Implizites Differenzieren, Schritt für Schritt

Explizite und implizite Gleichungen

Eine explizite Gleichung gibt $y$ direkt als Formel in $x$ an, etwa $y = x^2 + 1$. Viele wichtige Kurven werden jedoch implizit beschrieben, durch eine Gleichung, die $x$ und $y$ verknüpft. Der Kreis $x^2 + y^2 = 25$ ist ein bekanntes Beispiel. Stellt man nach $y$ um, erhält man zwei Funktionen, $y = \sqrt{25 - x^2}$ für die obere Hälfte und $y = -\sqrt{25 - x^2}$ für die untere, und jede einzeln abzuleiten ist mühsam.

Bei anderen Kurven lässt sich $y$ mit elementaren Umformungen gar nicht freistellen, etwa bei $x^3 + y^3 = 6xy$ oder $e^y + xy = e$. Trotzdem haben ihre Graphen fast überall eine Tangente, und implizites Differenzieren ist das Werkzeug, mit dem man diese Steigungen findet. Die Methode beruht vollständig auf der Kettenregel: Wiederhole die Ableitungsregeln erklärt, falls dir diese Regel noch nicht ganz klar ist.

Die Methode in vier Schritten

1. Leite beide Seiten der Gleichung nach $x$ ab.
2. Multipliziere immer, wenn du einen Term mit $y$ ableitest, mit $\frac{dy}{dx}$, denn $y$ ist eine Funktion von $x$, und die Kettenregel greift.
3. Bring alle Terme mit $\frac{dy}{dx}$ auf eine Seite und alles andere auf die andere.
4. Klammere $\frac{dy}{dx}$ aus und dividiere, um es freizustellen.

Der Kern von Schritt 2 ist diese Identität aus der Kettenregel, wobei $f$ eine beliebige differenzierbare Funktion ist:

Also gilt $\frac{d}{dx}y^2 = 2y\frac{dy}{dx}$, $\frac{d}{dx}\sin y = \cos y\,\frac{dy}{dx}$ und $\frac{d}{dx}e^y = e^y\frac{dy}{dx}$. Produkte wie $xy$ verlangen zusätzlich die Produktregel: $\frac{d}{dx}(xy) = y + x\frac{dy}{dx}$.

Beispiel: der Kreis

Beachte, dass das implizite Ergebnis für beide Hälften zugleich gilt: In $(3, -4)$ beträgt die Steigung $+\frac{3}{4}$. Die Formel zeigt auch, wo die Tangenten waagerecht sind, nämlich für $x = 0$, in $(0, 5)$ und $(0, -5)$, und wo sie senkrecht sind, für $y = 0$, in $(5, 0)$ und $(-5, 0)$. Das Ergebnis enthält neben $x$ auch $y$, was bei einer impliziten Ableitung normal ist: Um eine Zahl zu erhalten, braucht man einen Punkt der Kurve und nicht nur einen $x$-Wert.

Beispiele, bei denen sich y nicht freistellen lässt

Zweite Ableitungen

Um $\frac{d^2y}{dx^2}$ zu erhalten, leite die erste Ableitung noch einmal implizit ab und setze dann die erste Ableitung darin ein. Für den Kreis gehst du von $y' = -\frac{x}{y}$ aus und wendest die Quotientenregel an:

Der letzte Schritt vereinfacht mit der ursprünglichen Gleichung $x^2 + y^2 = 25$, ein Trick, der oft hilft. Das Ergebnis ist auf der oberen Hälfte, wo $y > 0$ gilt, negativ, die Kurve ist dort also rechtsgekrümmt, und auf der unteren Hälfte positiv, wo sie linksgekrümmt ist, was zur Form eines Kreises passt.

Ableitungen von Umkehrfunktionen

Implizites Differenzieren erklärt, woher die Ableitungen der Umkehrfunktionen kommen. Sei $y = \arctan x$. Dann gilt $\tan y = x$. Ableiten ergibt $\sec^2 y\,\frac{dy}{dx} = 1$, also $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sec^2 y} = \frac{1}{1 + \tan^2 y} = \frac{1}{1 + x^2}$.

Dasselbe Vorgehen mit $y = \ln x$, umgeschrieben als $e^y = x$, ergibt $e^y\frac{dy}{dx} = 1$, sodass $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y} = \frac{1}{x}$. Allgemein ist die Steigung einer Umkehrfunktion der Kehrwert der Steigung der ursprünglichen Funktion im zugehörigen Punkt, wie unser Artikel über Umkehrfunktionen erklärt.

