Grenzwerte in der Analysis: ein praktischer Leitfaden

Die Idee des Grenzwerts

Betrachte $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$. Bei $x = 3$ liefert die Formel $\frac{0}{0}$: $f(3)$ ist nicht definiert. Berechnest du $f$ trotzdem an den Stellen 2,9; 2,99; 3,01 und 3,1, erhältst du 5,9; 5,99; 6,01 und 6,1. Die Ergebnisse nähern sich 6. Man sagt, der Grenzwert von $f(x)$ für $x$ gegen 3 ist 6, und schreibt:

Der Funktionswert an der Stelle selbst hat keinen Einfluss auf den Grenzwert. Es zählt nur, was in der Umgebung passiert. Grafisch ist der Graph von $f$ die Gerade $y = x + 3$ ohne den Punkt $(3, 6)$, und der Grenzwert ist die Höhe dieses Lochs.

Anschaulich bedeutet $\lim_{x \to a} f(x) = L$, dass $f(x)$ beliebig nahe an $L$ herankommt, wenn man $x$ nahe genug an $a$ wählt, jedoch ungleich diesem Wert. Die strenge Fassung dieses Satzes, die Epsilon-Delta-Definition, macht daraus eine beweisbare Aussage.

Methode 1: direktes Einsetzen

Polynome, gebrochenrationale Funktionen, deren Nenner nicht null wird, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen sind auf ihrem Definitionsbereich stetig. Bei einer stetigen Funktion ist der Grenzwert einfach der Funktionswert: Man setzt einfach ein.

Zum Beispiel ist $\lim_{x \to 2}(x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$ und $\lim_{x \to 0}\frac{\cos x}{x + 1} = \frac{1}{1} = 1$. Versuche immer zuerst das Einsetzen. Ergibt sich eine reelle Zahl, bist du fertig. Ergibt sich eine von null verschiedene Zahl geteilt durch null, ist der Grenzwert unendlich oder existiert nicht. Nur $\frac{0}{0}$ und die anderen unbestimmten Ausdrücke dieser Art verlangen mehr Arbeit.

Methode 2: faktorisieren und kürzen

Liefert das Einsetzen in eine gebrochenrationale Funktion $\frac{0}{0}$, haben Zähler und Nenner den gemeinsamen Faktor $(x - a)$. Faktorisiere beide, kürze und setze erneut ein.

Das Kürzen ist erlaubt, weil der Grenzwert den Wert an der Stelle $x = a$ selbst nie verwendet. Die Anleitung zum Faktorisieren stellt die hier benötigten Techniken vor.

Methode 3: mit dem Konjugierten erweitern

Kommt der unbestimmte Ausdruck $\frac{0}{0}$ von einer Quadratwurzel, erweitere Zähler und Nenner mit dem Konjugierten, das die Wurzel dank der dritten binomischen Formel beseitigt.

Einseitige Grenzwerte, und wann ein Grenzwert nicht existiert

Ein einseitiger Grenzwert betrachtet nur Werte von einer Seite: $x \to a^-$ für den linksseitigen und $x \to a^+$ für den rechtsseitigen Grenzwert. Der Grenzwert existiert nur, wenn beide einseitigen Grenzwerte existieren und gleich sind.

Für $f(x) = \frac{|x|}{x}$ liefert jeder positive Wert 1 und jeder negative Wert $-1$. Also ist $\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$ und $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -1$. Sie sind verschieden, also existiert $\lim_{x \to 0} f(x)$ nicht. Abschnittsweise definierte Funktionen sind die häufigste Ursache für dieses Verhalten: Prüfe an der Stelle, an der sich die Definition ändert, immer beide Seiten.

Ein Grenzwert kann auch deshalb nicht existieren, weil die Funktion oszilliert. Für $x \to 0$ schwankt $\sin\frac{1}{x}$ unendlich oft zwischen $-1$ und 1 und pendelt sich bei keinem Wert ein.

Uneigentliche Grenzwerte und Grenzwerte im Unendlichen

Wächst eine Funktion in der Nähe von $a$ über alle Grenzen, schreibt man, der Grenzwert sei $\infty$, wie bei $\lim_{x \to 0}\frac{1}{x^2} = \infty$. Streng genommen existiert der Grenzwert nicht als Zahl, aber die Schreibweise sagt, auf welche Weise er scheitert, und zeigt eine senkrechte Asymptote mit der Gleichung $x = a$ an.

Grenzwerte für $x \to \infty$ beschreiben das Langzeitverhalten und waagerechte Asymptoten. Bei einer gebrochenrationalen Funktion teilst du jeden Term durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner:

Hat der Nenner den höheren Grad, ist der Grenzwert 0; zum Beispiel ist $\lim_{x \to \infty}\frac{2x + 1}{x^2} = 0$. Hat ihn der Zähler, wächst die Funktion über alle Grenzen. Ein berühmter Grenzwert im Unendlichen definiert eine Konstante: $\lim_{n \to \infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \approx 2.71828$.

