Faktorisierungsrechner

Über den Faktorisierungsrechner

Faktorisieren heißt, ein Polynom als Produkt einfacherer Polynome zu schreiben. Es ist die Umkehrung des Ausmultiplizierens und eine der meistgenutzten Fertigkeiten der Algebra: Man braucht es, um quadratische und kubische Gleichungen zu lösen, Bruchterme zu vereinfachen, die Nullstellen eines Graphen zu finden und Integrale für die Partialbruchzerlegung vorzubereiten.

Dieser Rechner faktorisiert Polynome in einer Variablen, wie $6x^2 + 11x - 10$ oder $x^4 - 16$ , und die üblichen Formen in zwei Variablen, wie $x^2 - 9y^2$ oder $x^2 - 5xy + 6y^2$ . Er klammert immer zuerst den gemeinsamen Faktor aus, sucht dann nach binomischen Formeln und wendet anschließend die AC-Methode oder, bei höherem Grad, den Satz über rationale Nullstellen an. Was sich über den rationalen Zahlen nicht weiter zerlegen lässt, wird als irreduzibel gekennzeichnet, statt unerklärt stehen zu bleiben.

Was bedeutet es, ein Polynom zu faktorisieren?

Ein Polynom zu faktorisieren heißt, es als Produkt zu schreiben, in dem jeder Faktor einen kleineren Grad hat. Zum Beispiel ist $x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ . Multipliziert man die Faktoren wieder aus, erhält man das ursprüngliche Polynom: So lässt sich eine Faktorisierung am einfachsten prüfen.

Eine Faktorisierung ist vollständig, wenn sich kein Faktor mehr mit rationalen Koeffizienten zerlegen lässt. Das Polynom $x^2 - 2$ ist über den rationalen Zahlen irreduzibel, obwohl es gleich $(x - \sqrt2)(x + \sqrt2)$ ist, denn $\sqrt2$ ist irrational. In der Schule wie in diesem Rechner arbeitet man über den rationalen Zahlen, sofern die Aufgabe nicht ausdrücklich reelle oder komplexe Faktoren verlangt.

So benutzt du den Faktorisierungsrechner

Gib das Polynom mit ^ für Potenzen ein, zum Beispiel 6x^2 + 11x - 10 oder x^3 - 8.
Du kannst es in beliebiger Reihenfolge oder mit Klammern schreiben, etwa (x + 1)(x + 2) + 3x; der Rechner multipliziert es zuerst aus und ordnet es.
Klicke auf Faktorisieren. Der erste Schritt schreibt das Polynom in Normalform, nach fallenden Potenzen geordnet.
Verfolge die Schritte des Verfahrens: gemeinsamer Faktor, binomische Formel oder AC-Methode und bei Polynomen dritten oder vierten Grades Tests auf rationale Nullstellen mit dem Horner-Schema.
Lies am Ende die vollständige Faktorisierung ab und multipliziere sie zur Kontrolle mit dem Rechner zum Vereinfachen von Termen aus.

Formeln

Dritte binomische Formel (Differenz von Quadraten)

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Erste und zweite binomische Formel

a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

Summe und Differenz von Kuben

a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)

AC-Methode

ax^2 + bx + c:\ \text{finde } m, n \text{ mit } mn = ac,\ m + n = b

Zerlege $bx$ in $mx + nx$ und faktorisiere durch Gruppieren.

Satz über rationale Nullstellen

p(r/s) = 0 \Rightarrow r \mid a_0,\ s \mid a_n

Die Kandidaten sind die Teiler des Absolutglieds geteilt durch die Teiler des Leitkoeffizienten.

Durchgerechnetes Beispiel: Trinom 6x² + 11x − 10

Das durchgerechnete Beispiel verwendet das Trinom $6x^2 + 11x - 10$ , einen typischen Fall, in dem der Leitkoeffizient nicht 1 ist und Ausprobieren lange dauert. Der Rechner berechnet $a \cdot c = 6 \cdot (-10) = -60$ und sucht zwei ganze Zahlen mit dem Produkt $-60$ und der Summe $11$ .