Verknüpfte Änderungsraten

Hängen die Variablen von der Zeit ab, funktioniert dieselbe Idee, wenn man nach $t$ statt nach $x$ ableitet. Jede Variable hat ihre eigene Änderungsrate.

Häufige Fehler

• Den Faktor $\frac{dy}{dx}$ vergessen, wenn man einen Term mit $y$ ableitet.
• $xy$ als eine einzige Variable behandeln, statt die Produktregel anzuwenden.
• Die Konstante auf der rechten Seite ableiten, als wäre sie variabel; eine Konstante hat die Ableitung 0.
• Zahlen vor dem Ableiten einsetzen, wodurch veränderliche Größen eingefroren werden.
• Einen Punkt verwenden, der gar nicht auf der Kurve liegt. Prüfe den Punkt immer zuerst.

Der Rechner für implizites Differenzieren führt alle Schritte aus, fasst die Terme mit der Ableitung zusammen und kann die Steigung in einem Punkt berechnen. Für explizite Funktionen verwende den Ableitungsrechner.

Warum die Methode funktioniert

Implizites Differenzieren setzt voraus, dass die Kurve in der Nähe des betrachteten Punkts tatsächlich der Graph einer differenzierbaren Funktion $y(x)$ ist, auch wenn man sie nicht hinschreiben kann. Setzt man sie in die Gleichung ein, wird diese zu einer Identität in $x$, die für alle $x$ nahe dem Punkt gilt. Zwei Terme, die für alle $x$ gleich sind, haben gleiche Ableitungen: Deshalb darf man beide Seiten ableiten.

Die Voraussetzung versagt nur in besonderen Punkten, etwa dort, wo die Tangente senkrecht ist oder die Kurve sich selbst schneidet. Das kartesische Blatt schneidet sich im Ursprung, und die Ableitungsformel liefert dort $\frac{0}{0}$. In solchen Punkten ist die Kurve lokal nicht der Graph einer einzigen Funktion und hat daher keine eindeutige Steigung. Der Satz über implizite Funktionen, der in der Analysis mehrerer Veränderlicher behandelt wird, sagt genau, wann die Voraussetzung sicher erfüllt ist.

Eine Abkürzung mit partiellen Ableitungen

Lässt sich die Kurve als $F(x, y) = 0$ schreiben, gibt es eine kompakte Formel für die Steigung, die aus derselben Überlegung folgt:

Dabei sind $F_x$ und $F_y$ partielle Ableitungen, die man erhält, indem man nach einer Variablen ableitet und die andere als Konstante behandelt. Für den Kreis liefert $F = x^2 + y^2 - 25$ die Werte $F_x = 2x$ und $F_y = 2y$, die Steigung ist also wie zuvor $-\frac{x}{y}$. Der Rechner für partielle Ableitungen berechnet $F_x$ und $F_y$ für dich.

Gelöste Übungsaufgaben

1. $x^2 - y^2 = 9$. Lösung: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$.
2. $xy = 12$, Steigung in $(3, 4)$. Lösung: $\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$, dort gleich $-\frac{4}{3}$.
3. $y^3 + y = x$. Lösung: $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3y^2 + 1}$, immer positiv, die Kurve ist also überall monoton steigend.
4. $\cos y = x$. Lösung: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin y}$, was zur Ableitung des Arkuskosinus führt.

Prüfe dein Ergebnis jeweils, indem du einen Punkt der Kurve wählst, die Steigung mithilfe eines benachbarten Punkts numerisch schätzt und vergleichst.

Wo implizite Kurven vorkommen

Implizite Gleichungen sind in der Praxis häufig. Kegelschnitte wie Ellipsen und Hyperbeln schreibt man ganz natürlich in impliziter Form. In der Wirtschaft verknüpft eine Indifferenzkurve Mengen zweier Güter, die dem Verbraucher denselben Nutzen stiften, und ihre implizit bestimmte Steigung ist die Grenzrate der Substitution, also die Rate, zu der er ein Gut gegen das andere tauschen würde. In der Thermodynamik verknüpfen Zustandsgleichungen Druck, Volumen und Temperatur, und implizites Differenzieren zeigt, wie sich eine Größe ändert, wenn man eine andere verändert. Immer wenn zwei Größen durch eine Beziehung statt durch eine Formel verbunden sind, liefert diese Methode die Änderungsrate zwischen ihnen.

Häufige Fragen