Polynomrechner

Q: Welche Operationen beherrscht der Polynomrechner?

Ausmultiplizieren, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren mit Quotient und Rest, den Funktionswert für einen x-Wert mit dem Horner-Schema berechnen und die reellen Nullstellen bestimmen.

Q: Wie dividiert man Polynome?

Wähle die Division und gib den Dividenden als P und den Divisor als Q ein. Der Rechner führt die Polynomdivision durch und zeigt Quotient, Rest und das Ergebnis in der Form Quotient plus Rest durch Divisor.

Q: Was besagt der Restsatz?

Teilt man ein Polynom P durch x minus c, ist der Rest gleich P(c). Das Polynom an der Stelle c auszuwerten ist also ein schneller Weg, den Rest zu finden oder zu prüfen, ob c eine Nullstelle ist.

Q: Zeigt der Polynomrechner komplexe Nullstellen an?

Nein. Der Nullstellenmodus listet nur reelle Nullstellen auf und meldet, wenn ein Polynom keine hat. Rationale Nullstellen sind exakt, irrationale erscheinen als genäherte Dezimalwerte.

Q: Was ist das Horner-Schema?

Ein Verfahren, den Wert eines Polynoms durch verschachtelte Multiplikationen zu berechnen, etwa indem man ax hoch drei plus bx zum Quadrat plus cx plus d als ((ax + b)x + c)x + d schreibt. Es braucht weniger Rechenschritte und führt zu weniger Fehlern als das getrennte Berechnen jeder Potenz.

Q: Was ist der Grad eines Polynoms?

Die höchste Potenz der Variablen mit einem von null verschiedenen Koeffizienten. Er begrenzt die Anzahl der reellen Nullstellen und lokalen Extrempunkte, die das Polynom haben kann.

Q: Kann ich Brüche als Koeffizienten verwenden?

Ja. Brüche und Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt, und alle Ergebnisse bleiben exakt.

Über den Polynomrechner

Polynome sind die häufigsten Funktionen der Algebra: Geraden, Parabeln, kubische Funktionen und alles, was sich aus nichtnegativen ganzzahligen Potenzen einer Variablen aufbaut. Wer mit ihnen arbeitet, wiederholt ständig eine Handvoll Operationen, etwa zwei Klammern ausmultiplizieren, durch einen Linearfaktor teilen, einen Wert für die Variable einsetzen oder die Nullstellen finden. Alle sind mechanisch, aber bei Polynomen mit vielen Termen schleichen sich leicht Fehler ein.

Dieser Rechner beherrscht sieben Operationen mit Polynomen in einer Variablen: ausmultiplizieren, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, einen Funktionswert berechnen und die reellen Nullstellen bestimmen. Die Koeffizienten werden als exakte Brüche gespeichert: Die Division liefert einen exakten Quotienten und Rest, und rationale Nullstellen erscheinen exakt statt als gerundete Dezimalzahlen.

Was ist ein Polynom?

Ein Polynom in $x$ ist eine Summe von Termen der Form $a x^n$ , wobei jeder Koeffizient $a$ eine Zahl und jeder Exponent $n$ eine natürliche Zahl ist. $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ ist ein Polynom; $\frac1x$ und $\sqrt x$ sind keine, weil ihre Exponenten negativ oder gebrochen sind.

Der Grad ist der größte Exponent mit einem von null verschiedenen Koeffizienten, und der Leitkoeffizient ist der Koeffizient dieses Terms. Ein Polynom vom Grad $n$ hat höchstens $n$ reelle Nullstellen, und sein Graph hat höchstens $n - 1$ lokale Extrempunkte, was hilft, die Form der Antwort schon vor dem Rechnen abzuschätzen.

So benutzt du den Polynomrechner

Wähle eine Operation: ausmultiplizieren, addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, Funktionswert berechnen oder Nullstellen bestimmen.
Gib das erste Polynom P ein, zum Beispiel 2x^3 - 3x^2 + 4x - 5.
Gib zum Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren das zweite Polynom Q ein, etwa x - 2.
Gib für den Funktionswert den Wert von $x$ im zusätzlichen Feld ein.
Starte die Berechnung und verfolge die Schritte; die Polynomdivision zeigt jede Division der führenden Terme und jede Subtraktion.

Formeln

Polynomdivision

P(x) = Q(x)\,S(x) + R(x),\quad \deg R < \deg Q

Restsatz

P(x) \div (x - c) \;\Rightarrow\; R = P(c)

Abspalten eines Linearfaktors

P(c) = 0 \iff (x - c) \text{ ist ein Faktor von } P(x)

Horner-Schema

a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0 = ((a_3x + a_2)x + a_1)x + a_0

Durchgerechnetes Beispiel: 2x³ − 3x² + 4x − 5 durch x − 2 teilen

Das Beispiel teilt $2x^3 - 3x^2 + 4x - 5$ mit der Polynomdivision durch $x - 2$ . In jedem Schritt teilt der Rechner den führenden Term des verbleibenden Polynoms durch $x$ , multipliziert den Divisor mit diesem Term und subtrahiert.

Drei Durchgänge liefern den Quotienten $2x^2 + x + 6$ und den Rest 7, und das Ergebnis schreibt man als $2x^2 + x + 6 + \frac{7}{x - 2}$ . Wie der Restsatz vorhersagt, ergibt das ursprüngliche Polynom an der Stelle $x = 2$ ebenfalls 7.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

2x^{2} + x + 6 + \frac{7}{x - 2}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

P mit der Polynomdivision durch Q teilen.