Diese Zahlen sind $15$ und $-4$ . Zerlegt man den mittleren Term in $15x - 4x$ , lassen sich die vier Terme paarweise gruppieren, und jedes Paar enthält ein gemeinsames Binom. Multipliziere das Ergebnis zur Bestätigung wieder aus.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

(3x - 2)(2x + 5)

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Ein Polynom über den rationalen Zahlen faktorisieren

6x^{2} + 11x - 10

Lösungsweg Schritt für Schritt

Das Polynom in geordneter Normalform schreiben
$6x^{2} + 11x - 10$
Die AC-Methode verwenden
a·c = 6·-10 = -60 berechnen. Zwei Zahlen finden, deren Produkt -60 und deren Summe b = 11 ist: 15 und -4.
$6x^{2} + 11x - 10 = 6x^2 + 15x - 4x - 10$
Durch Gruppieren faktorisieren
Die ersten beiden und die letzten beiden Terme gruppieren, jede Gruppe faktorisieren und dann das gemeinsame Binom ausklammern. Die Nullstellen sind -5/2 und 2/3.
Die vollständige Faktorisierung schreiben
$(3x - 2)(2x + 5)$

Verwendete Formeln

Dritte binomische Formel
$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
Binomische Formel (Quadrat eines Binoms)
$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$
Summe und Differenz von Kuben
$a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)$
Satz über rationale Nullstellen
$a_n x^n + \dots + a_0 = 0,\ \tfrac{p}{q} \text{ Wurzel} \Rightarrow p \mid a_0,\ q \mid a_n$

6x^2 + 11x - 10 zerfällt über den rationalen Zahlen vollständig in (3x - 2)(2x + 5).

Probe

Ausmultiplizieren von (3x - 2)(2x + 5) ergibt wieder 6x^2 + 11x - 10.

Ausführliche Erklärung

Die Reihenfolge der Verfahren zählt

Ein verlässlicher Weg zum Faktorisieren beginnt immer mit dem gemeinsamen Faktor. Klammert man in $2x^2 - 18$ die $2$ aus, bleibt $x^2 - 9$ , das man dann als Differenz von Quadraten erkennt. Lässt man diesen Schritt aus, bleibt die binomische Formel verborgen, und es entsteht eine unvollständige Antwort wie $(2x - 6)(x + 3)$ , die noch den gemeinsamen Faktor 2 enthält.

Nach dem gemeinsamen Faktor kommt es auf die Form an. Zwei Terme deuten auf eine Differenz von Quadraten oder eine Summe oder Differenz von Kuben hin; drei Terme auf eine binomische Formel oder die AC-Methode; vier Terme lassen sich oft durch Gruppieren faktorisieren. Ab dem dritten Grad testet der Rechner die rationalen Kandidaten und teilt mit dem Horner-Schema durch jede gefundene Nullstelle, was den Grad jedes Mal um eins senkt und dasselbe Ergebnis liefert wie das Gruppieren, zum Beispiel $x^3 + 2x^2 + 3x + 6 = (x + 2)(x^2 + 3)$ .

Warum die AC-Methode funktioniert

Ist $ax^2 + bx + c = (px + q)(rx + s)$ , ergibt das Ausmultiplizieren $pr = a$ , $qs = c$ und $ps + qr = b$ . Die beiden Zahlen $ps$ und $qr$ haben das Produkt $pq rs = ac$ und die Summe $b$ . Zwei Zahlen mit dem Produkt $ac$ und der Summe $b$ zu finden heißt also genau, die gemischten Terme zu finden, und das Gruppieren liefert die Binome zurück.

Passt kein Paar ganzer Zahlen, hat das quadratische Polynom keine rationale Nullstelle und ist über den rationalen Zahlen irreduzibel. Das kannst du mit der Diskriminante $b^2 - 4ac$ bestätigen: Rationale Faktoren gibt es genau dann, wenn sie eine Quadratzahl ist.

Polynome höheren Grades

Bei einem Polynom dritten Grades wie $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ beschränkt der Satz über rationale Nullstellen die Kandidaten auf $\pm1, \pm2, \pm3, \pm6$ . Beim Testen zeigt sich, dass $x = 1$ eine Nullstelle ist, das Horner-Schema lässt $x^2 - 5x + 6$ übrig, und dieses Polynom zerfällt in $(x - 2)(x - 3)$ .

