Konvergenzrechner für Reihen

Über den Konvergenzrechner für Reihen

Zu entscheiden, ob eine Reihe konvergiert, ist eine Fähigkeit, die von der Wahl des richtigen Kriteriums abhängt. In Analysis-Vorlesungen lernt man mindestens sieben: das Nullfolgenkriterium, geometrische Reihen, p-Reihen, das direkte Vergleichskriterium und das Grenzwertkriterium, das Quotientenkriterium, das Wurzelkriterium, das Integralkriterium und das Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen. Jedes funktioniert bei bestimmten Reihen hervorragend und sagt über andere überhaupt nichts aus; die ganze Schwierigkeit liegt darin, das passende zu wählen.

Dieser Rechner wendet die Kriterien in einer festen, sinnvollen Reihenfolge an und nennt das erste, das eine Entscheidung liefert. Er erkennt geometrische Reihen und berechnet ihre exakte Summe, prüft, ob das allgemeine Glied gegen null geht, behandelt alternierende Vorzeichen und versucht bei positiven Gliedern das Quotientenkriterium, das Wurzelkriterium, den Vergleich mit einer p-Reihe, die Cauchy-Verdichtung und das Integralkriterium. Jeder benötigte Grenzwert wird vom Grenzwertmodul berechnet, das sich selbst numerisch überprüft.

Hängt ein Kriterium von einer Eigenschaft ab, die sich symbolisch nicht beweisen lässt, etwa dass die Glieder ab einem bestimmten Index fallen, prüft der Rechner sie an vielen Indizes und weist deutlich darauf hin. Bringt kein Kriterium eine Entscheidung, nennt er die versuchten Kriterien, statt zu raten. Bei alternierenden Reihen unterscheidet er außerdem absolute von bedingter Konvergenz.

Was bedeutet es, dass eine Reihe konvergiert?

Eine Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ ist die Summe unendlich vieler Glieder. Um ihr einen Sinn zu geben, untersucht man die Partialsummen $S_N = a_1 + a_2 + \cdots + a_N$ . Streben sie für wachsendes $N$ gegen einen endlichen Grenzwert $S$ , konvergiert die Reihe, und ihre Summe ist $S$ . Wachsen sie unbeschränkt oder schwanken sie weiter, divergiert die Reihe.

Konvergenz ist subtil, weil sie davon abhängt, wie schnell die Glieder kleiner werden, und nicht nur davon, dass sie kleiner werden. Die Glieder von $\sum \frac1n$ gehen gegen null, und trotzdem übertreffen die Partialsummen jede Zahl: Die harmonische Reihe divergiert. Die Glieder von $\sum \frac{1}{n^2}$ werden nur ein wenig schneller kleiner, und diese Reihe konvergiert gegen $\frac{\pi^2}{6}$ .

Bei den meisten Reihen lässt sich die Konvergenz entscheiden, ohne die Summe zu berechnen, die oft gar keinen einfachen Ausdruck hat. Geometrische Reihen sind die wichtigste Ausnahme: Sobald der Quotient $|r| < 1$ erfüllt, ist die Summe $\frac{a}{1-r}$ , wobei $a$ das erste Glied ist.

So benutzt du den Konvergenzrechner für Reihen

Schreibe das allgemeine Glied mit n als Index, zum Beispiel 1/n^2, (-1)^(n+1)/n oder 2^n/n!.
Erlaubt sind Fakultäten (n!), Potenzen, Wurzeln, Logarithmen in der Schreibweise log für ln sowie (−1)^n.
Gib den Startindex ein, den ersten Wert von n in der Summe. Standardmäßig ist er 1.
Klicke auf Konvergenz prüfen, um die angewendeten Kriterien, die berechneten Grenzwerte und das Ergebnis zu sehen.
Bei einer geometrischen Reihe liest du die exakte Summe in der letzten Zeile ab.

