Rechner für Analysis: Ableitungen, Integrale und Grenzwerte
Die Analysis untersucht Änderung und Aufsummierung. Die Ableitung misst, wie schnell sich eine Größe ändert; das Integral summiert kleine Stücke, um Flächen und Gesamtwerte zu bestimmen. Diese Rechner zeigen, welche Regel in jedem Schritt greift, und prüfen jedes Ergebnis.
Rechner
Ableitungsrechner
Sieh bei jedem Schritt, welche Ableitungsregel greift – von der äußersten Rechenoperation nach innen.
Integralrechner
Unbestimmte und bestimmte Integrale, mit der Methode bei jedem Schritt und jeder Stammfunktion geprüft, bevor sie angezeigt wird.
Rechner für bestimmte Integrale
Gib eine Funktion und beide Integrationsgrenzen ein und erhalte den exakten Wert des bestimmten Integrals, mit der Stammfunktion, der Rechnung F(b) − F(a) und bei uneigentlichen Integralen dem Grenzwert, der über die Konvergenz entscheidet.
Grenzwertrechner
Gib eine Funktion und den Wert ein, gegen den x geht, und erhalte den Grenzwert, mit erkanntem unbestimmten Ausdruck, der Regel, die ihn auflöst, und einer numerischen Kontrolle des Ergebnisses.
Rechner für partielle Ableitungen
Gib eine Funktion mehrerer Variablen und die Variable oder Variablenfolge ein, nach der abgeleitet wird, und erhalte die partielle Ableitung mit jeder Regel erklärt und auf Wunsch ihren Wert an einer Stelle.
Rechner für implizites Differenzieren
Gib eine Gleichung in x und y ein, um dy/dx durch implizites Differenzieren zu berechnen, mit der Kettenregel bei jedem Term in y, der Umformung nach y′ und auf Wunsch der Steigung und Tangente in einem Punkt.
Taylorreihen-Rechner
Gib eine Funktion, einen Entwicklungspunkt und einen Grad ein, um ihr Taylorpolynom zu bilden, mit jeder Ableitung im Entwicklungspunkt, exakten Koeffizienten und, wenn du einen x-Wert angibst, dem Vergleich der Näherung mit dem exakten Wert.
Konvergenzrechner für Reihen
Gib das allgemeine Glied einer Reihe ein, um zu erfahren, ob sie konvergiert oder divergiert, welches Kriterium die Entscheidung bringt und warum, mit der exakten Summe, wann immer die Reihe geometrisch ist.
Behandelte Themen
- Ableiten
- Potenz-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel, höhere Ableitungen und Auswerten an einer Stelle.
- Integrieren
- Stammfunktionen, Substitution, partielle Integration, Partialbruchzerlegung und bestimmte Integrale.
- Grenzwerte
- Direktes Einsetzen, Regel von L’Hôpital, einseitige Grenzwerte und Grenzwerte im Unendlichen.
- Mehrere Variablen und implizites Ableiten
- Partielle Ableitungen, gemischte Ableitungen und dy/dx aus einer impliziten Gleichung.
- Reihen
- Taylor- und Maclaurin-Polynome und Konvergenzkriterien für Reihen.
Wie die Analysis-Werkzeuge den Lösungsweg zeigen
Jede Ableitung wird in die Regeln zerlegt, aus denen sie entsteht. Der Rechner erkennt die äußerste Operation, wendet die passende Regel an und arbeitet sich dann nach innen vor: Eine Aufgabe zur Kettenregel zeigt also äußere und innere Ableitung, bevor sie multipliziert werden. Integrale nennen das verwendete Verfahren, ob Grundintegral, Substitution, partielle Integration oder Partialbruchzerlegung, und jede Stammfunktion wird durch erneutes Ableiten geprüft.
Grenzwerte werden wenn möglich durch direktes Einsetzen berechnet, andernfalls durch Vereinfachen, mit der Regel von L’Hôpital oder durch Vergleich des Wachstums im Unendlichen. Bestimmte Integrale liefern einen exakten Wert, wenn es eine Stammfunktion gibt, und sonst einen deutlich gekennzeichneten Näherungswert.
Ein Gespür entwickeln
Analysis wird einfacher, wenn man die Symbole mit Bildern verbindet. Eine Ableitung ist die Steigung einer Tangente, ein bestimmtes Integral ist eine orientierte Fläche, und ein Taylor-Polynom ist eine Kurve, die sich nahe einer Stelle an die ursprüngliche Funktion anschmiegt. Nutze den Funktionsplotter zusammen mit diesen Werkzeugen, um zu sehen, was jedes Ergebnis bedeutet, und prüfe dann, ob Vorzeichen und Größenordnung deiner Antwort zum Graphen passen.
Anleitungen
- Die Ableitungsregeln erklärt, mit durchgerechneten Beispielen
Ableitungen über die Grenzwertdefinition zu berechnen ist mühsam. Eine kleine Zahl von Regeln, jede ein einziges Mal aus dieser Definition bewiesen, erlaubt es, fast jede Formel in wenigen Zeilen abzuleiten. Dieser Leitfaden stellt jede Regel vor, erklärt, warum sie funktioniert, und zeigt, wie man sie kombiniert.