Was ist eine Ableitung? Eine verständliche Einführung

Von der mittleren zur momentanen Änderungsrate

Legt ein Auto 120 km in 2 Stunden zurück, beträgt seine Durchschnittsgeschwindigkeit 60 km pro Stunde. Diese Zahl verrät nichts darüber, was der Tacho in einem bestimmten Moment angezeigt hat: vielleicht 0 an einer roten Ampel oder 100 auf der Autobahn. Die Ableitung ist die mathematische Version der Tachoanzeige: die Änderungsrate in einem Augenblick und nicht über ein Intervall.

Für jede Funktion $f$ ist die mittlere Änderungsrate zwischen $x$ und $x + h$ die Steigung der Geraden durch diese beiden Punkte des Graphen, der sogenannten Sekante. Man nennt diesen Bruch auch Differenzenquotienten:

Um die momentane Rate zu erhalten, lässt man das Intervall schrumpfen. Strebt $h$ gegen 0, dreht sich die Sekante, bis sie zur Tangente wird, der Geraden, die den Graphen im Punkt nur berührt. Der Grenzwert der Sekantensteigungen ist die Ableitung.

Die formale Definition

Die Ableitung von $f$ an der Stelle $x$ ist der Differenzialquotient

sofern dieser Grenzwert existiert. Man sagt dann, $f$ ist an der Stelle $x$ differenzierbar. Man kann im Bruch nicht einfach $h = 0$ setzen, denn dann erhält man $\frac{0}{0}$. Stattdessen formt man algebraisch um, bis das $h$ im Nenner verschwindet, und bildet erst dann den Grenzwert. Sind dir Grenzwerte neu, erklärt unser Leitfaden zu Grenzwerten zuerst die Idee.

Schreibweisen

Mehrere Schreibweisen sind nebeneinander in Gebrauch, und alle bezeichnen dasselbe. Die Lagrange-Notation mit Strich schreibt $f'(x)$. Die Leibniz-Notation schreibt $\frac{dy}{dx}$ oder $\frac{d}{dx}f(x)$, was daran erinnert, dass eine Ableitung ein Quotient kleiner Änderungen ist, und die Kettenregel natürlich erscheinen lässt. In der Physik kennzeichnet man die Ableitung nach der Zeit oft mit einem Punkt, $\dot{x}$.

Zweimaliges Ableiten ergibt die zweite Ableitung, geschrieben $f''(x)$ oder $\frac{d^2y}{dx^2}$. Ist $s(t)$ der Ort, dann ist $s'(t)$ die Geschwindigkeit und $s''(t)$ die Beschleunigung.

Was die Ableitung über einen Graphen verrät

• Wo $f'(x) > 0$ gilt, ist die Funktion monoton steigend.
• Wo $f'(x) < 0$ gilt, ist sie monoton fallend.
• Wo $f'(x) = 0$ gilt, ist die Tangente waagerecht; lokale Maxima und Minima liegen an solchen Stellen (oder dort, wo $f'$ nicht existiert).
• Wo $f''(x) > 0$ gilt, ist der Graph linksgekrümmt (konvex), wie eine Tasse; wo $f''(x) < 0$ gilt, ist er rechtsgekrümmt (konkav).

Die Regeln, die diese Arbeit schnell machen, wie die hier verwendete Potenzregel, findest du unter die Ableitungsregeln erklärt.

Ein Beispiel aus der Physik: ein fallender Stein

Ein aus der Ruhe losgelassener Stein legt nach $t$ Sekunden die Strecke $s(t) = 4.9t^2$ Meter zurück, wenn man den Luftwiderstand vernachlässigt. Zwischen $t = 1$ und $t = 3$ kommt er von 4,9 m auf 44,1 m: Seine Durchschnittsgeschwindigkeit beträgt also $\frac{44.1 - 4.9}{2} = 19.6$ m/s.

Seine Momentangeschwindigkeit ist die Ableitung, $s'(t) = 9.8t$ m/s. Bei $t = 2$ beträgt sie 19,6 m/s, genau der Durchschnitt über das Intervall von 1 bis 3 Sekunden; bei einer quadratischen Funktion ist die mittlere Rate über ein Intervall immer gleich der momentanen Rate in der Intervallmitte. Die zweite Ableitung, $s''(t) = 9.8$ m/s², ist die konstante Fallbeschleunigung.

