Analysis

Die Ableitungsregeln erklärt, mit durchgerechneten Beispielen

Q: Funktioniert die Potenzregel mit negativen und gebrochenen Exponenten?

Ja. Sie gilt für jeden reellen Exponenten: d/(dx)x^(-1) = -x^(-2) und d/(dx)x^(1/3) = 1/3x^(-2/3). Schreibe Wurzeln und Kehrwerte zuerst in Potenzform um.

Q: Kann man die Quotientenregel umgehen?

Oft ja. Schreibe f/g als f · g^(-1) und verwende Produkt- und Kettenregel, oder vereinfache den Bruch vorher. Beide Wege führen zum selben Ergebnis, auch wenn man es manchmal noch vereinfachen muss, damit es identisch aussieht.

Q: Woran erkennt man, wann die Kettenregel nötig ist?

Immer dann, wenn eine Funktion etwas anderes als x allein enthält: eine Potenz einer Klammer, eine trigonometrische Funktion von 2x, e hoch etwas anderes als x oder den Logarithmus eines Terms. Ist die innere Funktion einfach x, ist ihre Ableitung 1, und die Kettenregel ändert nichts.

Q: Warum ist die Ableitung von e hoch x die Funktion selbst?

Die Zahl e ≈ 2.71828 ist genau die Basis, für die die Steigung von a^x bei x = 0 gleich 1 ist. Dank dieser Eigenschaft zeigt die Grenzwertdefinition, dass die Steigung an jeder Stelle gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

Von MathSolver Pro Editorial Team · Veröffentlicht am 25. Oktober 2026

Ableitungen über die Grenzwertdefinition zu berechnen ist mühsam. Eine kleine Zahl von Regeln, jede ein einziges Mal aus dieser Definition bewiesen, erlaubt es, fast jede Formel in wenigen Zeilen abzuleiten. Dieser Leitfaden stellt jede Regel vor, erklärt, warum sie funktioniert, und zeigt, wie man sie kombiniert.

Warum Regeln statt Grenzwerte

Die Ableitung ist als Grenzwert definiert, $f'(x) = \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ , und der Artikel was eine Ableitung ist wendet diese Definition auf einfache Funktionen an. Das bei jeder Aufgabe zu tun, wäre erschöpfend. Mathematiker haben stattdessen ein für alle Mal allgemeine Regeln bewiesen, die heute Polynome, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen, trigonometrische Funktionen und alle ihre Kombinationen abdecken.

Stell dir diese Regeln als zwei Familien vor: die Ableitungen der Grundfunktionen und die Regeln, mit denen man sie über Summen, Produkte, Quotienten und Verkettungen kombiniert.

Die Grundregeln: Konstanten, Potenzen und Summen

\frac{d}{dx}c = 0, \qquad \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}, \qquad \frac{d}{dx}\big[c f(x)\big] = c f'(x), \qquad \frac{d}{dx}\big[f + g\big] = f' + g'

Eine Konstante ändert sich nie: Ihre Änderungsrate ist null. Die Potenzregel gilt für jeden reellen Exponenten $n$ und nicht nur für positive ganze Zahlen, was sie viel nützlicher macht, als es scheint. Konstante Faktoren bleiben stehen (Faktorregel), und die Ableitung einer Summe ist die Summe der Ableitungen (Summenregel).

Beispiel 1: ein Polynom

Leite $5x^4 - 3x^2 + 7x - 2$ summandenweise ab.
$5 \cdot 4x^3 - 3 \cdot 2x + 7 - 0 = 20x^3 - 6x + 7$ .

Beispiel 2: Wurzeln und Kehrwerte

Schreibe zuerst in Potenzform um: $\frac{4}{x^3} = 4x^{-3}$ und $6\sqrt{x} = 6x^{1/2}$ .
$\frac{d}{dx}4x^{-3} = -12x^{-4} = -\frac{12}{x^4}$ .
$\frac{d}{dx}6x^{1/2} = 3x^{-1/2} = \frac{3}{\sqrt{x}}$ .

