Konvergenzkriterien für Reihen, mit einer Strategie zur Auswahl

Reihen, Partialsummen und Konvergenz

Eine Reihe ist eine Summe aus unendlich vielen Gliedern, $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$, geschrieben $\sum a_n$. Unendlich viele Zahlen kann man nicht direkt addieren: Man addiert daher die ersten $N$ zur Partialsumme $S_N$ und untersucht, was passiert, wenn $N$ wächst. Streben die Partialsummen gegen einen endlichen Grenzwert $S$, konvergiert die Reihe, und ihr Wert ist $S$. Andernfalls divergiert sie.

Unendlich viele positive Zahlen können eine endliche Summe ergeben. Die Reihe $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots$ hat die Partialsummen $0.5$, $0.75$, $0.875$ und so weiter, jede auf halbem Weg zwischen der vorigen und 1: Der Wert ist also genau 1. Stell dir vor, du gehst auf eine Wand zu und jeder Schritt legt die Hälfte der verbleibenden Strecke zurück: Du machst unendlich viele Schritte, legst aber nie mehr als die Anfangsstrecke zurück. Das ganze Thema beruht auf Grenzwerten, angewandt auf die Folge der Partialsummen.

Geometrische Reihen

Bei einer geometrischen Reihe wird immer mit demselben Faktor $r$ multipliziert. Sie gehört zu den wenigen Reihentypen, deren exakten Wert man angeben kann:

Ist $|r| \ge 1$, streben die Glieder nicht gegen null, und die Reihe divergiert. Zum Beispiel hat $3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \cdots$ das Anfangsglied $a = 3$ und den Quotienten $r = \frac{1}{3}$, ihr Wert ist also $\frac{3}{2/3} = 4.5$. Periodische Dezimalzahlen sind verkleidete geometrische Reihen: $0.999\ldots = \frac{9}{10} + \frac{9}{100} + \cdots = \frac{0.9}{1 - 0.1} = 1$.

Das Nullfolgenkriterium

Streben die Glieder $a_n$ nicht gegen 0, divergiert die Reihe (deshalb heißt es auch Divergenzkriterium oder Trivialkriterium). Das sollte immer deine erste Prüfung sein, denn sie dauert nur Sekunden. Zum Beispiel divergiert $\sum\frac{n}{n + 1}$, da ihre Glieder gegen 1 streben: Du addierst unendlich oft fast 1.

Die Umkehrung ist falsch, und das ist das häufigste Missverständnis bei Reihen. Glieder, die gegen null streben, garantieren keine Konvergenz. Die harmonische Reihe $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots$ hat Glieder, die gegen 0 streben, und divergiert trotzdem. Fasse ihre Glieder zusammen: $\frac{1}{3} + \frac{1}{4} > \frac{1}{2}$, die nächsten vier Glieder ergeben mehr als $\frac{1}{2}$, die acht darauffolgenden ebenfalls mehr als $\frac{1}{2}$, und so weiter. Unendlich viele Hälften ergeben eine unbeschränkte Summe. Das Wachstum ist allerdings sehr langsam: Die erste Million Glieder ergibt nur etwa 14,4.

p-Reihen und das Integralkriterium

Eine p-Reihe, auch verallgemeinerte harmonische Reihe genannt, hat die Form $\sum\frac{1}{n^p}$. Ihr Verhalten hängt nur von $p$ ab:

Somit konvergiert $\sum\frac{1}{n^2}$, und ihr Wert ist das berühmte $\frac{\pi^2}{6} \approx 1.6449$, während $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ divergiert. Der Beweis verwendet das Integralkriterium: Ist $f$ positiv, stetig und monoton fallend mit $f(n) = a_n$, dann verhalten sich $\sum a_n$ und $\int_1^{\infty} f(x)\,dx$ gleich, beide konvergieren oder beide divergieren. Da $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x^2} = 1$ endlich und $\int_1^{\infty}\frac{dx}{x}$ unendlich ist, ergeben sich die beiden Schlüsselfälle. Diese uneigentlichen Integrale werden in bestimmtes und unbestimmtes Integral berechnet.

Vergleichskriterien

Vergleichskriterien entscheiden über eine Reihe, indem sie sie mit einer bereits bekannten in Beziehung setzen, meist einer geometrischen Reihe oder einer p-Reihe. Für Reihen mit positiven Gliedern gilt:

• Majoranten- und Minorantenkriterium: Ist $0 \le a_n \le b_n$ und konvergiert $\sum b_n$, dann konvergiert auch $\sum a_n$. Ist $a_n \ge b_n \ge 0$ und divergiert $\sum b_n$, dann divergiert auch $\sum a_n$.
• Grenzwertkriterium: Ist $\lim\frac{a_n}{b_n}$ eine echt positive, endliche Zahl, verhalten sich beide Reihen gleich.

