Umkehrfunktionen: wie man eine Umkehrfunktion bestimmt, zeichnet und prüft

Was eine Umkehrfunktion tut

Eine Funktion nimmt eine Eingabe und liefert eine Ausgabe. Die Umkehrfunktion, geschrieben $f^{-1}$, geht den umgekehrten Weg: Sie nimmt einen Funktionswert von $f$ und gibt die Eingabe zurück, die ihn erzeugt hat. Ist $f(a) = b$, dann ist $f^{-1}(b) = a$. Wendet man erst die eine und dann die andere an, landet man wieder am Ausgangspunkt.

Ein Beispiel aus dem Alltag ist die Umrechnung von Temperaturen. Die Funktion $F = \frac{9}{5}C + 32$ rechnet Grad Celsius in Grad Fahrenheit um. Die Umkehrfunktion $C = \frac{5}{9}(F - 32)$ rechnet in die andere Richtung. Setzt man 37 Grad Celsius in die erste ein, erhält man 98,6 Grad Fahrenheit, und setzt man 98,6 in die zweite ein, kommt man wieder auf 37.

Die Schreibweise verlangt Aufmerksamkeit. Die $-1$ in $f^{-1}$ ist kein Exponent. Die Umkehrfunktion $f^{-1}(x)$ ist nicht der Kehrwert $\frac{1}{f(x)}$. Für $f(x) = 2x$ ist die Umkehrfunktion $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$, der Kehrwert dagegen $\frac{1}{2x}$.

Wann existiert die Umkehrfunktion?

Eine Funktion lässt sich nur umkehren, wenn jeder Funktionswert von genau einer Eingabe stammt. Eine solche Funktion heißt injektiv. Liefern zwei verschiedene Eingaben denselben Wert, ist nicht klar, welche zurückgegeben werden soll: Auf dieser Menge gibt es keine Umkehrfunktion.

Die Funktion $f(x) = x^2$ besteht diesen Test auf den reellen Zahlen nicht, denn $f(3) = f(-3) = 9$. Sollte eine Umkehrfunktion die 9 rückgängig machen, wüsste sie nicht, ob sie 3 oder $-3$ zurückgeben soll. Am Graphen ist das der Test mit waagerechten Geraden: Eine Funktion ist genau dann injektiv, wenn keine waagerechte Gerade den Graphen mehr als einmal schneidet. Die Gerade $y = 9$ schneidet die Parabel $y = x^2$ zweimal: Die Parabel besteht den Test nicht.

Streng monoton steigende oder streng monoton fallende Funktionen bestehen ihn automatisch. Lineare Funktionen mit einer Steigung ungleich null, $x^3$, $e^x$ und $\ln x$ sind alle auf ihrem maximalen Definitionsbereich injektiv.

Die Umkehrfunktion rechnerisch bestimmen

1. Ersetze $f(x)$ durch $y$.
2. Vertausche $x$ und $y$ im ganzen Term.
3. Löse die neue Gleichung nach $y$ auf.
4. Ersetze $y$ durch $f^{-1}(x)$ und gib ihren Definitionsbereich an, der der Wertebereich von $f$ ist.

Kommt $y$ nach dem Vertauschen mehrmals vor, bringe alle Terme mit $y$ auf eine Seite und klammere $y$ aus, genau wie in Beispiel 3.

Den Definitionsbereich einschränken

Eine nicht injektive Funktion kann eine Umkehrfunktion haben, wenn man ihren Definitionsbereich auf ein Intervall einschränkt, auf dem sie injektiv ist. So werden die Quadratwurzel und die Arkusfunktionen definiert.

Schränkt man $f(x) = x^2$ auf $x \ge 0$ ein, bleibt nur die rechte Hälfte der Parabel übrig, und die ist injektiv. Die Umkehrfunktion ist $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$ für $x \ge 0$. Mit $x \le 0$ erhielte man $-\sqrt{x}$.

Die Arkusfunktionen funktionieren genauso. Der Sinus ist nicht injektiv: $\arcsin x$ wird daher als Umkehrfunktion des auf $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ eingeschränkten Sinus definiert. Deshalb ist $\arcsin\left(\sin\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\pi}{6}$ und nicht $\frac{5\pi}{6}$: Das Ergebnis muss im eingeschränkten Intervall liegen.

Exponentialfunktionen und Logarithmen

Das wichtigste Paar von Umkehrfunktionen vor der Analysis bilden $e^x$ und $\ln x$: $\ln(e^x) = x$ für jedes reelle $x$, und $e^{\ln x} = x$ für $x > 0$. Allgemeiner ist $\log_b x$ die Umkehrfunktion von $b^x$. Der Beitrag über Logarithmen leitet alle Rechenregeln aus dieser Tatsache her.

Graphen von Umkehrfunktionen

Da die Umkehrfunktion Ein- und Ausgaben vertauscht, wird jeder Punkt $(a, b)$ des Graphen von $f$ zum Punkt $(b, a)$ des Graphen von $f^{-1}$. Geometrisch entspricht das Vertauschen der Koordinaten einer Spiegelung an der Geraden $y = x$. Der Graph einer Umkehrfunktion ist also das Spiegelbild des ursprünglichen Graphen an dieser Winkelhalbierenden.

