Kann ich Dezimalkoordinaten eingeben?

Ja. Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt, damit Steigung und y-Achsenabschnitt exakt sind.

Welche Steigung hat eine waagerechte Gerade?

Null. Beide Punkte haben denselben y-Wert, also ist die senkrechte Änderung 0 und $\frac{0}{\text{waagerechte Änderung}} = 0$ . Die Gerade schreibt man als $y = c$ .

Wie findet man die Steigung einer Senkrechten?

Nimm den Kehrwert der ursprünglichen Steigung und ändere das Vorzeichen. Ist $m = -\frac32$ , hat eine dazu senkrechte Gerade die Steigung $\frac23$ , und das Produkt der beiden Steigungen ist $-1$ .

Woran erkennt man, ob zwei Geraden parallel sind?

Vergleiche die Steigungen. Zwei nicht senkrechte Geraden sind genau dann parallel, wenn sie dieselbe Steigung und verschiedene y-Achsenabschnitte haben; $y = 2x - 1$ und $y = 2x + 4$ schneiden sich nie.

Probiere den Steigungsrechner aus

Gib zwei Punkte ein und erhalte die exakte Steigung und die Geradengleichung Schritt für Schritt.

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