Bruchterme-Rechner

Über den Bruchterme-Rechner

Bruchterme, auch rationale Terme genannt, sind Brüche, deren Zähler und Nenner Polynome sind, etwa $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ . Sie verhalten sich wie gewöhnliche Brüche: Alles, was du über Kürzen, Gleichnamigmachen und Dividieren durch einen Bruch weißt, gilt weiterhin. Der Unterschied ist, dass du jetzt Polynome faktorisierst und die Werte von $x$ beachten musst, die einen Nenner null machen.

Dieser Rechner beherrscht fünf Operationen mit Bruchtermen in einer Variablen: kürzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren. Er faktorisiert alle Zähler und Nenner über den rationalen Zahlen, bildet bei Bedarf den Hauptnenner, kürzt gemeinsame Faktoren und gibt die ausgeschlossenen Werte des Endergebnisses an, was viele Lösungswege vergessen.

Was ist ein Bruchterm?

Ein Bruchterm ist ein Quotient $\frac{P(x)}{Q(x)}$ zweier Polynome, bei dem $Q$ nicht das Nullpolynom ist. An den Stellen mit $Q(x) = 0$ ist er nicht definiert: Seine Definitionsmenge besteht also aus den reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners.

Zwei Bruchterme sind gleich, wenn sie an jeder Stelle übereinstimmen, an der beide definiert sind. Kürzen heißt, einen Bruchterm durch einen gleichen, vollständig gekürzten zu ersetzen, ohne gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner. Da beim Kürzen ein Faktor aus dem Nenner verschwinden kann, müssen die ausgeschlossenen Werte des ursprünglichen Terms ausdrücklich erhalten bleiben.

So benutzt du den Bruchterme-Rechner

Wähle kürzen, addieren, subtrahieren, multiplizieren oder dividieren.
Gib den ersten Bruchterm in A ein und setze Zähler und Nenner in Klammern, zum Beispiel (x^2 - 9)/(x^2 + 5x + 6).
Gib für die vier Rechenarten den zweiten Bruchterm in B ein, etwa 2/(x + 1).
Starte die Berechnung und verfolge die Schritte Faktorisieren, Gleichnamigmachen und Kürzen.
Übernimm das Ergebnis zusammen mit seinen ausgeschlossenen Werten.

Formeln

Kürzen

\frac{P\,R}{Q\,R} = \frac{P}{Q},\quad R \neq 0

Addition bei gleichem Nenner

\frac{P}{D} + \frac{R}{D} = \frac{P + R}{D}

Multiplikation

\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S} = \frac{PR}{QS}

Division

\frac{P}{Q} \div \frac{R}{S} = \frac{P}{Q} \cdot \frac{S}{R},\quad R \neq 0

Durchgerechnetes Beispiel: (x² − 9)/(x² + 5x + 6) kürzen

Das Beispiel kürzt $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ vollständig. Der Rechner erkennt im Zähler die dritte binomische Formel und im Nenner ein faktorisierbares Trinom, die den gemeinsamen Faktor $x + 3$ haben.

Nach dem Kürzen listet der Rechner die beiden ausgeschlossenen Werte $-3$ und $-2$ auf. Der Wert $-3$ macht den gekürzten Nenner nicht mehr null, war aber im ursprünglichen Term verboten: Deshalb bleibt er ausgeschlossen.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\frac{x - 3}{x + 2}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Den Bruchterm vollständig kürzen.

\frac{{x}^{2}-9}{{x}^{2}+5x+6}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Als einen einzigen Bruch schreiben
$\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5x + 6}$
Zähler und Nenner faktorisieren
$\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x + 2)(x + 3)}$
Den gemeinsamen Faktor kürzen
Der Faktor x + 3 kommt im Zähler und im Nenner vor. Ihn zu kürzen ändert den Wert überall dort nicht, wo der ursprüngliche Term definiert ist.
$\frac{x - 3}{x + 2}$
Die ausgeschlossenen Werte angeben
Der ursprüngliche Term ist nicht definiert, wo ein Nenner (oder Divisor) null ist: x ≠ -3, x ≠ -2. Diese Einschränkungen bleiben bestehen, auch wenn ein Faktor gekürzt wurde.

Verwendete Formeln

Kürzen
$\frac{a\,c}{b\,c} = \frac{a}{b}\quad (c \neq 0)$

Vollständig gekürzt lautet das Ergebnis (x - 3)/(x + 2). Ausgeschlossene Werte: x ≠ -3, x ≠ -2.

Probe

Die vereinfachte Form wurde an vier Testpunkten mit der ursprünglichen verglichen und stimmt überein.

Ausführliche Erklärung

Addieren und subtrahieren

Um Bruchterme zu addieren, machst du sie gleichnamig. Der Hauptnenner ist das Produkt aller verschiedenen Faktoren der Nenner, jeder mit der höchsten Potenz, in der er vorkommt. Für $\frac{1}{x - 1} + \frac{2}{x + 1}$ ist der Hauptnenner $(x - 1)(x + 1)$ ; jeder Zähler wird mit dem Faktor erweitert, der seinem Nenner fehlt, und man erhält $\frac{(x + 1) + 2(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x - 1}{(x - 1)(x + 1)}$ .

