Quadratische Ergänzung und Scheitelpunktform

Über den Rechner für die quadratische Ergänzung

Die quadratische Ergänzung verwandelt einen Term wie $2x^2 - 8x + 3$ in $2(x - 2)^2 - 5$ . Diese zweite Form verrät viel mehr: Auf einen Blick sieht man, dass der tiefste Punkt der Parabel $(2, -5)$ ist, dass sie nach oben geöffnet ist und wie eng sie ist. Mit genau dieser Umformung leitet man die Mitternachtsformel her und bringt Kreis- und Ellipsengleichungen in ihre Mittelpunktsform.

Der Rechner akzeptiert jeden Leitkoeffizienten, auch Brüche und Dezimalzahlen wie $0.5x^2 + 3x - 1$ . Für einen Term liefert er Scheitelpunktform und Scheitelpunkt; für eine Gleichung mit $= 0$ oder einem anderen Wert rechnet er bis zu den exakten Lösungen weiter oder erklärt, warum es keine reelle Lösung gibt, wenn die Parabel die Achse nicht schneidet.

Was ist die Scheitelpunktform?

Ein vollständiges Quadrat ist ein Trinom, das gleich dem Quadrat eines Binoms ist, etwa $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$ . Sein konstanter Term ist immer das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$ . Bei der quadratischen Ergänzung addiert und subtrahiert man genau diese Zahl, damit ein Teil des Terms zu einem vollständigen Quadrat wird, also zu einer binomischen Formel.

So erhält man die Scheitelpunktform $a(x - h)^2 + k$ . Da ein Quadrat nie negativ ist, ist $k$ das Minimum (für $a > 0$ ) oder das Maximum (für $a < 0$ ) des Terms, und es wird bei $x = h$ angenommen.

So benutzt du den Rechner für die quadratische Ergänzung

Gib einen quadratischen Term wie 2x^2 - 8x + 3 oder eine Gleichung wie x^2 - 4x - 1 = 0 ein.
Die Koeffizienten können ganze Zahlen, Brüche oder Dezimalzahlen sein.
Starte die Berechnung. Der Rechner bestimmt a, b und c, klammert a aus den Termen mit x aus und addiert und subtrahiert dann das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von x.
Lies Scheitelpunktform und Scheitelpunkt ab. Bei einer Gleichung folgst du dem Schritt mit dem Wurzelziehen bis zu den exakten Lösungen.

Formeln

Vollständiges Quadrat

x^2 + bx + \left(\tfrac{b}{2}\right)^2 = \left(x + \tfrac{b}{2}\right)^2

Allgemeine Scheitelpunktform

ax^2 + bx + c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}

Scheitelpunkt

(h, k) = \left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Durchgerechnetes Beispiel: 2x² − 8x + 3

Das Beispiel führt die quadratische Ergänzung für $2x^2 - 8x + 3$ durch. Da $a = 2$ ist, klammert der Rechner zuerst 2 aus den Termen mit $x$ aus: $2(x^2 - 4x) + 3$ . Die Hälfte von $-4$ ist $-2$ , und deren Quadrat ist 4.

Addiert und subtrahiert man 4 in der Klammer, erhält man $2(x^2 - 4x + 4 - 4) + 3 = 2(x - 2)^2 - 8 + 3$ : Die Scheitelpunktform ist also $2(x - 2)^2 - 5$ , und der Scheitelpunkt ist $(2, -5)$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

2(x - 2)^{2} - 5

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Den quadratischen Term durch quadratische Ergänzung in Scheitelpunktform bringen.

Lösungsweg Schritt für Schritt

a, b und c bestimmen
a = 2, b = -8, c = 3
$2x^{2} - 8x + 3$
a = 2 aus den Termen mit x ausklammern
$2\left(x^2 - 4x\right) + 3$
Den linearen Koeffizienten halbieren und quadrieren
Die Hälfte von -4 ist -2; ihr Quadrat ist 4.
$\left(\frac{-4}{2}\right)^2 = 4$
Dieses Quadrat in der Klammer addieren und subtrahieren
Das Addieren von 4 erzeugt ein vollständiges Quadrat; das Subtrahieren lässt den Wert unverändert (der subtrahierte Teil wird beim Verlassen der Klammer mit a = 2 multipliziert).
$2\left(x^2 -4x + 4\right) - 8 + 3$
Das vollständige Quadrat schreiben und die Konstanten zusammenfassen
$2(x - 2)^{2} - 5$
Den Scheitelpunkt ablesen
In a(x − h)² + k ist der Scheitelpunkt (h, k) = (2, -5); die Symmetrieachse ist x = 2. Da a > 0 ist die Parabel nach oben geöffnet, und k ist der kleinste Wert.