Polynome vierten Grades ohne rationale Nullstelle können trotzdem in zwei quadratische Polynome zerfallen, wie bei $x^4 + 4 = (x^2 - 2x + 2)(x^2 + 2x + 2)$ . Der Rechner sucht nach Paaren quadratischer Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, bevor er ein Polynom vierten Grades für irreduzibel erklärt.

Häufige Fehler

Vergessen, zuerst den gemeinsamen Faktor auszuklammern, sodass die Faktorisierung unvollständig bleibt.
Glauben, dass sich $a^2 + b^2$ über den reellen Zahlen faktorisieren lässt. Eine Summe von Quadraten zerfällt nicht ohne komplexe Zahlen.
Vorzeichenfehler bei Kuben: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ , mit Pluszeichen beim mittleren Term des zweiten Faktors.
Nach einem einzigen Schritt aufhören, etwa $x^4 - 16$ als $(x^2 - 4)(x^2 + 4)$ stehen lassen, obwohl sich $x^2 - 4$ noch faktorisieren lässt.
Einen Faktor $-1$ verlieren, wenn man einen negativen Leitkoeffizienten ausklammert.

Tipps

Prüfe immer, indem du die Faktoren wieder ausmultiplizierst.
Schreibe das Polynom nach fallenden Potenzen, bevor du ein Verfahren wählst.
Liste bei der AC-Methode die Teilerpaare von $ac$ geordnet auf, vom kleinsten zum größten.
Mit der Diskriminante siehst du schnell, ob ein quadratisches Polynom über den rationalen Zahlen zerfällt.
Suchst du die Nullstellen statt der Faktoren, setze jeden Faktor gleich null.

Häufige Fragen

Was ist der erste Schritt beim Faktorisieren eines Polynoms?

Klammere den Faktor aus, der allen Termen gemeinsam ist, einschließlich jeder gemeinsamen Potenz der Variablen. Alle anderen Verfahren funktionieren mit dem Rest besser.

Wie faktorisiert man ein Trinom, dessen Leitkoeffizient nicht 1 ist?

Nimm die AC-Methode: Multipliziere a mit c, finde zwei Zahlen mit diesem Produkt und der Summe b, zerlege den mittleren Term in diese beiden Teile und faktorisiere durch Gruppieren.

Was bedeutet irreduzibel?

Ein Polynom ist über den rationalen Zahlen irreduzibel, wenn es sich nicht als Produkt von Polynomen kleineren Grades mit rationalen Koeffizienten schreiben lässt. Zum Beispiel sind x Quadrat plus 1 und x Quadrat minus 2 über den rationalen Zahlen irreduzibel.

Faktorisiert er Polynome dritten und vierten Grades?

Ja. Er testet rationale Nullstellen mit dem Satz über rationale Nullstellen, teilt mit dem Horner-Schema und sucht beim vierten Grad außerdem nach einer Zerlegung in zwei quadratische Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten.

Faktorisiert er Terme mit zwei Variablen?

Er unterstützt die üblichen Formen in zwei Variablen: einen gemeinsamen Monomfaktor, homogene Polynome wie x Quadrat minus 5xy plus 6y Quadrat, Differenzen von Quadraten und das Gruppieren nach einer Variablen. Terme mit drei oder mehr Variablen werden nicht unterstützt.

Was hat Faktorisieren mit dem Lösen von Gleichungen zu tun?

Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer seiner Faktoren null ist. Ein gleich null gesetztes Polynom zu faktorisieren verwandelt also eine schwierige Gleichung in mehrere einfache.

Warum sieht meine Lösung anders aus als im Buch?

Die Faktoren können in beliebiger Reihenfolge stehen, und ein Faktor minus eins kann von einer Klammer in eine andere wandern. Multipliziere beide Fassungen aus: Ergeben sie dasselbe Polynom, sind beide richtig.

Probiere den Faktorisierungsrechner aus

Gib ein Polynom ein und verfolge jedes Verfahren, vom gemeinsamen Faktor bis zur vollständigen Faktorisierung.

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