Formeln

Geometrische Reihe

\sum_{n=0}^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1

Nullfolgenkriterium

\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \;\Rightarrow\; \sum a_n \text{ divergiert}

p-Reihe

\sum \frac{1}{n^p} \text{ konvergiert} \iff p > 1

Quotientenkriterium (d'Alembert)

L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|;\ L < 1 \text{ konvergiert},\ L > 1 \text{ divergiert}

Wurzelkriterium (Cauchy)

L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|};\ L < 1 \text{ konvergiert},\ L > 1 \text{ divergiert}

Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen

b_n \downarrow 0 \;\Rightarrow\; \sum (-1)^n b_n \text{ konvergiert}

Durchgerechnetes Beispiel: p-Reihe Σ 1/n²

Das Rechenbeispiel wird live für die p-Reihe $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ berechnet. Die Glieder gehen gegen 0: Eine Divergenz nach dem Nullfolgenkriterium liegt also nicht vor, und dieses Kriterium bringt keine Entscheidung. Der Rechner schätzt dann, wie schnell die Glieder fallen, und vergleicht sie mit $\frac{1}{n^2}$ ; der Grenzwert des Quotienten ist 1, eine echt positive, endliche Zahl.

Nach dem Grenzwertkriterium verhält sich die Reihe genau wie die p-Reihe mit Exponent $p = 2$ , die konvergiert, weil $p > 1$ ist. Ergebnis: Die Reihe konvergiert. Ihre Summe, $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.645$ , fand Euler im Jahr 1734, aber über die Konvergenz lässt sich entscheiden, ohne sie zu kennen.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}} \ \text{konvergiert} \approx 1.644934067

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Entscheide, ob Σ 1 / n² (n von 1 bis ∞) konvergiert oder divergiert.

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Reihe aufschreiben
Σ a(n) für n = 1, 2, 3, … mit a(n) = 1 / n^2. Erste Glieder: 1, 0.25, 0.111111, 0.0625, …
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{{n}^{2}}$
Nullfolgenkriterium
lim a(n) = 0, daher liefert das Divergenzkriterium keine Entscheidung; die Glieder werden zwar kleiner, aber ein feineres Kriterium ist nötig.
$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{{n}^{2}} = 0$
Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe
Positive Glieder: Die Glieder schrumpfen ungefähr wie 1/n^2 (geschätzt aus a(2N)/a(N)), also Vergleich mit Σ 1/n^2: lim a(n)·n^2 = 1. Der Grenzwert ist eine positive endliche Zahl, also verhält sich die Reihe genau wie die p-Reihe Σ 1/n^2, die konvergiert, weil p > 1.
$\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{1/n^{2}} = 1$
Die Summe numerisch schätzen
Die Partialsummen S_N wurden für mehrere N berechnet und auf N → ∞ extrapoliert (Richardson-Extrapolation; bei alternierenden Gliedern wird zuerst gemittelt). Zwei unabhängige Extrapolationen stimmen besser als 10⁻¹⁰ überein und ergeben S ≈ 1.644934067. Eine angezeigte geschlossene Form ist eine numerische Zuordnung, kein Beweis.

Verwendete Formeln

Nullfolgenkriterium (Divergenzkriterium)
$\lim_{n\to\infty} a_n \ne 0 \Rightarrow \sum a_n \text{ divergiert}$
p-Reihe
$\sum \frac{1}{n^p} \text{ konvergiert} \iff p > 1$

Eine Reihe konvergiert, wenn ihre Partialsummen gegen eine endliche Zahl gehen. Dafür müssen die Glieder gegen 0 gehen, doch das allein reicht nicht (die harmonische Reihe divergiert), deshalb entscheidet ein Vergleichs-, Quotienten-, Wurzel-, Leibniz- oder Integralkriterium.

Probe

Partialsummen (Indiz, kein Beweis): S₁₀ = 1.5497677, S₁₀₀ = 1.6349839, S₁₀₀₀ = 1.6439346, S₁₀₀₀₀ = 1.6448341

Ausführliche Erklärung

Mit den schnellen Kriterien beginnen

Zwei Prüfungen lohnen sich immer zuerst, weil sie schnell gehen. Ist die Reihe geometrisch, entscheidet der Quotient $r$ alles: Sie konvergiert für $|r| < 1$ , und die Summe ergibt sich sofort. Für $\sum_{n=1}^{\infty} 3\left(-\frac23\right)^n$ ist das erste Glied $a = -2$ und $r = -\frac23$ : Die Summe ist also $\frac{-2}{1 + 2/3} = -\frac65$ .

Danach kommt das Nullfolgenkriterium. Gehen die Glieder nicht gegen null, divergiert die Reihe sicher, denn man würde endlos Größen fester Größe addieren. $\sum \frac{n}{n+1}$ divergiert aus diesem Grund, da ihre Glieder gegen 1 gehen. Vorsicht bei der Umkehrung: Dass die Glieder gegen null gehen, garantiert keine Konvergenz, wie die harmonische Reihe zeigt.

