Quadratische Gleichungen lösen: Faktorisieren, quadratische Ergänzung und Mitternachtsformel

Was eine Gleichung quadratisch macht

Eine quadratische Gleichung lässt sich als $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ schreiben. Die höchste Potenz der Unbekannten ist 2: Deshalb gibt es höchstens zwei Lösungen, die Nullstellen heißen. Bevor du einen Lösungsweg anwendest, bringe alle Terme auf eine Seite, sodass auf der anderen null steht. Das ist nicht optional: Sowohl der Satz vom Nullprodukt als auch die Mitternachtsformel setzen das voraus.

Zum Beispiel wird $x^2 = 3x + 10$ zu $x^2 - 3x - 10 = 0$, also $a = 1$, $b = -3$ und $c = -10$. Die drei Koeffizienten mit ihren Vorzeichen vorher aufzuschreiben, ist der einfachste Weg, spätere Vorzeichenfehler zu vermeiden.

Im Graphen sind die Lösungen die x-Koordinaten der Punkte, an denen die Parabel $y = ax^2 + bx + c$ die x-Achse schneidet. Eine Parabel kann die x-Achse zweimal schneiden, sie im Scheitelpunkt einmal berühren oder gar nicht treffen: Darum kann eine quadratische Gleichung zwei, eine oder keine reelle Lösung haben.

Schnelle Sonderfälle: ohne x-Term oder ohne Absolutglied

Zwei besondere Formen brauchen gar keinen allgemeinen Lösungsweg.

• Ist $b = 0$, stelle nach $x^2$ um und ziehe die Wurzel, ohne die beiden Vorzeichen zu vergessen: $x^2 = 49$ ergibt $x = \pm 7$, und $4x^2 - 9 = 0$ ergibt $x^2 = \frac{9}{4}$, also $x = \pm\frac{3}{2}$.
• Ist $c = 0$, klammere $x$ aus: $x^2 - 5x = 0$ wird zu $x(x - 5) = 0$, also $x = 0$ oder $x = 5$.

Teile beide Seiten von $x^2 - 5x = 0$ niemals durch $x$. Du würdest die Lösung $x = 0$ verlieren, denn für $x = 0$ würdest du durch null teilen.

Weg 1: Faktorisieren

Zerfällt der quadratische Term in zwei lineare Faktoren, erledigt der Satz vom Nullprodukt den Rest: Ist $pq = 0$, dann ist $p = 0$ oder $q = 0$. Für $a = 1$ suchst du zwei Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist.

Hier ergeben $-5$ und $2$ multipliziert $-10$ und addiert $-3$. Für $a \neq 1$ erweitert die AC-Methode dieselbe Suche.

Faktorisieren geht schnell, ist aber nur praktisch, wenn die Lösungen rational sind. Ein nützlicher Test: Bei ganzzahligen Koeffizienten lässt sich der Term genau dann über den ganzen Zahlen faktorisieren, wenn die Diskriminante $b^2 - 4ac$ eine Quadratzahl ist. Für $6x^2 + x - 2$ ist sie $1 + 48 = 49 = 7^2$. Mehr Übung findest du in der Anleitung zum Faktorisieren von Polynomen.

Weg 2: quadratische Ergänzung

Bei der quadratischen Ergänzung schreibt man die linke Seite als vollständiges Quadrat plus eine Konstante. Nimm $x^2 + 6x - 7 = 0$. Bringe die Konstante auf die andere Seite und addiere dann $\left(\frac{b}{2}\right)^2 = 9$ auf beiden Seiten:

Also $x = 1$ oder $x = -7$. Dieselben Schritte liefern die Scheitelpunktform $y = (x + 3)^2 - 16$, die den Scheitelpunkt der Parabel bei $(-3, -16)$ zeigt. Das vollständige Verfahren, auch für den Fall $a \neq 1$, steht in unserer Anleitung zur quadratischen Ergänzung.

Weg 3: Diskriminante und Mitternachtsformel

Die quadratische Ergänzung an der allgemeinen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ liefert eine Formel, die für jede quadratische Gleichung gilt:

Lass den gesamten Zähler über $2a$ stehen. $-b \pm \frac{\sqrt{\Delta}}{2a}$ zu schreiben, ist einer der häufigsten Fehler bei diesem Thema.

Die Diskriminante deuten

Der Ausdruck unter der Wurzel, $\Delta = b^2 - 4ac$, verrät die Art der Lösung, noch bevor du fertig gerechnet hast:

• $\Delta > 0$: zwei verschiedene reelle Lösungen; die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
• $\Delta = 0$: eine doppelte Lösung; der Scheitelpunkt berührt die x-Achse. Beispiel: $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ hat als einzige Lösung $x = 3$.
• $\Delta < 0$: keine reelle Lösung, aber zwei konjugiert komplexe Lösungen. Beispiel: $x^2 + 2x + 5 = 0$ hat $\Delta = 4 - 20 = -16$, also $x = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i$.

Eine Anwendungsaufgabe: die Höhe eines Wurfs

Quadratische Gleichungen beschreiben alles, was mit konstanter Beschleunigung steigt und fällt. Angenommen, die Höhe eines Balls in Metern nach $t$ Sekunden ist $h = -5t^2 + 20t + 25$ (mit $g \approx 10\ \text{m/s}^2$).

