Rechner für partielle Ableitungen

Über den Rechner für partielle Ableitungen

Die meisten Größen in Naturwissenschaften und Wirtschaft hängen von mehr als einer Variablen ab. Das Volumen eines Zylinders hängt von Radius und Höhe ab, der Gewinn eines Unternehmens von Preis und Werbeausgaben, und die Temperatur in einem Raum von allen drei Koordinaten. Eine partielle Ableitung beantwortet eine genaue Frage zu einer solchen Funktion: Wie schnell ändert sich das Ergebnis, wenn sich nur eine Variable ändert und alle anderen festgehalten werden?

Dieser Rechner bestimmt diese Änderungsraten exakt. Schreibe eine Funktion wie $x^2 y + \sin(xy)$ , wähle die Variable, und der Rechner leitet Summand für Summand mit Summen-, Faktor-, Potenz-, Produkt- und Kettenregel ab, wobei er jeden anderen Buchstaben als Konstante behandelt. Jede Regel erscheint als eigener Schritt: So siehst du, warum $y$ vor $\cos(xy)$ stehen bleibt und warum ein Term wie $4y$ beim Ableiten nach $x$ verschwindet.

Höhere Ableitungen funktionieren genauso. Gib xx für die zweite partielle Ableitung nach $x$ ein oder xy für die gemischte Ableitung, die zuerst nach $x$ und dann nach $y$ ableitet. Ergänze eine Stelle wie x = 1, y = 2, um das Ergebnis dort auszuwerten. Jedes Ergebnis wird unabhängig geprüft, bevor es angezeigt wird.

Was ist eine partielle Ableitung?

Für eine Funktion $f(x, y)$ ist die partielle Ableitung nach $x$ , geschrieben $\frac{\partial f}{\partial x}$ oder $f_x$ , die gewöhnliche Ableitung, die man erhält, wenn man $y$ wie eine feste Zahl behandelt. Formal gilt $f_x(x, y) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}$ . Das runde Symbol $\partial$ zeigt an, dass es weitere Variablen gibt und dass sie konstant gehalten werden.

Geometrisch ist der Graph von $f(x, y)$ eine Fläche. Schneidet man sie mit der Ebene $y =$ konstant, entsteht eine Kurve, und $f_x$ ist die Steigung dieser Kurve. Ebenso ist $f_y$ die Steigung des Schnitts in $y$ -Richtung. Zusammen bilden die ersten partiellen Ableitungen den Gradienten $\nabla f = \langle f_x, f_y \rangle$ , der in die Richtung des stärksten Anstiegs zeigt.

Partielle Ableitungen tauchen in der Optimierung auf (kritische Punkte sind die Stellen, an denen alle ersten partiellen Ableitungen null sind), in der Physik (Wärmeleitungs-, Wellen- und Laplace-Gleichung werden mit ihnen geschrieben), in der Wirtschaft (Grenzkosten und Grenznutzen) und im maschinellen Lernen, wo Gradienten das Training jedes neuronalen Netzes steuern.

So benutzt du den Rechner für partielle Ableitungen

Schreibe die Funktion mit beliebigen Buchstaben als Variablen, zum Beispiel x^2 y + sin(x y) oder x^3 y^2 + 4y. Ein Leerzeichen oder ein * zwischen Buchstaben bedeutet Multiplikation.
Gib im zweiten Feld die Variable ein, nach der du ableiten willst, etwa x oder y.
Für höhere Ordnungen schreibe einen Buchstaben pro Ableitung, der Reihe nach: xx für f_xx, xy für f_xy (zuerst x, dann y), yyx und so weiter.
Gib auf Wunsch jeder Variablen einen Wert, etwa x = 1, y = 2, um die Ableitung an dieser Stelle auszuwerten.
Klicke auf Ableiten und verfolge die Schritte, jeweils mit der verwendeten Regel.

