Quadratische Gleichungen lösen — Mitternachtsformel, Diskriminante und Lösungen

Q: Wie lautet die Mitternachtsformel?

Für ax^2 + bx + c = 0 sind die Lösungen x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a). Sie gilt für jede quadratische Gleichung, auch für solche, die sich nicht faktorisieren lassen.

Q: Was sagt die Diskriminante aus?

Ist b^2 - 4ac > 0, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist sie 0, gibt es eine doppelte Lösung; ist sie negativ, gibt es zwei komplexe Lösungen.

Q: Wie findet man den Scheitelpunkt der Parabel?

Der Scheitelpunkt liegt bei x = -b/(2a); setze diesen Wert ein, um die y-Koordinate zu erhalten. Der Rechner zeigt beide Koordinaten an.

Q: Warum darf a bei einer quadratischen Gleichung nicht null sein?

Bei a = 0 fällt der Term mit x^2 weg, und die Gleichung wird linear, bx + c = 0, mit höchstens einer Lösung. Außerdem würde die Formel durch null teilen; deshalb verlangt der Rechner ein von null verschiedenes a.

Über den Rechner für quadratische Gleichungen

Eine quadratische Gleichung hat die Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \neq 0$ . Ihr Graph ist eine Parabel, und die Lösungen sind die Stellen, an denen sie die x-Achse schneidet.

Die Diskriminante $\Delta = b^2 - 4ac$ zeigt, welche Art von Lösungen zu erwarten ist: zwei reelle Lösungen, wenn sie positiv ist, eine doppelte Lösung, wenn sie null ist, und zwei konjugiert komplexe Lösungen, wenn sie negativ ist. Der Rechner lässt Wurzeln exakt stehen: $2x^2 + 4x - 3 = 0$ ergibt $x = \frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ .

Was ist eine quadratische Gleichung?

Eine quadratische Gleichung ist eine Polynomgleichung zweiten Grades: Die höchste Potenz der Unbekannten ist $x^2$ . In allgemeiner Form schreibt man sie $ax^2 + bx + c = 0$ , wobei $a$ , $b$ und $c$ Zahlen sind und $a$ nicht null ist. Der Koeffizient $a$ bestimmt, wie weit die Parabel geöffnet ist und ob sie nach oben oder unten zeigt, $b$ verschiebt sie seitlich, und $c$ ist die Stelle, an der sie die y-Achse schneidet.

Da der Graph von $y = ax^2 + bx + c$ eine Parabel ist, kann er die x-Achse zweimal schneiden, sie einmal im Scheitelpunkt berühren oder sie nie erreichen. Diese drei Fälle entsprechen zwei reellen Lösungen, einer doppelten Lösung und keiner reellen Lösung, und die Diskriminante verrät, welcher Fall vorliegt, noch bevor eine Lösung berechnet wird.

So benutzt du den Rechner für quadratische Gleichungen

Forme deine Gleichung so um, dass eine Seite 0 ist.
Gib die Koeffizienten a, b und c ein. Brüche und Dezimalzahlen sind erlaubt.
Klicke auf Lösen, um die Diskriminante, beide Lösungen, die faktorisierte Form und den Scheitelpunkt zu sehen.

Formeln

Mitternachtsformel

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Diskriminante

\Delta = b^2 - 4ac

Scheitelpunkt

\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)

Satz von Vieta

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\qquad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Durchgerechnetes Beispiel: x² − 3x − 10 = 0

Das durchgerechnete Beispiel ist $x^2 - 3x - 10 = 0$ , also $a = 1$ , $b = -3$ und $c = -10$ . Die Diskriminante ist $(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$ , eine positive Quadratzahl, also gibt es zwei rationale Lösungen. Die Formel liefert $\frac{3 \pm 7}{2}$ , also $x = -2$ und $x = 5$ . Der Rechner findet außerdem den Scheitelpunkt bei $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ und die faktorisierte Form $(x + 2)(x - 5)$ und bestätigt mit dem Satz von Vieta, dass die Summe der Lösungen 3 und ihr Produkt −10 ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

x_1 = -2,\quad x_2 = 5

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form mit der Mitternachtsformel lösen.

x^2 - 3x - 10 = 0

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Koeffizienten von ax² + bx + c = 0 bestimmen
$x^2 - 3x - 10 = 0 \quad\Rightarrow\quad a = 1,\ b = -3,\ c = -10$
Die Diskriminante berechnen
$\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49$
Δ > 0, also gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen
Die Mitternachtsformel anwenden
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{3 \pm 7}{2}$
Jede Lösung vereinfachen
$x_1 = \frac{3 - 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$
Den Scheitelpunkt der Parabel bestimmen
Die Parabel ist nach oben geöffnet, also ist der Scheitelpunkt ein Minimum.
$h = -\frac{b}{2a} = \frac{3}{2},\quad k = c - \frac{b^2}{4a} = -\frac{49}{4}$
Faktorisierte Form
$x^2 - 3x - 10 = (x + 2)(x - 5)$

Verwendete Formeln

Mitternachtsformel
$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
Diskriminante
$\Delta = b^2 - 4ac$
Scheitelpunkt
$\left(-\frac{b}{2a},\ c - \frac{b^2}{4a}\right)$

Die Diskriminante ist positiv, also schneidet die Parabel die x-Achse in zwei Punkten.

