Logarithmusrechner

Über den Logarithmusrechner

Ein Logarithmus beantwortet eine einzige Frage: Mit welchem Exponenten muss man die Basis potenzieren, um diese Zahl zu erhalten? Da $2^5 = 32$ ist, gilt $\log_2 32 = 5$ . Logarithmen machen Exponentialfunktionen rückgängig: Sie sind also das Werkzeug, um jede Gleichung zu lösen, in der die Unbekannte im Exponenten steht, von Zinseszinsen über den pH-Wert bis zu Dezibel.

Der Rechner hat drei Modi. Der Berechnungsmodus bestimmt $\log_b(x)$ und liefert ein exaktes rationales Ergebnis wie $\log_4 8 = \tfrac32$ , wenn $x$ eine rationale Potenz von $b$ ist, andernfalls einen Ausdruck mit Basiswechsel samt Dezimalwert. Der Modus $b^x = y$ lösen bestimmt den Exponenten, und der Modus $\log_b(x) = c$ lösen bestimmt den Numerus. Die Basis kann jede positive Zahl außer 1 sein, oder $e$ für den natürlichen Logarithmus.

Was ist ein Logarithmus?

Für eine Basis $b > 0$ mit $b \ne 1$ und eine Zahl $x > 0$ bedeutet $\log_b x = y$ genau $b^y = x$ . Beide Gleichungen drücken dieselbe Tatsache auf zwei Arten aus, und zwischen ihnen hin- und herwechseln zu können ist die entscheidende Fertigkeit.

Zwei Basen haben eigene Namen. Der Zehnerlogarithmus $\log x$ (in Deutschland oft lg geschrieben) verwendet die Basis 10, und der natürliche Logarithmus $\ln x$ verwendet die Basis $e \approx 2.71828$ , die beim Wachstum, in der Analysis und in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ganz natürlich auftritt. Logarithmen von null und von negativen Zahlen sind in den reellen Zahlen nicht definiert, weil keine Potenz einer positiven Basis null oder negativ ist.

So benutzt du den Logarithmusrechner

Wähle einen Modus: log_b(x) berechnen, b^x = y lösen oder log_b(x) = c lösen.
Gib die Basis ein: eine positive Zahl ungleich 1, 10 für den Zehnerlogarithmus oder e für den natürlichen Logarithmus.
Gib die Zahl x ein (bei einer Berechnung) oder die rechte Seite (in den Gleichungsmodi). Brüche wie 1/8 sind erlaubt.
Starte die Berechnung. Du siehst, wie die Zahl als Potenz der Basis geschrieben wurde oder welcher Basiswechsel verwendet wurde.

Formeln

Definition

\log_b x = y \iff b^y = x

Logarithmus eines Produkts

\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N

Logarithmus eines Quotienten

\log_b\frac{M}{N} = \log_b M - \log_b N

Logarithmus einer Potenz

\log_b(M^k) = k\log_b M

Basiswechsel

\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}

Durchgerechnetes Beispiel: log₄(8)

Das Beispiel berechnet $\log_4 8$ . Keine der beiden Zahlen ist eine Potenz der anderen, aber beide sind Potenzen derselben Primzahl: $4 = 2^2$ und $8 = 2^3$ . Der Rechner schreibt die Frage als $(2^2)^y = 2^3$ , also $2y = 3$ .

Das exakte Ergebnis ist daher $\tfrac32$ , und zur Probe gilt $4^{3/2} = (\sqrt4)^3 = 8$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\log_{4}\left(8\right) = \frac{3}{2}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Den Logarithmus von 8 zur Basis 4 berechnen.

\log_{4}\left(8\right)

Lösungsweg Schritt für Schritt

Frage: Mit welcher Potenz der Basis erhält man die Zahl?
$4^{\,y} = 8$
Beide Zahlen als Potenzen derselben Primfaktoren schreiben
Der Vergleich der Primexponenten zeigt 8 = 4^(3/2).
$8 = 4^{\frac{3}{2}}$

Verwendete Formeln

Definition
$\log_b x = y \iff b^y = x$
Basiswechsel
$\log_b x = \frac{\ln x}{\ln b}$
Logarithmengesetze
$\log_b(MN) = \log_b M + \log_b N,\quad \log_b M^k = k\log_b M$

4 hoch 3/2 ergibt genau 8.

Probe

Probe: 4^1.5 ≈ 8.

Ausführliche Erklärung

Exakte Werte oder Basiswechsel

Lassen sich Zahl und Basis als Potenzen derselben Primzahl schreiben, ist der Logarithmus rational und wird exakt berechnet, etwa $\log_{27} 9 = \tfrac23$ oder $\log_2 \tfrac18 = -3$ . Der Rechner zerlegt beide in Primzahlpotenzen und vergleicht die Exponenten, sodass diese Ergebnisse exakt sind.

Die meisten Logarithmen sind irrational. Für $\log 50$ gibt es keinen exakten rationalen Wert: Der Rechner schreibt die Form mit Basiswechsel $\frac{\ln 50}{\ln 10}$ und gibt den Dezimalwert $1.69897\ldots$ an. Die Formel für den Basiswechsel funktioniert, weil aus $y = \log_b x$ folgt $b^y = x$ , und nimmt man davon den natürlichen Logarithmus, erhält man $y \ln b = \ln x$ .