Die Subtraktion folgt demselben Schema, doch es wird der ganze zweite Zähler subtrahiert: Setze ihn in Klammern, bevor du das Minuszeichen verteilst. Faktorisiere nach dem Zusammenfassen den neuen Zähler, um zu sehen, ob sich ein Faktor gegen den Hauptnenner kürzen lässt.

Multiplizieren und dividieren

Die Multiplikation braucht keinen gemeinsamen Nenner. Faktorisiere zuerst alles, kürze jeden Faktor, der zugleich in einem Zähler und in einem Nenner vorkommt, und multipliziere dann den Rest. Vor dem Multiplizieren zu kürzen hält die Polynome klein.

Zum Dividieren multiplizierst du mit dem Kehrwert des zweiten Bruchs. Das bringt eine neue Einschränkung: Der Zähler des Divisors darf nicht null sein, denn er wird nach dem Umdrehen zum Nenner. $\frac{x}{x + 2}$ geteilt durch $\frac{x - 1}{x + 2}$ ergibt $\frac{x}{x - 1}$ , mit $x \neq -2$ und $x \neq 1$ als ausgeschlossenen Werten.

Warum die ausgeschlossenen Werte wichtig sind

Ausgeschlossene Werte sind keine bloße Formalität. Der Graph von $\frac{x^2 - 9}{x^2 + 5x + 6}$ sieht aus wie der von $\frac{x - 3}{x + 2}$ , hat aber eine Lücke bei $x = -3$ und eine senkrechte Asymptote (Polstelle) bei $x = -2$ . Beim Lösen von Bruchgleichungen ist ein Lösungskandidat, der einem ausgeschlossenen Wert entspricht, keine echte Lösung und muss verworfen werden.

Häufige Fehler

Summanden statt Faktoren kürzen, etwa das $x$ in $\frac{x + 2}{x}$ wegstreichen.
Zähler und Nenner getrennt addieren: $\frac1x + \frac1y$ ist nicht $\frac{2}{x + y}$ .
Bei einer Subtraktion vergessen, das Minuszeichen auf den ganzen zweiten Zähler zu verteilen.
Nach dem Kürzen eines gemeinsamen Faktors die ausgeschlossenen Werte verlieren.
Bei einer Division den ersten statt den zweiten Bruch umdrehen.

Tipps

Faktorisiere alle Zähler und Nenner vollständig, bevor du irgendetwas anderes tust.
Lass den Hauptnenner in faktorisierter Form; ihn zu früh auszumultiplizieren erschwert das Kürzen.
Sammle vor dem Kürzen die ausgeschlossenen Werte aller Nenner, einschließlich des Zählers des Divisors.
Prüfe ein Ergebnis, indem du einen Wert wie $x = 5$ in den ursprünglichen und den gekürzten Term einsetzt.
Nutze den Rechner für Definitions- und Wertemenge, um die vollständige Definitionsmenge des Ergebnisses zu sehen.

Häufige Fragen

Wie kürzt man einen Bruchterm?

Faktorisiere Zähler und Nenner vollständig, kürze die gemeinsamen Faktoren und gib die x-Werte, die den ursprünglichen Nenner null machen, als ausgeschlossene Werte an.

Was ist ein ausgeschlossener Wert?

Ein Wert der Variablen, der einen Nenner null macht, sodass der Term dort nicht definiert ist. Die ausgeschlossenen Werte des ursprünglichen Terms bleiben auch nach dem Kürzen ausgeschlossen.

Wie bestimmt man den Hauptnenner?

Faktorisiere jeden Nenner und multipliziere alle verschiedenen Faktoren, jeden mit der höchsten Potenz, in der er in einem der Nenner vorkommt.

Warum darf ich das x in (x + 2)/x nicht kürzen?

Im Zähler ist x ein Summand, kein Faktor des ganzen Zählers. Gekürzt werden nur Faktoren, die den ganzen Zähler und den ganzen Nenner multiplizieren.

Wie dividiert man Bruchterme?

Multipliziere den ersten Bruch mit dem Kehrwert des zweiten, faktorisiere dann und kürze. Der Zähler des zweiten Bruchs bringt neue ausgeschlossene Werte, weil er zum Nenner wird.

Kann der Rechner mehrere Variablen verarbeiten?

Dieser Rechner arbeitet mit Bruchtermen in einer einzigen Variablen. Für Polynomterme mit mehreren Variablen nutze den Rechner zum Vereinfachen von Termen.

Was ist der Unterschied zwischen einer Lücke und einer Asymptote?

Eine Lücke entsteht, wo sich ein Faktor zwischen Zähler und Nenner kürzt. Eine senkrechte Asymptote entsteht, wo ein Faktor nach dem Kürzen im Nenner bleibt.

Probiere den Bruchterme-Rechner aus

Kürze, addiere, subtrahiere, multipliziere oder dividiere Bruchterme mit den ausgeschlossenen Werten in jedem Schritt.

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