Quotientenkriterium und Wurzelkriterium

Das Quotientenkriterium vergleicht jedes Glied mit dem vorherigen. Strebt der Quotient $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ gegen einen Grenzwert $L < 1$ , fallen die Glieder schließlich mindestens so schnell wie die einer konvergenten geometrischen Reihe, und die Reihe konvergiert. Ist $L > 1$ , wachsen die Glieder, und die Reihe divergiert. Bei $L = 1$ ist keine Entscheidung möglich.

Es ist die naheliegende Wahl, wenn Fakultäten und Exponentialterme vorkommen. Für $\sum \frac{2^n}{n!}$ vereinfacht sich der Quotient zu $\frac{2}{n+1}$ , der gegen 0 geht: Die Reihe konvergiert. Das Wurzelkriterium, das auf $\sqrt[n]{|a_n|}$ beruht, ist ähnlich und eignet sich besser, wenn das ganze Glied zur n-ten Potenz erhoben ist. Beide Kriterien liefern bei p-Reihen und bei rationalen Funktionen von $n$ stets $L = 1$ : Dann braucht man andere Werkzeuge.

Vergleich mit p-Reihen

Bei Gliedern, die sich wie eine Potenz von $n$ verhalten, vergleicht man mit $\sum \frac{1}{n^p}$ , die genau dann konvergiert, wenn $p > 1$ ist. Das Grenzwertkriterium besagt: Strebt $\frac{a_n}{b_n}$ gegen eine echt positive, endliche Zahl, verhalten sich beide Reihen gleich. Der Rechner schätzt den passenden Exponenten $p$ , indem er beobachtet, wie sich die Glieder ändern, wenn sich $n$ verdoppelt, und berechnet diesen Grenzwert dann exakt.

So divergiert $\sum \frac{1}{\sqrt{n}}$ im Vergleich mit $\sum \frac1n$ , während $\sum \frac{\sin n}{n^2}$ absolut konvergiert, da aus $|\sin n| \le 1$ folgt, dass ihre Glieder durch $\frac{1}{n^2}$ beschränkt sind.

Logarithmen: Verdichtung und Integralkriterium

Reihen mit Logarithmen wie $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ liegen genau an der Grenze, an der Quotienten- und Wurzelkriterium und auch der einfache Vergleich versagen. Das Cauchy-Verdichtungskriterium löst solche Fälle: Für positive, fallende Glieder konvergiert $\sum a_n$ genau dann, wenn $\sum 2^n a_{2^n}$ konvergiert. Hier hat die verdichtete Reihe Glieder von etwa $\frac{1.4427}{n}$ , ein Vielfaches der harmonischen Reihe: Die ursprüngliche Reihe divergiert also.

Das Integralkriterium kommt zu derselben Art von Ergebnis, indem es die Summe mit $\int f(x)\,dx$ vergleicht, wobei $f(n) = a_n$ positiv und fallend ist. Beide Techniken zeigen, wie langsam eine Reihe divergieren kann: Die Partialsummen von $\sum \frac{1}{n \ln n}$ wachsen wie $\ln(\ln N)$ , was selbst nach einer Milliarde Gliedern noch unter 4 bleibt.

Alternierende Reihen und bedingte Konvergenz

Wechseln die Vorzeichen, helfen die Auslöschungen. Das Leibniz-Kriterium besagt: Fallen die Beträge $b_n$ gegen null, konvergiert die Reihe. Die alternierende harmonische Reihe $1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$ konvergiert auf diese Weise, und zwar gegen $\ln 2$ , obwohl $\sum \frac1n$ divergiert.

Diese Situation heißt bedingte Konvergenz. Konvergiert auch die Reihe der Beträge, wie bei $\sum \frac{(-1)^n}{n^2}$ , ist die Konvergenz absolut, was stärker ist: Die Glieder einer absolut konvergenten Reihe lassen sich umordnen, ohne die Summe zu ändern, die einer bedingt konvergenten Reihe nicht. Der Rechner sagt dir, welcher Fall vorliegt.