Formeln

Definition

f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,\,y) - f(x,\,y)}{h}

Schreibweise gemischter Ableitungen

f_{xy} = \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}

Satz von Schwarz (Clairaut)

f_{xy} = f_{yx}\quad\text{wenn beide stetig sind}

Gradientenvektor

\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle

Kettenregel bei einer partiellen Ableitung

\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot y

Durchgerechnetes Beispiel: ∂/∂x von x²y + sin(xy)

Das Rechenbeispiel wird live für $f(x, y) = x^2 y + \sin(xy)$ berechnet, abgeleitet nach $x$ . Mit konstantem $y$ ist der erste Summand eine Konstante mal $x^2$ : Er wird also zu $2xy$ . Der zweite Summand braucht die Kettenregel: Die Ableitung von $\sin u$ ist $\cos u$ mal $\frac{\partial u}{\partial x}$ , und für $u = xy$ ist diese innere Ableitung $y$ .

Addiert man die Teile, erhält man $2xy + y\cos(xy)$ , was der Rechner zu $f_x = y(2x + \cos(xy))$ ausklammert. Beachte, dass $y$ nie abgeleitet wird; es verhält sich genau so, wie sich die Zahl 5 an derselben Stelle verhalten würde.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\frac{\partial f}{\partial x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Bestimme die erste partielle Ableitung f_x von f(x, y).

\frac{\partial f}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right]

Lösungsweg Schritt für Schritt

Funktion und Reihenfolge der Ableitungen bestimmen
Nach x ableiten; jede andere Variable (y) wird konstant gehalten.
$f = {x}^{2} y+\sin\left( x y\right)$
Summenregel: jeden Summanden einzeln ableiten
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y+\sin\left( x y\right)\right] = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$
Kettenregel — d/dx[sin u] = cos u · u′
$\frac{\partial}{\partial x}\left[\sin\left( x y\right)\right] = \cos\left( x y\right) y$
Faktorregel
$\frac{\partial}{\partial x}\left[ x y\right] = y$
Faktorregel
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2} y\right] = 2y x$
Potenzregel: d/dx[xⁿ] = n·xⁿ⁻¹
$\frac{\partial}{\partial x}\left[{x}^{2}\right] = 2x$
Vereinfachen: f_x
$f_{x} = y \left(2x+\cos\left( x y\right)\right)$

Verwendete Formeln

Definition
$f_x(x,y) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y) - f(x,y)}{h}$
Gemischte partielle Ableitungen (Satz von Schwarz)
$f_{xy} = f_{yx}\ \text{wenn beide stetig sind}$

Eine partielle Ableitung misst, wie sich f ändert, wenn sich nur eine Variable bewegt: Die übrigen Variablen werden genau wie Zahlen behandelt, daher gelten die üblichen Ableitungsregeln.

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Ausführliche Erklärung

Die anderen Variablen konstant halten

Die einzige Idee hinter jeder partiellen Ableitung ist, dass die Variablen, nach denen nicht abgeleitet wird, eingefroren sind. Fällt dir das schwer, ersetze sie zuerst durch eine konkrete Zahl. $x^3 y^2 + 4y$ nach $y$ abzuleiten entspricht für $x = 2$ dem Ableiten von $8y^2 + 4y$ : Das Ergebnis hat die Form $2 \cdot 8y + 4$ , und setzt man wieder $x^3$ für 8 ein, erhält man $f_y = 2x^3 y + 4$ .

Das erklärt auch, welche Terme verschwinden. Ein Term, der nur eingefrorene Variablen enthält, ist eine Konstante: Seine partielle Ableitung ist also null. Bei $f = x^2 + 3xy$ ignoriert die partielle Ableitung nach $y$ den Term $x^2$ vollständig und liefert $f_y = 3x$ .

Die bekannten Regeln gelten weiter

Partielles Ableiten verwendet genau dieselben Regeln wie die Analysis einer Variablen: Potenz-, Summen-, Faktor-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel. Nur die Buchführung ändert sich. Ein Produkt aus zwei Faktoren, die $x$ enthalten, braucht beim Ableiten nach $x$ die Produktregel; enthält ein Faktor aber nur $y$ , ist er einfach ein konstanter Faktor.