Schreibe vor dem Ableiten Wurzeln und Brüche mit $x$ im Nenner als Potenzen. Die meisten Fehler bei der Potenzregel entstehen, wenn man diesen Schritt überspringt.

Exponential-, Logarithmus- und trigonometrische Funktionen

Diese Ableitungen lohnt es sich auswendig zu lernen, denn alle längeren Aufgaben bauen auf ihnen auf:

\frac{d}{dx}e^x = e^x, \qquad \frac{d}{dx}a^x = a^x\ln a, \qquad \frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}, \qquad \frac{d}{dx}\log_a x = \frac{1}{x\ln a}

\frac{d}{dx}\sin x = \cos x, \quad \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x, \quad \frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x

Die Funktion $e^x$ ist ihre eigene Ableitung, was erklärt, warum $e$ in der Analysis überall auftaucht. Die trigonometrischen Regeln verlangen Winkel im Bogenmaß; im Gradmaß kommt ein zusätzlicher Faktor $\frac{\pi}{180}$ hinzu. Die übrigen trigonometrischen Ableitungen sind $\frac{d}{dx}\sec x = \sec x\tan x$ , $\frac{d}{dx}\csc x = -\csc x\cot x$ und $\frac{d}{dx}\cot x = -\csc^2 x$ , und alle folgen aus der weiter unten vorgestellten Quotientenregel.

Die Produktregel

\frac{d}{dx}\big[f(x)g(x)\big] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

Die Ableitung eines Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Um zu verstehen, warum, stell dir ein Rechteck mit den Seiten $f$ und $g$ vor. Wachsen beide Seiten ein wenig, gewinnt die Fläche einen Streifen der Größe $f' \cdot g$ entlang der einen Seite und einen der Größe $f \cdot g'$ entlang der anderen, dazu ein winziges Eckstück, das im Grenzwert verschwindet.

Beispiel 3: $y = x^2\sin x$

Setze $f = x^2$ und $g = \sin x$ , sodass $f' = 2x$ und $g' = \cos x$ .
$y' = 2x\sin x + x^2\cos x$ .
Bei $x = \pi$ : $y' = 2\pi \cdot 0 + \pi^2(-1) = -\pi^2$ .

Die Quotientenregel

\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}

Hier kommt es wegen der Subtraktion auf die Reihenfolge an. Eine verbreitete Merkhilfe lautet „NAZ minus ZAN durch N-Quadrat“: Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners, alles geteilt durch das Quadrat des Nenners.

Beispiel 4: $y = \frac{x^2 + 1}{x - 1}$

$f = x^2 + 1$ , $f' = 2x$ ; $g = x - 1$ , $g' = 1$ .
$y' = \frac{2x(x - 1) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 1)^2}$ .
Vereinfache den Zähler: $2x^2 - 2x - x^2 - 1 = x^2 - 2x - 1$ , also $y' = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x - 1)^2}$ .

Auf $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ angewandt, liefert sie $\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ , was die obige Tabelle bestätigt.

Die Kettenregel

Die Kettenregel liefert die Ableitung einer verketteten Funktion, also von Funktionen, die ineinander geschachtelt sind. Ist $y = f(g(x))$ , dann gilt:

\frac{dy}{dx} = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x)

In Worten: äußere Ableitung mal innere Ableitung. Leite die äußere Funktion ab und lass die innere unverändert, dann multipliziere mit der Ableitung der inneren. In Leibniz-Notation mit $u = g(x)$ schreibt man $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}$ . Die Raten multiplizieren sich: Ändert sich $u$ 3-mal so schnell wie $x$ und $y$ 2-mal so schnell wie $u$ , dann ändert sich $y$ 6-mal so schnell wie $x$ . Innere und äußere Funktion zu erkennen ist die Fähigkeit, die man bei der Verkettung von Funktionen übt.

Beispiel 5: vier Ableitungen verketteter Funktionen

$\frac{d}{dx}(3x^2 + 1)^5 = 5(3x^2 + 1)^4 \cdot 6x = 30x(3x^2 + 1)^4$ .
$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x$ .
$\frac{d}{dx}e^{-2x} = -2e^{-2x}$ .
$\frac{d}{dx}\ln(x^2 + 4) = \frac{2x}{x^2 + 4}$ .

