Quadratische Ergänzung und Scheitelpunktform: Anleitung Schritt für Schritt

Die Idee des Verfahrens

Ein vollständiges Quadrat ist das ausmultiplizierte Quadrat eines Binoms. Aus $(x + h)^2$ wird $x^2 + 2hx + h^2$: Das Absolutglied ist das Quadrat der Hälfte des Koeffizienten von $x$. Bei der quadratischen Ergänzung addiert man genau diese Konstante, damit ein Term zu einem vollständigen Quadrat wird.

Zum Beispiel ist die Hälfte von 6 gleich 3 und $3^2 = 9$, also $x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9$. Multiplizierst du die rechte Seite aus, erhältst du $x^2 + 6x + 9 - 9$, was die Gleichheit bestätigt. Geometrisch ist $x^2 + 6x$ ein Quadrat von $x$ mal $x$ plus zwei Streifen von $3$ mal $x$, und die fehlende Ecke ist ein Quadrat von $3$ mal $3$ mit dem Flächeninhalt 9.

Dasselbe Schema funktioniert mit Minuszeichen. Die Hälfte von $-10$ ist $-5$ und $(-5)^2 = 25$, also $x^2 - 10x = (x - 5)^2 - 25$. Die ergänzte Konstante ist immer positiv, da sie ein Quadrat ist, während das Vorzeichen in der Klammer das von $b$ ist. Wer diese zwei Tatsachen sauber auseinanderhält, vermeidet die meisten Fehler in den folgenden Schritten.

Eine quadratische Gleichung mit quadratischer Ergänzung lösen

1. Ist der Koeffizient von $x^2$ nicht 1, teile alle Terme durch diesen Koeffizienten.
2. Bringe das Absolutglied auf die rechte Seite.
3. Addiere auf beiden Seiten $(b/2)^2$.
4. Schreibe die linke Seite als $(x + b/2)^2$ und vereinfache die rechte.
5. Ziehe auf beiden Seiten die Wurzel, ohne das $\pm$ zu vergessen, und stelle dann nach $x$ um.

Wenn der Leitkoeffizient nicht 1 ist

Die Mitternachtsformel bestätigt das: $x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 24}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{10}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{10}}{2}$. Bei einem ungeraden mittleren Koeffizienten lassen sich Brüche nicht vermeiden, sie bleiben aber handhabbar. Für $x^2 + 5x - 1 = 0$ ist die Hälfte von 5 gleich $\frac{5}{2}$, also $\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 = 1 + \frac{25}{4} = \frac{29}{4}$ und $x = \frac{-5 \pm \sqrt{29}}{2}$.

Komplexe Lösungen

Ist die rechte Seite negativ, gibt es keine reelle Lösung, aber das Verfahren liefert weiterhin die komplexen Lösungen.

Probe: $(-2 + 3i)^2 = 4 - 12i + 9i^2 = -5 - 12i$, und $-5 - 12i + 4(-2 + 3i) + 13 = -5 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0$.

Die Scheitelpunktform einer Parabel

Am häufigsten nutzt man die quadratische Ergänzung bei Funktionen, um von $y = ax^2 + bx + c$ zur Scheitelpunktform $y = a(x - h)^2 + k$ zu gelangen, wobei $(h, k)$ der Scheitelpunkt ist. Da ein Quadrat nie negativ ist, ist der Scheitelpunkt für $a > 0$ ein Tiefpunkt und für $a < 0$ ein Hochpunkt.

Der häufigste Fehler in Beispiel 4 ist, die abgezogene 9 nicht mit der ausgeklammerten $-2$ zu multiplizieren. Deine Scheitelpunktform wieder auszumultiplizieren, ist eine schnelle Probe.

Die Abkürzung $h = -\frac{b}{2a}$ liefert dieselbe x-Koordinate des Scheitelpunkts; die quadratische Ergänzung zeigt, woher diese Formel kommt. Der Rechner für quadratische Gleichungen gibt neben den Nullstellen auch den Scheitelpunkt an.

Herleitung der Mitternachtsformel

Die quadratische Ergänzung an der allgemeinen Gleichung $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ führt zur Mitternachtsformel, und genau deshalb funktioniert diese Formel immer.

Den Zwischenschritt erhältst du, indem du auf beiden Seiten $\frac{b^2}{4a^2}$ addierst und $-\frac{c}{a}$ als $-\frac{4ac}{4a^2}$ schreibst. Die Anleitung zum Lösen quadratischer Gleichungen erklärt, wann du die Formel, das Faktorisieren oder dieses Verfahren nutzen solltest.

Kreise und weitere Anwendungen

Quadratische Ergänzung in $x$ und in $y$ verwandelt die allgemeine Kreisgleichung in ihre Mittelpunktsform mit Mittelpunkt und Radius.

In der Analysis bereitet derselbe Schritt Integrale wie $\int \frac{dx}{x^2 + 2x + 5}$ vor: Schreibt man den Nenner als $(x + 1)^2 + 4$, erhält man $\frac{1}{2}\arctan\frac{x + 1}{2} + C$. Der Integralrechner nutzt diese Substitution, wenn sie passt.