Bei der Kettenregel passieren die meisten Fehler. Wird eine Funktion auf einen Term mit mehreren Variablen angewendet, wie bei $e^{xy}$ oder $\ln(x^2 + y^2)$ , ist auch die innere Ableitung eine partielle Ableitung. So gilt $\frac{\partial}{\partial x} e^{xy} = y e^{xy}$ und $\frac{\partial}{\partial y} \ln(x^2 + y^2) = \frac{2y}{x^2 + y^2}$ .

Zweite partielle Ableitungen und gemischte Ableitungen

Leitet man eine partielle Ableitung noch einmal ab, erhält man eine zweite partielle Ableitung. Eine Funktion zweier Variablen hat vier davon: $f_{xx}$ , $f_{yy}$ und die gemischten Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ . Die Indizes liest man von links nach rechts: $f_{xy}$ bedeutet, zuerst nach $x$ und dann nach $y$ abzuleiten. Die Bruchschreibweise $\frac{\partial^2 f}{\partial y\,\partial x}$ liest man von rechts nach links; sie beschreibt dasselbe.

Für $f = x^2 y^3$ ergibt Ableiten nach $x$ zunächst $2xy^3$ und anschließendes Ableiten nach $y$ dann $f_{xy} = 6xy^2$ , was im Punkt $(1, 2)$ den Wert 24 hat. In der anderen Reihenfolge erhält man $3x^2y^2$ und danach wieder $6xy^2$ . Diese Übereinstimmung ist der Satz von Schwarz, auch Satz von Clairaut genannt: Bei Funktionen mit stetigen zweiten partiellen Ableitungen spielt die Reihenfolge der gemischten Ableitung keine Rolle. Der Rechner zeigt das als Kontrolle, wann immer er eine gemischte Ableitung berechnet.

Zweite partielle Ableitungen haben ganz konkrete Anwendungen. Beim Test mit der zweiten Ableitung für einen kritischen Punkt von $f(x, y)$ entscheidet die Größe $D = f_{xx} f_{yy} - f_{xy}^2$ , die Hesse-Determinante, ob der Punkt ein lokales Maximum, ein lokales Minimum oder ein Sattelpunkt ist.

An einer Stelle auswerten und die Zahl deuten

Eine partielle Ableitung ist selbst eine Funktion aller Variablen: Ihr Wert hängt also davon ab, wo man sich befindet. Für $f = x^2 + 3xy$ hat die Ableitung $f_x = 2x + 3y$ an der Stelle $(1, 2)$ den Wert 8. Das heißt: In der Nähe dieses Punkts erhöht eine kleine Vergrößerung von $x$ um $\Delta x$ bei festem $y = 2$ den Wert von $f$ um ungefähr $8\,\Delta x$ .

Einheiten machen die Deutung greifbar. Ist $V(r, h) = \pi r^2 h$ das Volumen eines Zylinders in Kubikzentimetern, dann wird $V_r = 2\pi r h$ in Kubikzentimetern pro Zentimeter Radius gemessen und gibt an, wie empfindlich das Volumen bei fester Höhe auf eine Änderung des Radius reagiert.

Häufige Fehler

Die konstant gehaltene Variable ebenfalls ableiten, etwa $\frac{\partial}{\partial x}(x^2 y) = 2xy + x^2$ schreiben.
Einen Term wie $4y$ beim Ableiten nach $x$ stehen lassen; er ist eine Konstante und ergibt 0.
Bei der Kettenregel die innere partielle Ableitung vergessen, etwa $\cos(xy)$ für $\frac{\partial}{\partial x}\sin(xy)$ schreiben.
$f_{xy}$ in der falschen Reihenfolge lesen; die Reihenfolge der Indizes ist die Reihenfolge des Ableitens.
$\frac{\partial f}{\partial x}$ mit der totalen Ableitung $\frac{df}{dx}$ verwechseln, wenn $y$ selbst von $x$ abhängt.