Verwendete Formeln

Quadratische Ergänzung
$ax^2+bx+c = a\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 + c - \frac{b^2}{4a}$
Scheitelpunkt
$h = -\frac{b}{2a},\quad k = c - \frac{b^2}{4a}$

Scheitelpunktform: 2(x - 2)^2 - 5. Scheitelpunkt (2, -5).

Probe

Ausmultiplizieren von 2(x - 2)^2 - 5 ergibt wieder 2x^2 - 8x + 3.

Ausführliche Erklärung

Warum das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten?

Multipliziert man $(x + p)^2$ aus, erhält man $x^2 + 2px + p^2$ . Im Vergleich mit $x^2 + bx$ stimmen die mittleren Terme überein, wenn $2p = b$ gilt, also $p = b/2$ , und die fehlende Konstante ist $p^2 = (b/2)^2$ . Geometrisch ist $x^2 + bx$ ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ und zwei Rechtecken von $x \times b/2$ ; das kleine Eckquadrat mit dem Flächeninhalt $(b/2)^2$ ergänzt das große Quadrat, daher der Name.

Wenn der Leitkoeffizient nicht 1 ist

Klammere $a$ nur aus den Termen mit $x^2$ und $x$ aus und lass die Konstante draußen. Ergänze das Quadrat in der Klammer, und multipliziere das subtrahierte Quadrat mit $a$ , wenn du es aus der Klammer holst. Diese Multiplikation zu vergessen ist der häufigste Fehler: Im Beispiel wird aus der $-4$ in der Klammer draußen $-8$ .

Ist $a$ negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet und der Scheitelpunkt ein Maximum. Der Rechner klammert den negativen Koeffizienten genauso aus, wodurch sich die Vorzeichen in der Klammer ändern.

Eine Gleichung mit der quadratischen Ergänzung lösen

Für $x^2 - 4x - 1 = 0$ ergibt die Scheitelpunktform $(x - 2)^2 = 5$ . Zieht man auf beiden Seiten die Wurzel, mit beiden Vorzeichen, erhält man $x - 2 = \pm\sqrt5$ , also $x = 2 \pm \sqrt5$ . Wiederholt man dieselben Schritte mit Buchstaben statt Zahlen, gelangt man zur Mitternachtsformel.

Ist die rechte Seite negativ, wie in $(x + 3)^2 = -4$ , das aus $x^2 + 6x + 13 = 0$ entsteht, gibt es keine reelle Lösung. Der Rechner weist darauf hin und gibt auch das komplexe Paar $-3 \pm 2i$ an, das man mit $\sqrt{-4} = 2i$ erhält.

Den Graphen aus der Scheitelpunktform ablesen

Die Scheitelpunktform beschreibt die Parabel als Verschiebung von $y = x^2$ . Der Wert $h$ verschiebt die Kurve nach rechts (oder nach links, wenn $h$ negativ ist), $k$ verschiebt sie nach oben oder unten, und $a$ streckt sie in senkrechter Richtung und spiegelt sie, wenn er negativ ist. Die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade $x = h$ : Punkte im gleichen Abstand auf beiden Seiten von $h$ haben denselben y-Wert.

Das macht das Skizzieren viel schneller. Für $2(x - 2)^2 - 5$ markierst du den Scheitelpunkt $(2, -5)$ und gehst eine Einheit nach jeder Seite: Der y-Wert steigt um $a \cdot 1^2 = 2$ , was $(1, -3)$ und $(3, -3)$ ergibt. Die Wertemenge liest man sofort ab, $y \ge -5$ , und deshalb ist die Scheitelpunktform der natürliche Ausgangspunkt für Fragen nach Definitions- und Wertemenge.