Häufige Fehler

• $(b/2)^2$ nur auf einer Seite addieren.
• Quadratisch ergänzen, bevor man durch einen Leitkoeffizienten ungleich 1 geteilt hat.
• Beim Wurzelziehen das $\pm$ vergessen, wodurch eine Lösung verloren geht.
• $b^2$ oder $b/2$ statt $(b/2)^2$ verwenden.
• Das Vorzeichen des Scheitelpunkts falsch ablesen: $(x - 3)^2$ ergibt $h = 3$, und $(x + 3)^2$ ergibt $h = -3$.

Probiere dein eigenes Beispiel mit dem Rechner für quadratische Ergänzung aus, der jeden der obigen Schritte zeigt.

Was die Scheitelpunktform verrät

Steht eine quadratische Funktion erst einmal in der Form $a(x - h)^2 + k$, lassen sich viele Eigenschaften ohne weitere Rechnung ablesen. Der Scheitelpunkt ist $(h, k)$, und die Symmetrieachse ist die senkrechte Gerade $x = h$. Der Wertebereich ergibt sich direkt: Ist $a > 0$, ist der kleinste Wert $k$ und der Wertebereich $[k, \infty)$; ist $a < 0$, ist der größte Wert $k$ und der Wertebereich $(-\infty, k]$.

Auch die Anzahl der Schnittpunkte mit der x-Achse lässt sich ableiten. Aus $a(x - h)^2 + k = 0$ folgt $(x - h)^2 = -\frac{k}{a}$. Ist $-\frac{k}{a}$ positiv, gibt es zwei Schnittpunkte; ist es null, berührt der Scheitelpunkt die Achse; ist es negativ, schneidet die Parabel die Achse nie. In Beispiel 3 hat $(x - 2)^2 = -3$ keine reelle Lösung, was zu einem Scheitelpunkt auf der Höhe 3 bei einer nach oben geöffneten Parabel passt. In Beispiel 4 ergibt $-2(x - 3)^2 + 8 = 0$ die Gleichung $(x - 3)^2 = 4$: Die Schnittpunkte liegen bei $x = 1$ und $x = 5$.

Optimierungsaufgaben beruhen auf derselben Idee. Beträgt der Gewinn beim Verkauf zu einem Preis $p$ gleich $P = -2p^2 + 12p - 10$, in Hundert Euro, zeigt Beispiel 4, dass der größte Gewinn 8 Hundert Euro bei $p = 3$ beträgt. Ableiten ist nicht nötig: Der quadratische Term kann den Wert nur unter die Höhe des Scheitelpunkts drücken.

Gelöste Übungsaufgaben

Versuche sie zu lösen, bevor du dir die Lösungen ansiehst. Jede nutzt einen Schritt aus den vorigen Beispielen.

1. Löse $x^2 - 10x + 21 = 0$. Lösung: $(x - 5)^2 = 4$, also $x = 3$ oder $x = 7$.
2. Löse $x^2 + 2x - 4 = 0$. Lösung: $(x + 1)^2 = 5$, also $x = -1 \pm \sqrt{5}$.
3. Schreibe $y = x^2 + 8x + 10$ in Scheitelpunktform. Lösung: $y = (x + 4)^2 - 6$, Scheitelpunkt $(-4, -6)$.
4. Schreibe $y = 3x^2 - 6x + 1$ in Scheitelpunktform. Lösung: $y = 3(x - 1)^2 - 2$, Scheitelpunkt $(1, -2)$.
5. Bestimme Mittelpunkt und Radius von $x^2 + y^2 + 2x - 8y + 8 = 0$. Lösung: $(x + 1)^2 + (y - 4)^2 = 9$, Mittelpunkt $(-1, 4)$, Radius 3.

Stimmt eine Lösung nicht, multipliziere dein ergänztes Quadrat wieder aus und vergleiche Zeile für Zeile mit dem ursprünglichen Term; der Unterschied zeigt meist, welche Konstante falsch addiert oder subtrahiert wurde.

Warum es sich lohnt, dieses Verfahren zu lernen

Da es die Mitternachtsformel gibt, liegt die Frage nahe, warum man die quadratische Ergänzung überhaupt noch lernt. Die Antwort: Sie ist eine Umformung und nicht nur ein Lösungstrick. Sie schreibt einen Term so um, dass die Variable nur an einer Stelle vorkommt, innerhalb eines Quadrats. Dann lässt sich der Term leicht untersuchen: Minimum oder Maximum, Symmetrie und Nullstellen sind auf einen Blick ablesbar.

Diese Idee begegnet dir in der ganzen Mathematik wieder. Kegelschnitte wie Kreise, Ellipsen und Hyperbeln erkennt man durch quadratische Ergänzung in zwei Variablen. In der Statistik steht in der Dichte der Normalverteilung ein ergänztes Quadrat im Exponenten, und viele ihrer Eigenschaften beruhen auf derselben Rechnung. In der Analysis werden Integrale mit einem quadratischen Term unter einer Wurzel oder im Nenner nach diesem Schritt zu bekannten Integralen. Die Physik nutzt ihn, um Gleichgewichtslagen von Energiefunktionen zu finden.

Das Üben an einfachen Gleichungen trainiert also eine Fähigkeit, die spätere Themen voraussetzen. Wenn du die Beispiele 1 bis 5 ohne Notizen nachrechnen kannst, bist du für diese Anwendungen gut gerüstet und auch für Prüfungsaufgaben, die das Verfahren verlangen statt nur der Nullstellen.

Häufige Fragen