Eine Lösung zu verwerfen, die im Sachzusammenhang keinen Sinn ergibt, gehört zur Antwort; das ist keine Nebensache.

Welchen Lösungsweg wählen?

1. Ist $b = 0$ oder $c = 0$, nutze die schnellen Sonderfälle von oben.
2. Versuche zu faktorisieren, wenn die Koeffizienten kleine ganze Zahlen sind und die Diskriminante eine Quadratzahl ist.
3. Nutze die quadratische Ergänzung, wenn du auch den Scheitelpunkt brauchst.
4. Verwende in allen anderen Fällen die Mitternachtsformel; sie funktioniert immer.

Egal mit welchem Weg: Prüfe die Lösungen mit dem Satz von Vieta. Ihre Summe muss $-\frac{b}{a}$ sein und ihr Produkt $\frac{c}{a}$. Für $6x^2 + x - 2 = 0$ haben die Lösungen $\frac{1}{2}$ und $-\frac{2}{3}$ die Summe $-\frac{1}{6}$ und das Produkt $-\frac{1}{3}$, genau $-\frac{b}{a}$ und $\frac{c}{a}$.

Häufige Fehler

• $x^2 = 3x + 10$ lösen, ohne vorher alle Terme auf eine Seite zu bringen.
• Nur die positive Wurzel ziehen, sodass bei $x^2 = 49$ die Lösung $x = -7$ verloren geht.
• Ein negatives $b$ falsch quadrieren: Ist $b = -3$, dann ist $b^2 = 9$ und nicht $-9$. Setze beim Einsetzen Klammern.
• Nur einen Teil des Zählers durch $2a$ teilen.
• Die Faktoren mit dem falschen Wert gleichsetzen: Bei $(x - 5)(x + 2) = 0$ sind die Lösungen $5$ und $-2$, mit dem umgekehrten Vorzeichen der Zahlen in den Klammern.

Vergleiche deinen Lösungsweg mit dem Rechner für quadratische Gleichungen und zeichne die Parabel mit dem Funktionsplotter, um die Lösungen als Schnittpunkte mit der x-Achse zu sehen.

Den Lösungsweg in der Praxis auswählen

Schülerinnen und Schüler fragen oft, welcher Lösungsweg der richtige ist. Alle korrekten Wege liefern dieselben Lösungen: Die eigentliche Frage ist, welcher für die Gleichung vor dir am schnellsten und am wenigsten fehleranfällig ist. Eine kurze Entscheidungsroutine bewährt sich. Suche zuerst nach einem fehlenden Term: Fehlt das Absolutglied, klammere $x$ aus; fehlt der Term mit $x$, stelle nach $x^2$ um und ziehe die Wurzel. Gib dir dann etwa fünfzehn Sekunden, um ganzzahlige Faktoren zu suchen. Wenn sich nichts zeigt, geh schließlich direkt zur Diskriminante, statt weitere Faktorpaare auszuprobieren.

Die quadratische Ergänzung ist die beste Wahl, wenn die Aufgabe auch den Scheitelpunkt verlangt, wenn der Koeffizient von $x$ gerade und der Leitkoeffizient 1 ist oder wenn die Aufgabenstellung es fordert. Der Graph eignet sich hervorragend, um die Lösungen abzuschätzen und die Anzahl der reellen Lösungen zu prüfen, aber eine Ablesung am Graphen ist immer nur näherungsweise: Nutze sie zur Kontrolle und nicht als Endergebnis, außer die Lösungen sind eindeutig ganze Zahlen.

Berechne in einer Klassenarbeit unter Zeitdruck zuerst die Diskriminante. Ist sie eine Quadratzahl, lässt sich die Gleichung über den ganzen oder rationalen Zahlen faktorisieren; ist sie negativ, weißt du sofort, dass es keine reelle Lösung gibt.

Die Lösungen prüfen

Einsetzen ist die zuverlässigste Probe: Setze jede Lösung in die ursprüngliche Gleichung ein und prüfe, dass die linke Seite null ergibt. Bei irrationalen Lösungen ist das von Hand mühsam; nutze dann Summe und Produkt der Lösungen. Für $2x^2 + 4x - 3 = 0$ haben die Lösungen $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ die Summe $-2$, gleich $-\frac{b}{a} = -\frac{4}{2}$, und das Produkt $\frac{4 - 10}{4} = -\frac{3}{2}$, gleich $\frac{c}{a}$. Beides stimmt: Die Lösungen sind richtig.

Prüfe auch, ob die Antwort im Sachzusammenhang Sinn ergibt. Im Beispiel mit dem Wurf war eine Lösung der Gleichung negativ, und eine negative Zeit vor dem Abwurf hat keine physikalische Bedeutung: Nur die positive Lösung beantwortet die Frage. Bei Anwendungsaufgaben zu Längen, Preisen oder Stückzahlen verwirft man oft aus demselben Grund eine Lösung, und es lohnt sich, in einem Satz zu begründen, warum.

Du kannst jeden Schritt mit dem Rechner für quadratische Gleichungen vergleichen, der die Diskriminante, die exakten Lösungen und den Scheitelpunkt anzeigt.

Häufige Fragen