Ganzrationale Funktionen: Grad, Verhalten im Unendlichen, Nullstellen und Graphen

Was eine Funktion zu einer ganzrationalen Funktion macht

Eine ganzrationale Funktion, auch Polynomfunktion genannt, ist eine Summe von Termen, von denen jeder eine Konstante mal eine Potenz von $x$ mit natürlichem Exponenten ist:

Die höchste Potenz $n$ ist der Grad, der zugehörige Koeffizient $a_n$ ist der Leitkoeffizient, und $a_0$ ist das Absolutglied, zugleich die Stelle, an der der Graph die y-Achse schneidet. Grad 1 liefert Geraden, Grad 2 Parabeln, Grad 3 Funktionen dritten Grades und Grad 4 Funktionen vierten Grades. Terme mit negativen oder gebrochenen Exponenten, etwa $\frac{1}{x}$ oder $\sqrt{x}$, oder mit der Variablen im Nenner oder im Exponenten sind keine Polynome.

Ganzrationale Funktionen sind für jede reelle Zahl definiert, und ihre Graphen sind glatt und stetig, ohne Knicke, ohne Lücken und ohne Asymptoten. Das ist ein Grund, warum man sie so gern zum Modellieren und zum Annähern anderer Funktionen verwendet.

Verhalten im Unendlichen und der Leitterm

Für sehr große positive oder negative Werte von $x$ überwiegt der Leitterm alle anderen: Die Enden des Graphen verhalten sich also wie $a_n x^n$. Nur zwei Angaben zählen: ob der Grad gerade oder ungerade ist und welches Vorzeichen der Leitkoeffizient hat.

• Gerader Grad und positiver Leitkoeffizient: Beide Enden steigen, wie bei $x^2$.
• Gerader Grad und negativer Leitkoeffizient: Beide Enden fallen, wie bei $-x^2$.
• Ungerader Grad und positiver Leitkoeffizient: Der Graph kommt links von unten und geht rechts nach oben, wie bei $x^3$.
• Ungerader Grad und negativer Leitkoeffizient: Der Graph kommt links von oben und geht rechts nach unten, wie bei $-x^3$.

Zum Beispiel hat $p(x) = -2x^5 + 40x^2 + 7$ ungeraden Grad und negativen Leitkoeffizienten: Der Graph steigt nach links und fällt nach rechts, egal wie groß die anderen Koeffizienten wirken. Folglich schneidet eine ganzrationale Funktion ungeraden Grades die x-Achse immer mindestens einmal, da ihre beiden Enden in entgegengesetzte Richtungen laufen.

Nullstellen, Linearfaktoren und Vielfachheit

Eine Nullstelle von $p$ ist ein Wert $c$ mit $p(c) = 0$. Die Nullstellen sind die x-Koordinaten der Punkte, an denen der Graph die x-Achse schneidet, und zu jeder reellen Nullstelle $c$ gehört ein Linearfaktor $(x - c)$. Deshalb ist das Faktorisieren das wichtigste Werkzeug zur Nullstellensuche, dank des Satzes vom Nullprodukt: Ein Produkt ist genau dann null, wenn einer der Faktoren null ist.

Kommt ein Linearfaktor mehrfach vor, hat die Nullstelle eine Vielfachheit größer als eins, und der Graph verhält sich dort anders. Bei einer Nullstelle ungerader Vielfachheit schneidet der Graph die Achse; bei gerader Vielfachheit berührt er die Achse und kehrt auf dieselbe Seite zurück. Je höher die Vielfachheit, desto flacher verläuft der Graph nahe der Nullstelle.

Eine ganzrationale Funktion vom Grad $n$ hat höchstens $n$ reelle Nullstellen und höchstens $n - 1$ lokale Extrempunkte, also Hoch- und Tiefpunkte des Graphen. Eine Funktion dritten Grades kann einen oder zwei lokale Extrempunkte haben, oder keinen, wie $x^3$ zeigt. Die Methoden zum Finden von Faktoren erklärt die Anleitung zum Faktorisieren von Polynomen ausführlich.

Restsatz und Linearfaktorsatz

Teilt man ein Polynom $p(x)$ durch $(x - c)$, ist der Rest eine einfache Zahl, und der Restsatz besagt, dass diese Zahl $p(c)$ ist. Der Linearfaktorsatz folgt direkt daraus: $(x - c)$ ist genau dann ein Faktor, wenn $p(c) = 0$.

Dagegen ist $p(2) = 8 - 8 - 10 + 6 = -4$: Die Division von $p(x)$ durch $(x - 2)$ ließe den Rest $-4$, und $(x - 2)$ ist kein Faktor.

Das Horner-Schema

Das Horner-Schema ist eine kompakte Art, durch $(x - c)$ zu teilen, und verwendet nur die Koeffizienten. Für Beispiel 3 notierst du $c = 1$ und die Koeffizienten $1, -2, -5, 6$.

1. Übernimm den ersten Koeffizienten: 1.
2. Multipliziere ihn mit $c$ und addiere das Ergebnis zum nächsten Koeffizienten: $1 \times 1 = 1$, und $-2 + 1 = -1$.
3. Wiederhole: $-1 \times 1 = -1$, und $-5 + (-1) = -6$.
4. Wiederhole: $-6 \times 1 = -6$, und $6 + (-6) = 0$.
5. Die letzte Zahl, 0, ist der Rest. Die übrigen, $1, -1, -6$, sind die Koeffizienten des Quotienten: $x^2 - x - 6$.