Lösungsweg Schritt für Schritt

P in Normalform schreiben
Ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen: Grad 3, Leitkoeffizient 2, Absolutglied -5.
$P(x) = 2x^{3} - 3x^{2} + 4x - 5$
Q in Normalform schreiben
Grad 1, Leitkoeffizient 1, Absolutglied -2
$Q(x) = x - 2$
Die führenden Terme teilen: (2x^3) ÷ (x) = 2x^2
Q mit 2x^2 multiplizieren und subtrahieren. Neuer Rest: x^2 + 4x - 5.
$2x^{2}\cdot(x - 2)$
Die führenden Terme teilen: (x^2) ÷ (x) = x
Q mit x multiplizieren und subtrahieren. Neuer Rest: 6x - 5.
$x\cdot(x - 2)$
Die führenden Terme teilen: (6x) ÷ (x) = 6
Q mit 6 multiplizieren und subtrahieren. Neuer Rest: 7.
$6\cdot(x - 2)$
Aufhören, wenn der Grad des Rests kleiner ist als der des Divisors
$\text{Quotient } 2x^{2} + x + 6,\quad \text{Rest } 7$

Verwendete Formeln

Divisionsalgorithmus
$P(x) = Q(x)\,q(x) + r(x),\; \deg r < \deg Q$

Q teilt P nicht ohne Rest: Der Rest ist 7.

Probe

Probe: Q·Quotient + Rest ergibt P.

Ausführliche Erklärung

Multiplizieren und ausmultiplizieren

Um zwei Polynome zu multiplizieren, wird jeder Term des ersten mit jedem Term des zweiten multipliziert, und danach werden gleiche Potenzen zusammengefasst. In $(x + 1)(x^2 - x + 1)$ vereinfachen sich die sechs Produkte zu $x^3 + 1$ , einer Summe zweier Kuben. Der Rechner zeigt das vollständige Ausmultiplizieren vor dem Zusammenfassen, damit kein Produkt vergessen wird, die übliche Fehlerquelle bei langen Klammern.

Beim Addieren oder Subtrahieren werden nur die Koeffizienten gleicher Potenzen verrechnet. Bei einer Subtraktion wechseln alle Terme des zweiten Polynoms das Vorzeichen: Deshalb schreibt der Rechner das Gegenpolynom ausdrücklich hin, bevor er zusammenfasst.

Die Polynomdivision und ihre Anwendungen

Die Polynomdivision läuft genau wie die schriftliche Division von Zahlen ab. Sie endet, wenn der Rest einen echt kleineren Grad als der Divisor hat. Man braucht sie, um ein Polynom zu faktorisieren, sobald eine Nullstelle bekannt ist, um gebrochenrationale Funktionen zu vereinfachen und um schiefe Asymptoten zu bestimmen: Der Quotient von $\frac{x^2 + 1}{x - 1}$ ist $x + 1$ , also nähert sich der Graph der Geraden $y = x + 1$ .

Die Division durch einen Linearfaktor $x - c$ lässt sich mit dem Horner-Schema abkürzen, das nur mit den Koeffizienten arbeitet. Der Restsatz besagt dann, dass der Rest gleich $P(c)$ ist, womit man das Ergebnis schnell kontrollieren kann.

Die Nullstellen finden

Im Nullstellenmodus testet der Rechner zuerst die rationalen Kandidaten $\frac pq$ , wobei $p$ das Absolutglied und $q$ den Leitkoeffizienten teilt. Jede gefundene Nullstelle wird als Linearfaktor abgespalten, wodurch der Grad sinkt. Bleibt ein quadratischer Faktor übrig, wird er mit der Diskriminante gelöst, und ein verbleibender irreduzibler Rest höheren Grades wird numerisch gelöst, wobei das Ergebnis als Näherung gekennzeichnet ist. Für $x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ sind die Nullstellen 1, 2 und 3 exakt; für $x^3 - 2$ erscheint die einzige reelle Nullstelle $\sqrt[3]{2} \approx 1.2599$ als Dezimalzahl.

Es werden nur reelle Nullstellen aufgelistet. Ein Polynom wie $x^2 + 2x + 5$ hat eine negative Diskriminante, also meldet der Rechner, dass es keine reelle Nullstelle hat.

Häufige Fehler

Bei der Polynomdivision eine fehlende Potenz überspringen; schreibe $x^3 + 0x^2 + 0x - 8$ , damit die Spalten untereinander stehen.
Während der Division nur den ersten Term statt des ganzen Produkts subtrahieren.
Beim Subtrahieren eines Polynoms vergessen, alle Vorzeichen zu ändern.
Beim Multiplizieren von Termen die Exponenten multiplizieren statt addieren: $x^2 \cdot x^3 = x^5$ .
Den Rest ohne den Divisor aufschreiben; $+7$ allein ist nicht dasselbe wie $+\frac{7}{x - 2}$ .

Tipps

Ordne beide Polynome vor jeder Operation nach fallenden Potenzen.
Prüfe eine Division, indem du den Quotienten mit dem Divisor multiplizierst und den Rest addierst.
Teste eine mögliche Nullstelle schnell mit dem Restsatz: Ist $P(c) = 0$ , dann ist $x - c$ ein Faktor.
Zeichne den Graphen mit dem Funktionsplotter, um zu wissen, wie viele reelle Nullstellen du erwarten kannst.
Nutze den Faktorisierungsrechner, wenn du das Polynom als Produkt geschrieben haben möchtest.

Häufige Fragen

Welche Operationen beherrscht der Polynomrechner?