Die Regeln kombinieren

Echte Aufgaben mischen die Regeln. Arbeite dich von außen nach innen vor: Bestimme die letzte Rechenoperation des Terms, wende ihre Regel an und kümmere dich dann um jedes Teilstück.

Beispiel 6: $y = xe^{3x}$

Die äußerste Operation ist ein Produkt: Verwende die Produktregel.
Die Ableitung von $e^{3x}$ verlangt die Kettenregel: $3e^{3x}$ .
$y' = 1 \cdot e^{3x} + x \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(1 + 3x)$ .

Beispiel 7: logarithmisches Ableiten von $y = x^x$

Weder die Potenzregel noch die Regel für Exponentialfunktionen passt, weil Basis und Exponent beide variabel sind.
Logarithmiere: $\ln y = x\ln x$ .
Leite beide Seiten ab, links mit der Kettenregel: $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$ .
Also ist $y' = x^x(\ln x + 1)$ für $x > 0$ .

Lässt sich $y$ nicht freistellen, wie bei $x^2 + y^2 = 25$ , funktioniert die Kettenregel dank des impliziten Differenzierens trotzdem.

Häufige Fehler

Bei einer verketteten Funktion die innere Ableitung vergessen, etwa $\cos(x^2)$ als Ableitung von $\sin(x^2)$ schreiben.
Bei einem Produkt die Ableitungen multiplizieren, statt die Produktregel zu verwenden.
Im Zähler der Quotientenregel die Reihenfolge vertauschen, wodurch sich das Vorzeichen umkehrt.
Die Potenzregel auf $e^x$ oder $2^x$ anwenden; das sind Exponentialfunktionen, keine Potenzfunktionen.
Bei trigonometrischen Ableitungen mit Gradmaß rechnen.

Zur Kontrolle eines Ergebnisses zeigt der Ableitungsrechner, welche Regel er in jedem Schritt anwendet, und mit dem Funktionsplotter kannst du die Steigung einer Kurve mit den Werten ihrer Ableitung vergleichen.

Arkusfunktionen

Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen, die Arkusfunktionen, haben algebraische Ableitungen, was viele beim ersten Mal überrascht. Man erhält sie durch implizites Ableiten der Umkehrbeziehung; ist zum Beispiel $y = \arcsin x$ , dann gilt $\sin y = x$ , und Ableiten beider Seiten ergibt $\cos y \cdot y' = 1$ . Da auf dem Wertebereich des Arkussinus $\cos y = \sqrt{1 - x^2}$ gilt, folgt das Ergebnis:

\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}, \qquad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1 + x^2}

Diese beiden Ergebnisse sind für die Integration wichtiger als für das Ableiten, denn sie erklären, warum bei Integralen wie $\int \frac{dx}{1 + x^2}$ ein Arkustangens auftaucht.

Höhere Ableitungen

Leitet man eine Ableitung ab, erhält man die zweite Ableitung, und es gelten stets dieselben Regeln. Für $y = x^4$ lauten die Ableitungen $4x^3$ , dann $12x^2$ , dann $24x$ , dann 24, und alle weiteren sind 0. Ein Polynom vom Grad $n$ verschwindet immer nach $n + 1$ Ableitungen.

Sinus und Kosinus bilden dagegen einen Kreislauf: Die Ableitungen von $\sin x$ sind $\cos x$ , $-\sin x$ , $-\cos x$ und wieder $\sin x$ , und das wiederholt sich alle vier Schritte. Die Exponentialfunktion $e^x$ ändert sich nie. Diese Regelmäßigkeiten sind der Ausgangspunkt der Taylorreihen, die eine Funktion mithilfe all ihrer Ableitungen an einer einzigen Stelle annähern.

Gelöste Übungsaufgaben

Versuche jede Aufgabe, bevor du die Lösung liest. Bestimme zuerst die äußerste Regel.