Jede Potenz von $x$ braucht ihren Platz: Schreibe 0 für jeden fehlenden Term. Um $x^3 - 8$ durch $(x - 2)$ zu teilen, nimmt man die Koeffizienten $1, 0, 0, -8$ und erhält den Quotienten $x^2 + 2x + 4$ ohne Rest, also mit Rest 0.

Das Horner-Schema funktioniert nur mit Teilern der Form $x - c$. Um durch $2x - 1$ zu teilen, teile durch $x - \frac{1}{2}$ und anschließend den Quotienten durch 2, oder nutze die schriftliche Polynomdivision.

Wie viele Nullstellen: der Fundamentalsatz

Der Fundamentalsatz der Algebra garantiert, dass ein Polynom vom Grad $n \ge 1$ genau $n$ komplexe Nullstellen hat, wobei jede so oft gezählt wird, wie ihre Vielfachheit angibt. Manche können reell sein, andere komplex. Sind die Koeffizienten reell, treten komplexe Nullstellen in konjugierten Paaren auf: Ist $2 + 3i$ eine Nullstelle, dann auch $2 - 3i$.

Das erklärt, warum eine Funktion dritten Grades mit reellen Koeffizienten immer mindestens eine reelle Nullstelle hat: Die drei Nullstellen können nicht alle komplex sein, da komplexe Nullstellen paarweise auftreten. Eine Funktion vierten Grades kann dagegen gar keine reelle Nullstelle haben, wie $x^4 + 1$ zeigt.

Lässt sich eine Nullstelle nicht exakt bestimmen, hilft der Zwischenwertsatz, sie einzugrenzen. Für $p(x) = x^3 + x - 1$ gilt $p(0) = -1$ und $p(1) = 1$. Da Graphen ganzrationaler Funktionen keine Lücken haben, muss der Graph die Achse irgendwo zwischen 0 und 1 schneiden; numerisch liegt die Nullstelle bei etwa $0.6823$.

Ein Polynom aus seinen Nullstellen aufstellen

Umgekehrt bestimmen die Nullstellen ein Polynom bis auf einen konstanten Faktor. Angenommen, eine quadratische Funktion hat die Nullstellen 2 und $-1$ und verläuft durch $(0, 4)$. Dann hat sie zwangsläufig die Form $f(x) = a(x - 2)(x + 1)$. Einsetzen des Punktes liefert $4 = a(-2)(1)$, also $a = -2$ und $f(x) = -2(x - 2)(x + 1) = -2x^2 + 2x + 4$. Ausmultiplizieren und Nachprüfen von $f(0) = 4$, $f(2) = 0$ und $f(-1) = 0$ bestätigt das Ergebnis.

Den Graphen einer ganzrationalen Funktion skizzieren

1. Bestimme Grad und Leitkoeffizienten, um das Verhalten im Unendlichen festzulegen.
2. Faktorisiere, um Nullstellen und Vielfachheiten zu finden.
3. Markiere den Schnittpunkt mit der y-Achse, der durch das Absolutglied gegeben ist.
4. Entscheide an jeder Nullstelle anhand der Vielfachheit, ob der Graph die Achse schneidet oder berührt.
5. Verbinde die Punkte mit einer glatten Kurve, die das Verhalten im Unendlichen einhält und höchstens $n - 1$ lokale Hoch- und Tiefpunkte hat.

So erhältst du eine verlässliche Form, aber nicht die genauen Höhen der Hoch- und Tiefpunkte, die Differentialrechnung erfordern. Deine Skizze mit dem Funktionsplotter zu vergleichen, ist ein guter Weg, Sicherheit zu gewinnen.

Eine Anwendung: die größte offene Schachtel

Aus einem Stück Pappe von 10 mal 16 Zentimetern schneidet man an jeder Ecke ein Quadrat mit der Seitenlänge $x$ aus und knickt die Laschen hoch, sodass eine offene Schachtel entsteht. Das Volumen ist $V(x) = x(10 - 2x)(16 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x$. Da alle Längen positiv sein müssen, ist der sinnvolle Definitionsbereich $0 < x < 5$.

Die Nullstellen 0, 5 und 8 zeigen, wo das Volumen null wird. Dazwischen steigt das Volumen und fällt dann wieder, und die Differentialrechnung findet das Maximum: $V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x - 20)(x - 2)$, was bei $x = 2$ null wird, innerhalb des Definitionsbereichs. Die größte Schachtel hat das Volumen $V(2) = 2 \cdot 6 \cdot 12 = 144$ Kubikzentimeter. Der Leitfaden zu den Ableitungsregeln zeigt, wie man diese Ableitungen berechnet.

Häufige Fehler

• Das Verhalten im Unendlichen aus dem zuerst geschriebenen Term ablesen statt aus dem Term höchsten Grades.
• Beim Horner-Schema die Nullkoeffizienten fehlender Potenzen vergessen.
• Annehmen, dass der Graph die Achse an jeder Nullstelle schneidet, und gerade Vielfachheiten übersehen.
• Mehr als $n - 1$ lokale Hoch- und Tiefpunkte angeben.
• Die Nullstelle $c$ mit dem Vorzeichen im Linearfaktor verwechseln: Die Nullstelle 3 liefert den Faktor $(x - 3)$.

Der Polynomrechner findet Nullstellen, faktorisiert und teilt Polynome mit jedem einzelnen Schritt: Nutze ihn, um die Beispiele oben zu überprüfen.

Häufige Fragen