Um die Vergleichsreihe zu wählen, behalte im Zähler und im Nenner nur die höchste Potenz von $n$. Was übrig bleibt, zeigt dir, mit welcher p-Reihe oder geometrischen Reihe du vergleichen solltest.

Quotienten- und Wurzelkriterium

Das Quotientenkriterium, auch Kriterium von d’Alembert genannt, vergleicht jedes Glied mit dem vorherigen. Sei $L = \lim_{n \to \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$. Ist $L < 1$, konvergiert die Reihe absolut; ist $L > 1$, divergiert sie; und ist $L = 1$, liefert das Kriterium keine Entscheidung. Es ist die natürliche Wahl für Reihen mit Fakultäten oder Potenzen wie $2^n$.

Das Wurzelkriterium, auch Kriterium von Cauchy genannt, verwendet $L = \lim\sqrt[n]{|a_n|}$ mit denselben Schlussfolgerungen und eignet sich für Glieder, die mit $n$ potenziert sind. Für $\sum\left(\frac{n}{2n + 1}\right)^n$ ist die $n$-te Wurzel $\frac{n}{2n + 1} \to \frac{1}{2}$, also konvergiert die Reihe.

Alternierende Reihen

Eine alternierende Reihe wechselt bei jedem Glied das Vorzeichen. Das Leibniz-Kriterium besagt: Fallen die Beträge der Glieder monoton und streben sie gegen 0, konvergiert die Reihe. Die alternierende harmonische Reihe $1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots$ konvergiert also, und ihr Wert ist $\ln 2 \approx 0.6931$.

Es gibt noch einen Vorteil: Der Fehler beim Abbrechen nach einem beliebigen Glied ist nicht größer als das erste weggelassene Glied. Bricht man die alternierende harmonische Reihe nach 99 Gliedern ab, erhält man $\ln 2$ also mit einem Fehler kleiner als $\frac{1}{100}$.

Eine Reihe konvergiert absolut, wenn $\sum|a_n|$ konvergiert, und bedingt, wenn sie nur dank des Ausgleichs der Vorzeichen konvergiert. Die alternierende harmonische Reihe konvergiert bedingt, denn ohne die Vorzeichen ist sie die harmonische Reihe, die divergiert. Absolute Konvergenz ist die stärkere Eigenschaft: Eine Umordnung der Glieder einer absolut konvergenten Reihe ändert ihren Wert nie, während man eine bedingt konvergente Reihe so umordnen kann, dass sie jeden beliebigen Wert annimmt.

Eine Strategie zur Wahl des Kriteriums

1. Streben die Glieder gegen 0? Falls nicht, divergiert die Reihe.
2. Ist es eine geometrische Reihe oder eine p-Reihe? Wende die bekannte Regel an.
3. Enthält sie Fakultäten oder Potenzen mit Exponent $n$ wie $3^n$? Verwende das Quotientenkriterium.
4. Ist das ganze Glied mit $n$ potenziert? Verwende das Wurzelkriterium.
5. Ist es ein Bruch rationaler Terme in $n$ oder etwas Ähnliches? Verwende das Grenzwertkriterium mit einer p-Reihe.
6. Wechseln die Vorzeichen? Verwende das Leibniz-Kriterium und prüfe danach die absolute Konvergenz.
7. Ist das Glied eine leicht integrierbare Funktion? Denk an das Integralkriterium.

Der Konvergenzrechner für Reihen wendet diese Kriterien an, gibt an, welches eine Entscheidung liefert, und schätzt den Wert. Potenzreihen, deren Glieder $x$ enthalten, behandelt man genauso: Das Quotientenkriterium liefert einen Konvergenzradius, die Randpunkte untersucht man gesondert, und so erhält man die Intervalle aus unserem Leitfaden zu Taylorreihen.

Teleskopreihen und Übungen

Bei einer Teleskopreihe vereinfachen sich die Partialsummen, weil sich benachbarte Glieder gegenseitig aufheben. Schreibt man $\frac{1}{n(n + 1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}$, sieht man, dass die Partialsumme $S_N$ gleich $1 - \frac{1}{N + 1}$ ist, was gegen 1 strebt. Ein Teleskopmuster zu erkennen, oft mithilfe einer Partialbruchzerlegung, liefert den exakten Wert statt einer bloßen Ja-oder-Nein-Antwort.

Prüfe dein Wissen an diesen Reihen, bevor du die Lösungen liest: $\sum\frac{5}{4^n}$ ist geometrisch mit dem Quotienten ein Viertel und konvergiert; $\sum\frac{n^2}{n^2 + 1}$ divergiert nach dem Nullfolgenkriterium, weil ihre Glieder gegen 1 streben; $\sum\frac{1}{n^{1.01}}$ konvergiert als p-Reihe mit $p > 1$; $\sum\frac{3^n}{n!}$ konvergiert nach dem Quotientenkriterium; und $\sum\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ konvergiert bedingt, da das Leibniz-Kriterium greift, die Reihe der Beträge aber eine divergente p-Reihe ist.

Häufige Fragen