Logarithmen erklärt: Definition, Rechenregeln und Lösen von Gleichungen

Was ist ein Logarithmus?

Potenzen und Logarithmen sind zwei Arten, denselben Zusammenhang zu beschreiben. Die Gleichung $2^3 = 8$ sagt, dass man 8 erhält, wenn man 2 mit dem Exponenten 3 potenziert. Der Logarithmus dreht die Frage um: Mit welchem Exponenten muss man 2 potenzieren, um 8 zu erhalten? Die Antwort ist 3, und man schreibt $\log_2 8 = 3$.

Die Zahl $b$ ist die Basis, $x$ ist der Numerus und $y$ ist der gesuchte Exponent, der Logarithmus. Die Bedingungen sind wichtig. Die Basis muss positiv und ungleich 1 sein, weil alle Potenzen von 1 gleich 1 sind und Potenzen einer negativen Zahl nicht für jeden reellen Exponenten definiert sind. Der Numerus muss positiv sein, weil eine positive Basis mit einem beliebigen reellen Exponenten immer ein positives Ergebnis liefert.

• $\log_{10} 1000 = 3$, denn $10^3 = 1000$.
• $\log_5 \frac{1}{25} = -2$, denn $5^{-2} = \frac{1}{25}$.
• $\log_9 3 = \frac{1}{2}$, denn $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$.
• $\log_7 1 = 0$ für jede zulässige Basis, denn $b^0 = 1$, und $\log_b b = 1$, denn $b^1 = b$.

Zwei Basen haben eine eigene Schreibweise. Der Zehnerlogarithmus $\log x$ verwendet die Basis 10, die zu Größen passt, die in Zehnerpotenzen angegeben werden. Der natürliche Logarithmus $\ln x$ verwendet die Basis $e \approx 2.71828$, die bei Wachstum, Zerfall und in der Analysis ganz natürlich auftritt. Manche Bücher und Programmiersprachen schreiben $\log$ für den natürlichen Logarithmus: Prüfe, welche Konvention in deinem Kurs gilt.

Die drei Logarithmengesetze

Da Logarithmen Exponenten sind, übertragen sich die Potenzgesetze direkt auf Logarithmengesetze. Für positive $M$ und $N$ und jede zulässige Basis gilt:

Die Produktregel folgt aus $b^m b^n = b^{m+n}$: Zahlen zu multiplizieren heißt, ihre Exponenten, also ihre Logarithmen, zu addieren. Die Quotientenregel folgt aus der Division von Potenzen, die Potenzregel aus $(b^m)^k = b^{mk}$. Genau deshalb nutzte man vor den Taschenrechnern Logarithmentafeln: Sie verwandelten schwierige Multiplikationen in Additionen.

• $\log_2(32 \cdot 4) = \log_2 32 + \log_2 4 = 5 + 2 = 7$, und tatsächlich ist $128 = 2^7$.
• $\log 50 + \log 2 = \log 100 = 2$.
• $\log_3 54 - \log_3 2 = \log_3 27 = 3$.
• $\ln(e^5) = 5\ln e = 5$.

Terme zerlegen und zusammenfassen

Zerlegen heißt, mit den Gesetzen einen Logarithmus in einfachere Teile aufzuspalten; Zusammenfassen heißt, mehrere Logarithmen zu einem einzigen zu vereinen. Beide Aufgaben kommen in Klassenarbeiten häufig vor, und beide helfen beim Lösen von Gleichungen.

Koeffizienten müssen vor dem Zusammenfassen zu Exponenten werden. $2\ln x + \ln y$ ist gleich $\ln(x^2 y)$, nicht $\ln(2xy)$.

Basiswechsel

Taschenrechner haben meist nur Tasten für $\log$ und $\ln$. Jede andere Basis erledigt die Formel für den Basiswechsel, die für jede neue Basis $c$ gilt:

Zum Beispiel ist $\log_2 10 = \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx \frac{2.302585}{0.693147} \approx 3.3219$. Eine Plausibilitätsprüfung hilft: $2^3 = 8$ und $2^4 = 16$, also muss das Ergebnis zwischen 3 und 4 liegen. Die Formel zeigt auch, dass $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, also $\log_8 2 = \frac{1}{3}$, da $\log_2 8 = 3$.

Exponentialgleichungen lösen

Steht die Unbekannte im Exponenten, isoliere die Potenz und logarithmiere beide Seiten, damit die Potenzregel den Exponenten herunterholt.

Ein häufiger Fehler in Beispiel 2 ist, zu logarithmieren, bevor man durch 5 geteilt hat. Das ist nicht falsch, führt aber zu $\ln 5 + (x - 1)\ln 2 = \ln 40$, was mehr Arbeit macht. Wer zuerst die Potenz isoliert, hält die Rechnung kurz.

Logarithmusgleichungen lösen

Steht die Unbekannte in einem Logarithmus, fasse die Logarithmen zu einem einzigen zusammen und schreibe die Gleichung in Exponentialform um. Da Logarithmen von null und von negativen Zahlen nicht existieren, musst du jede mögliche Lösung in der ursprünglichen Gleichung prüfen.