Häufige Fehler

$(b/2)^2$ addieren, ohne es danach wieder zu subtrahieren, wodurch sich der Term ändert.
$b$ statt $b/2$ quadrieren.
Vergessen, das subtrahierte Quadrat mit $a$ zu multiplizieren, wenn $a \ne 1$ ist.
Beim Lösen einer Gleichung nur die positive Wurzel berücksichtigen.
Den Scheitelpunkt von $a(x + 3)^2 + k$ als $x = 3$ ablesen; der Scheitelpunkt liegt bei $x = -3$ .

Tipps

Schreibe $x - h$ ausdrücklich: $(x + 3)^2 = (x - (-3))^2$ , also $h = -3$ .
Prüfe die Scheitelpunktform, indem du sie zurück in die allgemeine Form ausmultiplizierst.
Arbeite mit Brüchen statt Dezimalzahlen, wenn $b$ ungerade ist; die Hälfte von 5 ist $\tfrac52$ .
Vergleiche deinen Scheitelpunkt zur schnellen Kontrolle mit $h = -b/(2a)$ .

Häufige Fragen

Was ist die Scheitelpunktform?

Ein quadratischer Term in der Form a mal (x minus h) zum Quadrat plus k. Der Punkt (h, k) ist der Scheitelpunkt der Parabel, und a bestimmt Öffnungsrichtung und Streckung.

Wie funktioniert die quadratische Ergänzung, wenn a nicht 1 ist?

Klammere a aus den Termen mit x zum Quadrat und x aus, ergänze das Quadrat in der Klammer und multipliziere die subtrahierte Konstante mit a, wenn du sie aus der Klammer holst.

Ist die quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel besser?

Beide Verfahren liefern dieselben Nullstellen. Die quadratische Ergänzung liefert zusätzlich den Scheitelpunkt, der beim Skizzieren hilft, und mit ihr beweist man die Mitternachtsformel.

Was ist, wenn der Koeffizient von x ungerade ist?

Rechne mit Brüchen. Bei x zum Quadrat plus 5x addierst und subtrahierst du 25/4 und erhältst (x plus 5/2) zum Quadrat minus 25/4.

Kann die quadratische Ergänzung zu komplexen Lösungen führen?

Ja. Wenn das Quadrat gleich einer negativen Zahl ist, gibt es keine reelle Lösung. Der Rechner weist darauf hin und gibt auch das konjugiert komplexe Paar der Form a plus oder minus bi an.

Wie nutzt man das Verfahren bei Kreisen?

Ergänzt man getrennt in x und in y, wird eine Gleichung wie x zum Quadrat plus y zum Quadrat minus 4x plus 6y gleich 3 zur Mittelpunktsform eines Kreises, an der man Mittelpunkt und Radius abliest.

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Gib einen quadratischen Term ein und erhalte Scheitelpunktform, Scheitelpunkt und exakte Lösungen.

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Rechner für die quadratische Ergänzung

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Was ist die Scheitelpunktform?

So benutzt du den Rechner für die quadratische Ergänzung

Formeln

Vollständiges Quadrat

Allgemeine Scheitelpunktform

Scheitelpunkt

Durchgerechnetes Beispiel: 2x² − 8x + 3

Ergebnis

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Lösungsweg Schritt für Schritt

Verwendete Formeln

Probe

Ausführliche Erklärung

Warum das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten?

Wenn der Leitkoeffizient nicht 1 ist

Eine Gleichung mit der quadratischen Ergänzung lösen

Den Graphen aus der Scheitelpunktform ablesen

Häufige Fehler

Tipps

Häufige Fragen

Was ist die Scheitelpunktform?

Wie funktioniert die quadratische Ergänzung, wenn a nicht 1 ist?

Ist die quadratische Ergänzung oder die Mitternachtsformel besser?

Was ist, wenn der Koeffizient von x ungerade ist?

Kann die quadratische Ergänzung zu komplexen Lösungen führen?

Wie nutzt man das Verfahren bei Kreisen?

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