Das liefert eine schnelle Skizze der Umkehrfunktion und eine nützliche Kontrolle: Die Graphen von $e^x$ und $\ln x$ liegen spiegelbildlich zueinander, ebenso die von $x^3$ und $\sqrt[3]{x}$. Auch Merkmale vertauschen sich. Eine waagerechte Asymptote von $f$ wird zu einer senkrechten Asymptote von $f^{-1}$, genau wie in Beispiel 3. Zeichnest du beide Funktionen zusammen mit der Geraden $y = x$ im Funktionsplotter, wird die Symmetrie offensichtlich.

Eine Umkehrfunktion überprüfen

Um zu beweisen, dass zwei Funktionen Umkehrfunktionen voneinander sind, verkette sie in beiden Reihenfolgen und vereinfache. Ergeben beide Verkettungen auf den passenden Mengen $x$, sind die Funktionen zueinander invers. Für Beispiel 3:

Eine schnellere, informelle Kontrolle: Wähle eine Eingabe, wende $f$ an, dann die Umkehrfunktion, und sieh nach, ob die Eingabe zurückkommt. Das beweist nicht, dass der Term stimmt, deckt aber die meisten Fehler auf. Die Verkettung wird in der Anleitung zur Verkettung von Funktionen ausführlich erklärt.

Umkehrfunktionen in der Analysis

Ist $f$ differenzierbar und injektiv, ist die Steigung der Umkehrfunktion an einer Stelle der Kehrwert der Steigung von $f$ an der zugehörigen Stelle. Ist $f(a) = b$ und $f'(a) \neq 0$, dann gilt:

Für $f(x) = x^3 + x$ gilt $f(1) = 2$ und $f'(x) = 3x^2 + 1$, also $f'(1) = 4$ und $(f^{-1})'(2) = \frac{1}{4}$. Das klappt sogar, wenn ein Term für $f^{-1}$ nur sehr schwer zu finden wäre. Aus diesem Grund ist die Ableitung von $\ln x$ gleich $\frac{1}{x}$, denn $\ln$ ist die Umkehrfunktion von $e^x$.

Häufige Fehler

• $f^{-1}(x)$ so behandeln, als wäre es $\frac{1}{f(x)}$.
• Vergessen, $x$ und $y$ zu vertauschen, wodurch man nur die ursprüngliche Funktion umschreibt.
• Einen Term für eine nicht injektive Funktion suchen, ohne den Definitionsbereich einzuschränken.
• Nach dem Einschränken des Definitionsbereichs das falsche Vorzeichen einer Quadratwurzel wählen.
• Den Definitionsbereich der Umkehrfunktion nicht angeben, der gleich dem Wertebereich der ursprünglichen Funktion sein muss.

Der Rechner für Umkehrfunktionen zeigt die Schritte des Vertauschens und Auflösens und prüft das Ergebnis anschließend durch Verkettung.

Umkehrfunktionen aus Tabellen und in Anwendungen

Ein Funktionsterm ist nicht immer nötig. Beschreibt eine Tabelle eine injektive Funktion, erhält man die Umkehrfunktion, indem man die beiden Spalten vertauscht. Angenommen, ein Paketdienst berechnet nach Gewicht, und laut Preistabelle kostet 1 Kilogramm 6 Euro, 2 Kilogramm 9 Euro und 3 Kilogramm 12 Euro. Die umgekehrte Tabelle beantwortet die umgekehrte Frage: Wie schwer war das Paket, wenn man weiß, wie viel ein Kunde bezahlt hat? Eine Zahlung von 9 Euro entspricht 2 Kilogramm. Hätten zwei Gewichte denselben Preis, hätte die umgekehrte Frage keine eindeutige Antwort: Das ist die Bedingung der Injektivität in einem realen Zusammenhang.

Viele Formeln aus dem Alltag werden in beide Richtungen verwendet. Ein Kreditrechner bestimmt die Monatsrate aus der Darlehenssumme, und die Umkehrung sagt, wie viel man sich bei einer bezahlbaren Rate leihen kann. Ein Rezept, das an die Zahl der Portionen angepasst wird, lässt sich umkehren, um zu erfahren, wie viele Portionen eine bestimmte Menge Mehl ergibt. In den Naturwissenschaften rechnet eine Kalibrierkurve eine bekannte Konzentration in einen Messwert des Geräts um, und die Umkehrfunktion rechnet einen Messwert in eine Konzentration um. In allen Fällen ist die Umkehrfunktion gerade deshalb nützlich, weil die ursprüngliche Beziehung im interessierenden Wertebereich injektiv ist.

So betrachtet wirken die algebraischen Schritte natürlich. $x$ und $y$ zu vertauschen ist nur eine knappe Art zu sagen, dass die Rollen von Eingabe und Ausgabe getauscht wurden, und nach $y$ aufzulösen heißt, die umgekehrte Frage zu beantworten.

Häufige Fragen