Tipps

Ersetze die eingefrorenen Variablen in Gedanken durch Zahlen, wenn du nicht mehr weißt, was konstant ist.
Ziehe Konstanten vor dem Ableiten heraus; beim Ableiten nach $x$ ist $x^2 y^3$ einfach $y^3$ mal $x^2$ .
Nutze den Satz von Schwarz als kostenlose Kontrolle: Berechne $f_{xy}$ und $f_{yx}$ und vergleiche.
Schreibe $\nabla f$ auf, sobald du beide ersten partiellen Ableitungen hast; die meisten Anwendungen brauchen den vollständigen Gradienten.
Vereinfache die erste Ableitung, bevor du die zweite berechnest, damit die Terme überschaubar bleiben.
Achte auf das Vorzeichen einer partiellen Ableitung an einer Stelle, um zu sehen, ob die Funktion in dieser Richtung steigt oder fällt.

Häufige Fragen

Wie schreibe ich eine Funktion zweier Variablen?

Verwende Buchstaben für die Variablen und ein Leerzeichen oder ein * für die Multiplikation, zum Beispiel x^2 y + sin(x y) oder x^2*y + sin(x*y). Jeder Buchstabe, der kein Funktionsname wie sin oder log ist, wird als Variable behandelt.

Wie erhalte ich eine zweite partielle Ableitung wie f_xx?

Schreibe die Variable im Feld „Ableiten nach“ einmal pro Ableitung: xx für f_xx, yy für f_yy. Der Rechner leitet mehrfach ab und zeigt jeden Schritt einzeln.

Ist f_xy gleich f_yx?

Bei fast allen Funktionen aus dem Unterricht ja. Der Satz von Schwarz garantiert das, sobald die gemischten Ableitungen stetig sind. Der Rechner zeigt den Vergleich, damit du siehst, dass sie übereinstimmen.

Was bedeutet das Symbol ∂?

Es ist ein rundes d, das bei partiellen Ableitungen verwendet wird. Es zeigt an, dass die Funktion mehrere Variablen hat und dass alle außer der im Nenner beim Ableiten konstant bleiben.

Berechnet er die partielle Ableitung an einer Stelle?

Ja. Gib im optionalen Feld Werte für alle Variablen ein, etwa x = 1, y = 2. Der Rechner setzt sie in die fertige Ableitung ein und liefert die Zahl; zum Beispiel hat f_x = 2x + 3y an der Stelle (1, 2) den Wert 8.

Funktioniert das mit drei Variablen?

Ja. Eine Funktion wie x y z oder x^2 + y z lässt sich nach jedem ihrer Buchstaben ableiten. Für x y z ist die partielle Ableitung nach z gleich xy.

Was ist der Unterschied zwischen partieller und gewöhnlicher Ableitung?

Die Regeln sind identisch, aber eine gewöhnliche Ableitung betrifft eine einzige Variable, während eine partielle Ableitung eine Variable unter mehreren auswählt und die anderen als Konstanten behandelt. Das Ergebnis bleibt eine Funktion aller Variablen.

Was ist der Gradient, und wie bilden ihn die partiellen Ableitungen?

Der Gradient ist der Vektor aller ersten partiellen Ableitungen, etwa ⟨f_x, f_y⟩. Er zeigt in die Richtung, in der die Funktion am schnellsten wächst, und sein Betrag ist diese maximale Wachstumsrate.

Warum sieht meine partielle Ableitung anders aus als in der Lösung?

Äquivalente Terme lassen sich auf viele Arten schreiben. Der Rechner klammert vielleicht einen Faktor aus, wie bei y(2x + cos(xy)) statt 2xy + y cos(xy), oder ordnet die Faktoren anders. Multipliziere beide Formen aus oder werte sie an derselben Stelle aus, um zu prüfen, dass sie übereinstimmen.

Probier den Rechner für partielle Ableitungen aus

Gib eine Funktion mehrerer Variablen ein und erhalte fx, fy oder jede gemischte Ableitung, mit jeder Regel erklärt.

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