Häufige Fehler

Schließen, dass eine Reihe konvergiert, weil ihr allgemeines Glied gegen null geht.
$L = 1$ beim Quotienten- oder Wurzelkriterium für ein Ergebnis halten; es bedeutet, dass keine Entscheidung möglich ist.
Bei einer geometrischen Summe das falsche erste Glied verwenden, wenn der Index bei 1 und nicht bei 0 beginnt.
Das Leibniz-Kriterium anwenden, ohne zu prüfen, dass die Beträge fallen.
Die Konvergenz der Folge $a_n$ mit der Konvergenz der Reihe $\sum a_n$ verwechseln.
In die falsche Richtung vergleichen, etwa eine Reihe nach oben durch eine divergente Reihe abschätzen.

Tipps

Prüfe zuerst das Nullfolgenkriterium; es erledigt viele divergente Reihen sofort.
Denk an das Quotientenkriterium, sobald du Fakultäten oder $c^n$ siehst.
Vergleiche bei rationalen Funktionen von $n$ die Grade: Die Reihe verhält sich wie $\sum \frac{1}{n^{q-p}}$ .
Verwende Verdichtung oder Integralkriterium, wenn Logarithmen vorkommen.
Untersuche bei alternierenden Reihen auch die absolute Konvergenz, um die Art der Konvergenz zu kennen.
Berechne die ersten Partialsummen numerisch, um zu sehen, ob sie sich stabilisieren.

Häufige Fragen

Welches Konvergenzkriterium verwendet der Rechner?

Er probiert sie der Reihe nach: geometrische Reihe, Nullfolgenkriterium, Leibniz-Kriterium und bei positiven Gliedern Quotientenkriterium, Wurzelkriterium, Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe, Cauchy-Verdichtung und Integralkriterium. Angezeigt wird das erste Kriterium, das eine Entscheidung liefert.

Berechnet er die Summe der Reihe?

Er liefert die exakte Summe geometrischer Reihen, zum Beispiel −6/5 für Σ 3(−2/3)ⁿ ab n = 1. Bei anderen Reihen entscheidet er nur über die Konvergenz, weil die meisten konvergenten Reihen keine einfach darstellbare Summe haben.

Warum divergiert die harmonische Reihe, obwohl ihre Glieder gegen null gehen?

Die Glieder werden zu langsam kleiner. Fasst man sie zu 1/2, dann 1/3 + 1/4 > 1/2, dann 1/5 + … + 1/8 > 1/2 und so weiter zusammen, sieht man, dass die Partialsummen immer mindestens 1/2 dazugewinnen: Sie sind also nicht beschränkt.

Was ist der Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz?

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn die Summe der |aₙ| konvergiert. Sie ist bedingt konvergent, wenn sie nur dank der Auslöschung durch wechselnde Vorzeichen konvergiert, wie die alternierende harmonische Reihe.

Wie schreibe ich Fakultäten und wechselnde Vorzeichen?

Schreibe n! für eine Fakultät und (-1)^n oder (-1)^(n+1) für wechselnde Vorzeichen, zum Beispiel (-1)^(n+1)/n oder 2^n/n!. Verwende log(n) für den natürlichen Logarithmus.

Beeinflusst der Startindex die Konvergenz?

Nein. Ein anderer Startpunkt der Summe fügt endlich viele Glieder hinzu oder entfernt sie, was die Summe ändert, aber nie, ob die Reihe konvergiert. Wichtig ist er jedoch bei einer geometrischen Summe und bei Gliedern wie 1/(n ln n), die für kleine Werte von n nicht definiert sind.

Was passiert, wenn kein Kriterium funktioniert?

Der Rechner listet die versuchten Kriterien auf und meldet, dass keines eine Entscheidung gebracht hat. Er rät nie. Schwankende Glieder wie sin(n), deren Grenzwert sich nicht bestimmen lässt, werden ebenfalls deutlich gekennzeichnet.

Was ist eine p-Reihe?

Eine Reihe der Form Σ 1/nᵖ. Sie konvergiert für p > 1 und divergiert für p ≤ 1. Sie ist die übliche Referenz bei Vergleichskriterien, und Σ 1/n mit p = 1 ist die harmonische Reihe.

Warum versagt das Quotientenkriterium bei 1/n²?

Der Quotient n²/(n + 1)² geht gegen 1, den Fall, in dem keine Entscheidung möglich ist. Das gilt für alle p-Reihen; deshalb geht der Rechner bei solchen Gliedern zu den Vergleichskriterien über.

Probier den Konvergenzrechner für Reihen aus

Schreibe das allgemeine Glied einer Reihe und finde heraus, ob sie konvergiert oder divergiert, mit dem entscheidenden Kriterium Schritt für Schritt erklärt.

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