Einheiten sind ein guter Test für jede Ableitung. Die Ableitung einer Größe in Metern nach der Zeit in Sekunden wird in Metern pro Sekunde gemessen. In der Wirtschaft ist die Ableitung der Gesamtkosten in Euro nach der produzierten Menge die Grenzkosten, in Euro pro Stück.

Wann die Ableitung nicht existiert

Eine Funktion ist an einer Stelle nicht differenzierbar, wenn der Grenzwert des Differenzenquotienten dort nicht existiert. Im Graphen zeigt sich das auf vier Arten:

• Ein Knick, wie bei $|x|$ an der Stelle 0, wo die Steigung links $-1$ und rechts $+1$ beträgt.
• Eine Spitze, wie bei $x^{2/3}$ an der Stelle 0, wo die Steigungen in entgegengesetzte Richtungen unendlich steil werden.
• Eine senkrechte Tangente, wie bei $\sqrt[3]{x}$ an der Stelle 0, wo die Steigung unendlich ist.
• Eine Unstetigkeit, etwa eine Sprungstelle oder ein Loch.

Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit: Existiert $f'(a)$, ist $f$ an der Stelle $a$ stetig. Die Umkehrung ist falsch, wie $|x|$ zeigt: überall stetig, aber mit einem Knick bei 0.

Eine Ableitung numerisch schätzen

Hat man keine Formel, etwa bei Messdaten, kann man die Ableitung mit einer kleinen Schrittweite schätzen. Der zentrale Differenzenquotient ist meist genauer als die einseitige Version:

Für $f(x) = \sin x$ an der Stelle $x = 0$ mit $h = 0.01$ erhält man $\frac{\sin 0.01 - \sin(-0.01)}{0.02} \approx 0.99998$, sehr nahe am exakten Wert $\cos 0 = 1$. Grafikrechner und Tabellenkalkulationen verwenden solche Schätzungen. Der Ableitungsrechner leitet dagegen symbolisch ab und zeigt jede angewandte Regel, und der Grenzwertrechner wertet die Grenzwertdefinition direkt aus.

Wofür man Ableitungen braucht

Jede Frage der Art „wie schnell“ oder „welcher Wert ist der beste“ ist eine Frage nach einer Ableitung. Ingenieure finden die Maße einer Verpackung mit dem geringsten Materialverbrauch, indem sie die Ableitung ihrer Oberfläche gleich null setzen. Ökonomen finden die gewinnmaximierende Produktionsmenge, bei der der Grenzerlös gleich den Grenzkosten ist. Mediziner modellieren, wie sich die Konzentration eines Medikaments im Blut mit der Zeit ändert, und die Ableitung zeigt, wann sie ihren Höchstwert erreicht.

Maschinelles Lernen beruht auf Ableitungen in riesigem Maßstab. Ein Modell zu trainieren heißt, Millionen von Parametern so anzupassen, dass ein Fehlermaß kleiner wird, und die Richtung, in die sich jeder Parameter bewegt, liefert eine Ableitung, in einem Verfahren namens Gradientenabstieg. Die Physik ist fast vollständig in Ableitungen formuliert: Das zweite newtonsche Gesetz besagt, dass die Kraft gleich der Masse mal der zweiten Ableitung des Orts ist.

Ein wenig Geschichte

Isaac Newton und Gottfried Wilhelm Leibniz entwickelten die Differenzialrechnung unabhängig voneinander in der zweiten Hälfte des siebzehnten Jahrhunderts. Newton dachte an Größen, die in der Zeit fließen, während Leibniz mit unendlich kleinen Differenzen arbeitete, und seine Schreibweise $\frac{dy}{dx}$ verwenden die meisten Lehrbücher heute. Die Methoden beider funktionierten hervorragend, stützten sich aber auf vage Vorstellungen von unendlich kleinen Zahlen. Die strenge Definition über Grenzwerte, die dieser Artikel verwendet, entstand im neunzehnten Jahrhundert, vor allem dank Augustin-Louis Cauchy und Karl Weierstraß, und gab dem Gebiet endlich ein solides Fundament.

Häufige Fragen