Verkettung von Funktionen — f(g(x)) Schritt für Schritt berechnen

Über den Rechner für verkettete Funktionen

Bei der Verkettung werden zwei Funktionen hintereinandergeschaltet, sodass die Ausgabe der einen zur Eingabe der anderen wird. So entstehen komplizierte Funktionsterme aus einfachen: $\sqrt{x - 4}$ ist eine Quadratwurzel, die nach dem Subtrahieren von 4 angewendet wird, und $(2x - 3)^2 + 1$ ist Quadrieren und Addieren von eins nach einer linearen Funktion. Diese Schichten zu erkennen ist unverzichtbar für die Kettenregel, für Umkehrfunktionen und für die Modellierung von Vorgängen, die in Stufen ablaufen.

Dieser Rechner setzt eine Funktion in die andere ein, multipliziert aus, vereinfacht das Ergebnis und bestimmt die Definitionsmenge der Verkettung, einschließlich der Einschränkungen, die von der inneren Funktion stammen. Gibst du einen Wert ein, wertet er die Verkettung dort auch von innen nach außen aus, damit du siehst, wie die Zahl jede Funktion durchläuft.

Was ist die Verkettung von Funktionen?

Die Verkettung von $f$ und $g$ , geschrieben $(f \circ g)(x)$ und gelesen „f nach g“ oder „f verkettet mit g“, ist durch $f(g(x))$ definiert: Zuerst wird $g$ angewendet und dann $f$ auf das Ergebnis. Die rechts stehende Funktion wirkt zuerst, also entgegen der Leserichtung.

Die Verkettung ist nicht kommutativ. Für $f(x) = x^2$ und $g(x) = x + 1$ ist $f(g(x)) = (x + 1)^2$ , während $g(f(x)) = x^2 + 1$ ist. Du kannst eine Funktion auch mit sich selbst verketten: $f \circ f$ wendet $f$ zweimal an.

So benutzt du den Rechner für verkettete Funktionen

Gib die äußere Funktion f(x) und die zweite Funktion g(x) ein, beide in $x$ .
Wähle die Verkettung: f∘g, g∘f, f∘f oder g∘g.
Gib bei Bedarf einen Wert für $x$ ein, um die Verkettung an dieser Stelle auszuwerten.
Starte die Berechnung, um das Einsetzen, das vereinfachte Ergebnis und seine Definitionsmenge zu sehen.
Vergleiche mit der umgekehrten Reihenfolge, um zu sehen, wie sich das Ergebnis ändert.

Formeln

Definition

(f \circ g)(x) = f(g(x))

Definitionsmenge einer Verkettung

\operatorname{Dom}(f \circ g) = \{x \in \operatorname{Dom}(g) : g(x) \in \operatorname{Dom}(f)\}

Assoziativität

f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h

Probe für Umkehrfunktionen

f(f^{-1}(x)) = x

Durchgerechnetes Beispiel: f(g(x)), f = x² + 1, g = 2x − 3, an der Stelle x = 2

Das Beispiel verwendet $f(x) = x^2 + 1$ und $g(x) = 2x - 3$ und bildet $f \circ g$ . Jedes $x$ in $f$ wird durch den ganzen Term $2x - 3$ ersetzt, was $(2x - 3)^2 + 1$ ergibt, also $4x^2 - 12x + 10$ nach dem Ausmultiplizieren.

Das Beispiel wertet außerdem bei $x = 2$ aus. Schrittweise ist $g(2) = 1$ und $f(1) = 2$ ; der vereinfachte Term liefert $16 - 24 + 10 = 2$ , denselben Wert. Beide Funktionen sind Polynome, daher ist die Definitionsmenge die Menge der reellen Zahlen.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Bestimme (f ∘ g)(x) = f(g(x)) und berechne den Wert.

f(x) = {x}^{2}+1,\ g(x) = 2x-3

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Funktionen aufschreiben
$f(x) = {x}^{2}+1,\quad g(x) = 2x-3$
(f ∘ g)(x) bedeutet f(g(x)): setze g(x) für jedes x in f ein
$(f \circ g)(x) = f\big(2x-3\big)$
Einsetzen
$(f \circ g)(x) = {\left(2x-3\right)}^{2}+1$
Ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen
$(f \circ g)(x) = 4{x}^{2}-12x+10$
Definitionsmenge: x muss in g zulässig sein, und g(x) muss in f zulässig sein
$\text{Definitionsmenge von } f \circ g:\ (-\infty, \infty)$
Von innen nach außen bei x = 2 auswerten: zuerst g(2) = 1
$g(2) = 1$
Dann f(1) = 2
$f\big(1\big) = 2$

Verwendete Formeln

Verkettung
$(f \circ g)(x) = f\big(g(x)\big)$

Bei der Verkettung wird die Ausgabe von g in f eingesetzt. Die Reihenfolge ist wichtig: f∘g wendet zuerst g an und unterscheidet sich meist von g∘f. Die Definitionsmenge wird vor dem Vereinfachen bestimmt, da Kürzen Werte verdecken kann, die die Verkettung nicht annehmen darf.

Probe

Geprüft: f(g(x)) und die Endformel stimmen an Stichprobenstellen überein.
Geprüft: Die vereinfachte Formel liefert bei x = 2 ebenfalls 2.

Ausführliche Erklärung

Richtig einsetzen

Am sichersten verkettest du, indem du die äußere Funktion mit leeren Klammern anstelle von $x$ schreibst, etwa $f(\;) = (\;)^2 + 1$ , und dann den ganzen inneren Term in jede Klammer setzt. Die Klammern sind wichtig: Ersetzt du das $x$ in $x^2$ durch $2x - 3$ , erhältst du $(2x - 3)^2$ und nicht $2x - 3^2$ .