$\frac{d}{dx}\left(2x^3 - \frac{1}{x}\right)$ . Lösung: $6x^2 + \frac{1}{x^2}$ .
$\frac{d}{dx}\left(x^3 e^x\right)$ . Lösung: $x^2e^x(3 + x)$ , mit der Produktregel.
$\frac{d}{dx}\cos(5x + 1)$ . Lösung: $-5\sin(5x + 1)$ , mit der Kettenregel.
$\frac{d}{dx}\frac{\ln x}{x}$ . Lösung: $\frac{1 - \ln x}{x^2}$ , mit der Quotientenregel.
$\frac{d}{dx}\sqrt{1 + x^2}$ . Lösung: $\frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}$ , mit der Kettenregel und dem Exponenten $\frac{1}{2}$ .

Die Regeln in der Praxis: voneinander abhängige Änderungsraten

Die Kettenregel macht Aufgaben zu verknüpften Änderungsraten erst möglich. Angenommen, eine kreisförmige Welle breitet sich auf einem See so aus, dass ihr Radius um 2 cm pro Sekunde wächst. Die Fläche ist $A = \pi r^2$ , und Ableiten nach der Zeit ergibt $\frac{dA}{dt} = 2\pi r\frac{dr}{dt}$ . Beträgt der Radius 10 cm, wächst die Fläche mit der Rate $2\pi(10)(2) = 40\pi \approx 125.7$ Quadratzentimeter pro Sekunde.

Dieselbe Idee beantwortet Fragen zu einer Leiter, die an einer Wand abrutscht, einem Ballon, der aufgeblasen wird, oder dem Schatten einer Person, die sich von einer Laterne entfernt. Jedes Mal stellt man eine Gleichung auf, die die Größen verbindet, leitet jeden Term mit der Kettenregel nach der Zeit ab und setzt erst danach die Werte des betrachteten Zeitpunkts ein. Vor dem Ableiten einzusetzen ist ein klassischer Fehler, denn dadurch werden veränderliche Größen zu Konstanten.

Häufige Fragen

Funktioniert die Potenzregel mit negativen und gebrochenen Exponenten?

Ja. Sie gilt für jeden reellen Exponenten: $\frac{d}{dx}x^{-1} = -x^{-2}$ und $\frac{d}{dx}x^{1/3} = \frac{1}{3}x^{-2/3}$ . Schreibe Wurzeln und Kehrwerte zuerst in Potenzform um.

Kann man die Quotientenregel umgehen?

Oft ja. Schreibe $\frac{f}{g}$ als $f \cdot g^{-1}$ und verwende Produkt- und Kettenregel, oder vereinfache den Bruch vorher. Beide Wege führen zum selben Ergebnis, auch wenn man es manchmal noch vereinfachen muss, damit es identisch aussieht.

Woran erkennt man, wann die Kettenregel nötig ist?

Immer dann, wenn eine Funktion etwas anderes als $x$ allein enthält: eine Potenz einer Klammer, eine trigonometrische Funktion von $2x$ , $e$ hoch etwas anderes als $x$ oder den Logarithmus eines Terms. Ist die innere Funktion einfach $x$ , ist ihre Ableitung 1, und die Kettenregel ändert nichts.

Warum ist die Ableitung von e hoch x die Funktion selbst?

Die Zahl $e \approx 2.71828$ ist genau die Basis, für die die Steigung von $a^x$ bei $x = 0$ gleich 1 ist. Dank dieser Eigenschaft zeigt die Grenzwertdefinition, dass die Steigung an jeder Stelle gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

In welcher Reihenfolge wendet man die Ableitungsregeln an?

Beginne mit der letzten Operation, die du beim Ausrechnen des Terms für eine Zahl ausführen würdest. Ist es eine Multiplikation, nimm die Produktregel; wird eine Funktion auf eine Klammer angewandt, nimm die Kettenregel. Stelle dann für jedes Teilstück dieselbe Frage und arbeite dich nach innen vor.

MathSolver Pro Editorial Team

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