Grundlegende trigonometrische Grenzwerte und der Einschnürungssatz

Zwei Grenzwerte bilden die Grundlage aller trigonometrischen Ableitungen:

In beiden Fällen liefert das Einsetzen $\frac{0}{0}$, und Algebra allein löst den unbestimmten Ausdruck nicht auf. Numerisch gilt $\frac{\sin 0.1}{0.1} \approx 0.99833$ und $\frac{\sin 0.01}{0.01} \approx 0.99998$, was das Ergebnis nahelegt, und ein geometrisches Argument mit dem Einschnürungssatz beweist es. Der Winkel muss im Bogenmaß angegeben sein.

Der Einschnürungssatz, auch Sandwich-Lemma genannt, besagt: Gilt $g(x) \le f(x) \le h(x)$ in der Nähe von $a$ und streben $g$ und $h$ beide gegen $L$, dann strebt auch $f$ gegen $L$. Zum Beispiel gilt $-x^2 \le x^2\sin\frac{1}{x} \le x^2$, und beide Schranken streben gegen 0, also ist $\lim_{x \to 0} x^2\sin\frac{1}{x} = 0$, obwohl $\sin\frac{1}{x}$ allein keinen Grenzwert hat.

Die Regel von L'Hospital

Hat ein Grenzwert die Form $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ und sind die Funktionen in der Nähe der Stelle differenzierbar, darf man Zähler und Nenner durch ihre Ableitungen ersetzen: $\lim\frac{f}{g} = \lim\frac{f'}{g'}$, sofern der neue Grenzwert existiert.

Leite Zähler und Nenner getrennt ab. Die Regel von L'Hospital ist nicht die Quotientenregel und gilt nur für unbestimmte Ausdrücke.

Grenzwerte, Stetigkeit und Ableitungen

Eine Funktion ist an der Stelle $a$ stetig, wenn $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$: Der Grenzwert existiert, die Funktion ist an dieser Stelle definiert, und beide Werte stimmen überein. Die Ableitung selbst ist ein Grenzwert, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, der immer in der Form $\frac{0}{0}$ beginnt; siehe was eine Ableitung ist. Auch Integrale und die Konvergenz von Reihen werden über Grenzwerte definiert.

Der Grenzwertrechner berechnet einseitige und beidseitige Grenzwerte, auch Grenzwerte im Unendlichen, und gibt die verwendete Methode an. Um einen Grenzwert grafisch zu prüfen, kannst du mit dem Funktionsplotter um die Stelle herum hineinzoomen.

Grenzwertsätze

Grenzwerte vertragen sich gut mit den Rechenoperationen. Existieren $\lim f(x)$ und $\lim g(x)$, ist der Grenzwert der Summe die Summe der Grenzwerte, der Grenzwert des Produkts das Produkt der Grenzwerte und der Grenzwert des Quotienten der Quotient der Grenzwerte, sofern der Grenzwert des Nenners nicht null ist. Konstante Vielfache und Potenzen funktionieren genauso. Diese Regeln erklären, warum direktes Einsetzen bei stetigen Funktionen funktioniert: Ein Polynom ist aus Summen und Produkten von $x$ und Konstanten aufgebaut, und sein Grenzwert setzt sich daher genauso zusammen.

Die Regeln setzen voraus, dass beide Grenzwerte einzeln existieren. Der Grenzwert von $x\sin\frac{1}{x}$ an der Stelle 0 ist 0, aber man erhält ihn nicht durch Multiplizieren von Grenzwerten, denn $\sin\frac{1}{x}$ hat dort keinen Grenzwert. In solchen Fällen muss man auf den Einschnürungssatz zurückgreifen.

Eine Strategie für die meisten Aufgaben

1. Einsetzen. Erhältst du eine reelle Zahl, ist das die Antwort.
2. Von null verschiedene Zahl geteilt durch null: Untersuche das Vorzeichen auf jeder Seite, um zwischen $\infty$, $-\infty$ und einem nicht existierenden Grenzwert zu entscheiden.
3. Null durch null bei Polynomen: faktorisieren und kürzen.
4. Null durch null bei Quadratwurzeln: mit dem Konjugierten erweitern.
5. Null durch null bei trigonometrischen Funktionen: mithilfe von $\frac{\sin x}{x} \to 1$ umschreiben.
6. Grenzwerte im Unendlichen: durch die höchste Potenz im Nenner teilen.
7. Kommt die Algebra nicht weiter, wende die Regel von L'Hospital an oder prüfe numerisch mit Werten von beiden Seiten.

Gelöste Übungen: $\lim_{x \to 2}\frac{x^3 - 8}{x - 2} = 12$, durch Faktorisieren der Differenz zweier Kuben. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin 3x}{x} = 3$, indem man es als $3\cdot\frac{\sin 3x}{3x}$ schreibt. $\lim_{x \to \infty}\frac{4x - 7}{2x + 9} = 2$, indem man alles durch $x$ teilt.

Häufige Fragen