Nach dem Einsetzen multiplizierst du aus und fasst gleichartige Terme zusammen. Der Rechner zeigt zuerst das unvereinfachte Einsetzen, damit du es mit deiner eigenen Rechnung vergleichen kannst, und dann die vereinfachte Form.

Die Definitionsmenge bestimmen

Eine Eingabe gehört nur dann zur Definitionsmenge von $f \circ g$ , wenn $g$ sie zulässt und $f$ das zulässt, was $g$ liefert. Für $f(x) = \sqrt{x}$ und $g(x) = x - 4$ akzeptiert $g$ jede Zahl, aber $f$ verlangt eine Eingabe größer oder gleich null, also $x - 4 \geq 0$ , und die Definitionsmenge ist $[4, \infty)$ .

Die Einschränkungen der inneren Funktion gelten weiter, auch wenn die Vereinfachung sie verdeckt. Mit $f(x) = x^2$ und $g(x) = \sqrt{x}$ vereinfacht sich die Verkettung zu $x$ , zulässig ist aber nur $x \geq 0$ , weil zuerst $g$ definiert sein muss. Deshalb wird die Definitionsmenge über beide Stufen bestimmt und nicht nur aus dem Endterm.

Wo die Verkettung gebraucht wird

Die Ableitung einer verketteten Funktion erhältst du mit der Kettenregel, $\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x))\,g'(x)$ . Innere und äußere Funktion zu erkennen ist der erste Schritt, um sie anzuwenden. Die Verkettung beschreibt auch Einheitenumrechnungen, aufeinanderfolgende prozentuale Änderungen und Verschiebungen von Graphen: $f(x - 2)$ ist $f$ verkettet mit einer Verschiebung um zwei Einheiten nach rechts.

Das Zerlegen ist die umgekehrte Fertigkeit: Für $h(x) = \sqrt{3x + 7}$ wählst du eine innere Funktion $g(x) = 3x + 7$ und eine äußere $f(x) = \sqrt{x}$ mit $h = f \circ g$ . Oft gibt es mehrere gültige Zerlegungen, und die beste ist die, die den nächsten Schritt erleichtert, etwa das Ableiten oder Umkehren. Wer mit dem Rechner in beide Richtungen übt, gewöhnt sich daran, Funktionen als Schichten zu sehen.

Häufige Fehler

Die Funktionen in der falschen Reihenfolge anwenden; bei $f(g(x))$ wirkt die innere Funktion $g$ zuerst.
Die Funktionen multiplizieren statt verketten: $f(g(x))$ ist nicht $f(x)\,g(x)$ .
Beim Einsetzen die Klammern vergessen, wodurch sich Potenzen und Vorzeichen ändern.
Die Definitionsmenge nur aus dem vereinfachten Term bestimmen und Einschränkungen der inneren Funktion verlieren.
Annehmen, dass $f \circ g = g \circ f$ gilt; prüfe beide Reihenfolgen.

Tipps

Rechne schrittweise mit einer einfachen Zahl, um eine vereinfachte Verkettung zu prüfen.
Schreibe die äußere Funktion vor dem Einsetzen mit leeren Klammern.
Notiere zuerst die Einschränkungen der inneren Funktion und dann die der äußeren.
Nutze den Umkehrfunktion-Rechner und verkette dann, um $f(f^{-1}(x)) = x$ zu bestätigen.
Bestimme innere und äußere Funktion, bevor du eine verkettete Funktion ableitest.

Häufige Fragen

Was bedeutet f(g(x))?

Es bedeutet, zuerst g auf x anzuwenden und dann f auf das Ergebnis. Die Verkettung wird f∘g geschrieben („f nach g“), und die rechte Funktion wirkt immer zuerst.

Ist f∘g dasselbe wie g∘f?

Im Allgemeinen nicht. Für f(x) = x² und g(x) = x + 1 ist f(g(x)) = (x + 1)², aber g(f(x)) = x² + 1. Mit dem Rechner kannst du beide Reihenfolgen berechnen.

Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer Verkettung?

Nimm die Eingaben, die die innere Funktion zulässt, und behalte nur die, deren Ausgaben die äußere Funktion zulässt. Die Einschränkungen der inneren Funktion gelten weiter, auch wenn der vereinfachte Term sie verdeckt.

Kann man eine Funktion mit sich selbst verketten?

Ja. Wähle f∘f oder g∘g. Für f(x) = 2x + 1 ist f(f(x)) = 4x + 3, also f(f(3)) = 15.

Wie hängen Verkettung und Ableitung zusammen?

Nach der Kettenregel ist die Ableitung einer verketteten Funktion f(g(x)) gleich f′(g(x)) mal g′(x). Innere und äußere Funktion zu erkennen ist der erste Schritt.

Wertet der Rechner die Verkettung an einer Stelle aus?

Ja. Gib einen Wert für x ein, und der Rechner arbeitet von innen nach außen: zuerst die innere Funktion an diesem Wert, dann die äußere Funktion am Ergebnis. Setzt du denselben Wert in den vereinfachten Term ein, muss dieselbe Zahl herauskommen.

Wie prüft man, ob zwei Funktionen Umkehrfunktionen voneinander sind?

Verkette sie in beiden Reihenfolgen. Vereinfachen sich f(g(x)) und g(f(x)) auf den jeweiligen Definitionsmengen beide zu x, sind die Funktionen zueinander invers.

Probiere den Rechner für verkettete Funktionen aus

Gib f und g ein und erhalte die vereinfachte Verkettung, ihre Definitionsmenge und ihren Wert an einer Stelle.

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