Die Rechnung in Beispiel 3 führte auf eine quadratische Gleichung. Zur Wiederholung, wie man sie löst, lies die Anleitung zum Lösen quadratischer Gleichungen.

Der Graph der Logarithmusfunktion

Die Funktion $y = \log_b x$ ist die Umkehrfunktion von $y = b^x$: Ihr Graph ist daher das Spiegelbild des Graphen der Exponentialfunktion an der Geraden $y = x$. Für $b > 1$ verläuft er durch $(1, 0)$ und $(b, 1)$, wächst langsam und unbeschränkt und nähert sich der y-Achse, die eine senkrechte Asymptote ist. Der Definitionsbereich ist $(0, \infty)$ und der Wertebereich umfasst alle reellen Zahlen, genau umgekehrt wie bei der Exponentialfunktion.

Verschiebungen ändern den Definitionsbereich. Bei $y = \ln(x - 3)$ muss der Numerus positiv sein: Der Definitionsbereich ist $(3, \infty)$ und die Asymptote verschiebt sich zu $x = 3$. Wie man diese Bereiche bestimmt, erklärt die Anleitung zu Definitions- und Wertebereich, und den Zusammenhang mit Exponentialfunktionen vertieft der Beitrag über Umkehrfunktionen. Mehrere Basen gleichzeitig kannst du mit dem Funktionsplotter zeichnen.

Wo Logarithmen verwendet werden

• Zinseszins: Ein Betrag, der jährlich um 5% wächst, verdoppelt sich, wenn $1.05^t = 2$, also nach $t = \frac{\ln 2}{\ln 1.05} \approx 14.21$ Jahren.
• Chemie: Der pH-Wert ist $-\log[\mathrm{H}^+]$; eine Wasserstoffionenkonzentration von $10^{-3}$ mol pro Liter ergibt also pH 3, und jede pH-Einheit entspricht einem Faktor zehn.
• Akustik: Der Schallpegel in Dezibel beträgt $10\log_{10}\frac{I}{I_0}$; ein 100-mal intensiverer Schall wirkt also 20 Dezibel lauter.
• Informatik: Eine binäre Suche unter $n$ Elementen braucht etwa $\log_2 n$ Schritte; eine Million Elemente erfordert also nur etwa 20.

Alle vier Fälle haben dasselbe Merkmal: Logarithmen stauchen Größen, die sich über viele Zehnerpotenzen erstrecken, auf eine handliche Skala und machen aus multiplikativen Änderungen additive.

Häufige Fehler

• $\log(a + b) = \log a + \log b$ schreiben. Die Produktregel gilt für Produkte, und für den Logarithmus einer Summe gibt es keine Regel.
• $\frac{\log a}{\log b} = \log\frac{a}{b}$ schreiben. Die linke Seite ist ein Basiswechsel, nämlich $\log_b a$.
• $(\log x)^2$ mit $\log x^2 = 2\log x$ verwechseln.
• Die Lösungen von Logarithmusgleichungen nicht prüfen und so eine Antwort übersehen, die einen Numerus negativ macht.
• Die Tasten $\log$ und $\ln$ am Taschenrechner verwechseln.

Der Logarithmusrechner rechnet in jeder Basis und zeigt den Schritt des Basiswechsels: So kannst du die Beispiele oben schnell überprüfen.

Ein Lernplan für Logarithmen

Logarithmen wirken vor allem deshalb abstrakt, weil die Schreibweise eine einfache Frage verbirgt. Um sicher zu werden, übe die Übersetzung in beide Richtungen, bis sie automatisch klappt. Nimm zehn Potenzen, die du schon kennst, etwa $2^5 = 32$ oder $10^{-2} = 0.01$, und schreibe jede als Logarithmus. Nimm dann zehn Logarithmen und schreibe jeden als Potenz. Nach einer kurzen Übungseinheit ist $\log_3 81$ oder $\log_{10} 0.001$ Kopfrechnen und kein Rätsel mehr.

Übe danach die Gesetze mit Zahlen, bevor du sie mit Variablen verwendest. Wenn du nachrechnest, dass $\log_2 8 + \log_2 4$ gleich $\log_2 32$ ist, indem du beide Seiten ausrechnest, wird die Produktregel überzeugend, und du lernst, die falschen Regeln aus dem vorigen Abschnitt zu erkennen. Erst dann solltest du algebraische Terme zerlegen und zusammenfassen.

Löse zum Schluss Gleichungen beider Arten: solche, bei denen die Unbekannte im Exponenten steht, und solche, bei denen sie in einem Logarithmus steht. Die erste Art löst man durch Logarithmieren, die zweite durch Umschreiben in Exponentialform. Die Art einer Aufgabe zu erkennen ist die halbe Arbeit, und die Bedingungen am Ende zu prüfen ist die andere Gewohnheit, die richtige Antworten von fast richtigen unterscheidet.

Häufige Fragen