Exponentialgleichungen lösen

Um $2^x = 10$ zu lösen, logarithmierst du beide Seiten. Das Gesetz für den Logarithmus einer Potenz holt die Unbekannte herunter: $x \ln 2 = \ln 10$ , also $x = \frac{\ln 10}{\ln 2} = \log_2 10 \approx 3.32193$ . Schnelle Kontrolle: $2^3 = 8$ und $2^4 = 16$ , also muss die Lösung zwischen 3 und 4 liegen.

Eine Gleichung wie $2^x = -4$ hat keine reelle Lösung, weil eine positive Basis hoch einem beliebigen reellen Exponenten positiv ist. Der Rechner weist darauf hin, statt einen Wert auszugeben.

Logarithmusgleichungen lösen

Um $\log_3 x = 4$ zu lösen, wechselst du in die Exponentialform: $x = 3^4 = 81$ . Die Lösung muss positiv sein, denn Logarithmen sind nur für positive Numeri definiert; prüfe bei komplizierteren Gleichungen immer, ob die Lösungskandidaten im Definitionsbereich liegen.

Die Logarithmengesetze kombinieren

Die Gesetze für Produkt, Quotient und Potenz spiegeln die Potenzgesetze wider, denn Logarithmen sind Exponenten. Mit ihnen zerlegst du einen Logarithmus in einfachere Teile, etwa $\log_2(8x^3) = 3 + 3\log_2 x$ , oder fasst mehrere Logarithmen zu einem zusammen, etwa $\ln 6 - \ln 2 = \ln 3$ . Das Zusammenfassen ist oft der erste Schritt, wenn eine Gleichung mehr als einen Logarithmus enthält, denn den einzelnen Logarithmus kann man dann in die Exponentialform umschreiben.

Häufige Fehler

$\log(a + b) = \log a + \log b$ schreiben. Das Produktgesetz betrifft $\log(ab)$ , nicht Summen.
Logarithmen falsch dividieren: $\frac{\log a}{\log b}$ ist weder $\log(a - b)$ noch $\log\frac ab$ .
Den Logarithmus von null oder von einer negativen Zahl berechnen.
Auf dem Taschenrechner $\log$ (Basis 10) mit $\ln$ (Basis $e$ ) verwechseln.
Vergessen, dass $\log_b 1 = 0$ und $\log_b b = 1$ für jede zulässige Basis gilt.

Tipps

Wenn die Bedeutung eines Logarithmus unklar ist, schreibe ihn zuerst in Exponentialform um.
Schätze vor dem Rechnen mit benachbarten Potenzen ab: $\log_2 10$ ist etwas größer als 3.
Nutze die Primfaktorzerlegung, um exakte Ergebnisse zu erkennen, etwa $\log_8 32 = \tfrac53$ .
Wenn dein Kurs es erlaubt, behalte das Ergebnis bis zum letzten Schritt in exakter Logarithmusform.

Häufige Fragen

Was ist der Unterschied zwischen log und ln?

log steht meist für die Basis 10, den Zehnerlogarithmus, und ln für die Basis e, den natürlichen Logarithmus. Beide haben dieselben Gesetze; sie unterscheiden sich nur um einen konstanten Faktor.

Warum kann man den Logarithmus einer negativen Zahl nicht berechnen?

Eine positive Basis hoch einem beliebigen reellen Exponenten ist immer positiv: Kein reeller Exponent ergibt null oder eine negative Zahl. Diese Logarithmen sind in den reellen Zahlen nicht definiert.

Wie funktioniert die Formel für den Basiswechsel?

Der Logarithmus von x zur Basis b ist gleich ln x geteilt durch ln b. So berechnest du einen Logarithmus zu jeder Basis mit einem Taschenrechner, der nur die Tasten ln oder log hat.

Wann ist ein Logarithmus ganzzahlig oder ein Bruch?

Wenn die Zahl eine rationale Potenz der Basis ist. Zum Beispiel ist der Logarithmus von 8 zur Basis 4 gleich 3/2, weil 4 hoch 3/2 gleich 8 ist. In den übrigen Fällen ist der Logarithmus irrational.

Wie löst man eine Gleichung mit der Unbekannten im Exponenten?

Logarithmiere beide Seiten, hole den Exponenten mit dem Potenzgesetz herunter und teile dann. Für 2 hoch x gleich 10 ist x gleich ln 10 geteilt durch ln 2.

Warum darf die Basis nicht 1 sein?

Alle Potenzen von 1 sind 1: Ein Logarithmus zur Basis 1 könnte die Zahlen nicht unterscheiden und wäre keine Funktion.

Wofür braucht man Logarithmen?

Um Größen zu messen, die sich über viele Größenordnungen erstrecken, etwa die Magnitude eines Erdbebens, den Schallpegel in Dezibel oder den Säuregrad über den pH-Wert, und um Aufgaben zu Wachstum und Zerfall zu lösen.

Probiere den Logarithmusrechner aus

Berechne einen Logarithmus zu jeder Basis oder löse eine Exponential- oder Logarithmusgleichung Schritt für Schritt.

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