Probe

x = -2 einsetzen: 1·(-2)² + (-3)·(-2) + (-10) = 0
x = 5 einsetzen: 1·5² + (-3)·5 + (-10) = 0
Satz von Vieta: Summe der Lösungen = 3 = −b/a = 3; Produkt = -10 = c/a = -10

Ausführliche Erklärung

Die drei Fälle der Diskriminante

Ist $\Delta > 0$ , ist die Quadratwurzel eine reelle Zahl, und das $\pm$ erzeugt zwei verschiedene Lösungen. Ist $\Delta$ außerdem eine Quadratzahl, wie die 49 im Beispiel, sind die Lösungen rational, und das Polynom lässt sich mit ganzen Zahlen faktorisieren; andernfalls enthalten sie eine Wurzel, wie bei $2x^2 + 4x - 3 = 0$ mit den Lösungen $\frac{-2 \pm \sqrt{10}}{2}$ . Ist $\Delta = 0$ , fallen beide Lösungen zusammen: $x^2 - 6x + 9 = 0$ hat die doppelte Lösung $x = 3$ , und die Parabel berührt die Achse nur. Ist $\Delta < 0$ , gibt es keine reelle Lösung, und der Rechner gibt das Paar komplexer Lösungen an, zum Beispiel $-1 \pm 2i$ für $x^2 + 2x + 5 = 0$ .

Woher die Formel kommt

Die Mitternachtsformel entsteht durch quadratische Ergänzung der allgemeinen Gleichung. Teilt man durch $a$ und bringt $c$ auf die andere Seite, erhält man $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$ ; addiert man $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ auf beiden Seiten, wird die linke Seite zu einem vollständigen Quadrat, $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$ . Zieht man die Wurzel und subtrahiert $\frac{b}{2a}$ , ergibt sich die Formel. Diese Herleitung erklärt auch den Scheitelpunkt: Die Parabel ist symmetrisch zur Geraden $x = -\frac{b}{2a}$ , genau in der Mitte zwischen den beiden Lösungen.

Scheitelpunkt und Graph ablesen

Der Scheitelpunkt ist der Punkt, an dem die Parabel ihre Richtung ändert. Seine x-Koordinate ist $-\frac{b}{2a}$ , und setzt man diesen Wert in die Gleichung ein, erhält man die y-Koordinate, die bei $a > 0$ der kleinste und bei $a < 0$ der größte Wert ist. Im Beispiel liegt der Scheitelpunkt bei $\left(\frac32, -\frac{49}{4}\right)$ , also ist der Term $x^2 - 3x - 10$ nie kleiner als $-12.25$ . Deshalb sind quadratische Funktionen so nützlich bei Optimierungsaufgaben, etwa um den höchsten Punkt eines geworfenen Balls oder den Preis mit dem größten Umsatz zu finden.

Die Scheitelpunktform $a(x - h)^2 + k$ liefert dieselbe Information direkt, mit dem Scheitelpunkt $(h, k)$ .

Häufige Fehler

$-b^2$ statt $b^2$ verwenden, wenn $b$ negativ ist: $(-3)^2 = 9$ .
Nur $-b$ durch $2a$ teilen statt den ganzen Zähler.
Die Koeffizienten eingeben, bevor alle Terme auf eine Seite gebracht wurden.
Das ± vergessen und nur eine Lösung angeben.
Komplexe Lösungen angeben, obwohl nur reelle gefragt sind, oder umgekehrt; lies die Aufgabe genau.

Tipps

Ist $b$ gerade, vereinfacht sich die Formel zu $x = \frac{-b/2 \pm \sqrt{(b/2)^2 - ac}}{a}$ .
Prüfe die Lösungen mit dem Satz von Vieta: Ihre Summe muss $-\frac{b}{a}$ sein.
Ist $\Delta$ eine Quadratzahl, lässt sich das Polynom mit ganzen Zahlen faktorisieren.
Teile zuerst alle drei Koeffizienten durch einen gemeinsamen Faktor; die Lösungen ändern sich nicht, und die Rechnung wird einfacher.
Der Scheitelpunkt liegt genau in der Mitte zwischen den beiden Lösungen, damit kannst du beide schnell kontrollieren.

Häufige Fragen

Wie lautet die Mitternachtsformel?

Für $ax^2 + bx + c = 0$ sind die Lösungen $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ . Sie gilt für jede quadratische Gleichung, auch für solche, die sich nicht faktorisieren lassen.

Was sagt die Diskriminante aus?

Ist $b^2 - 4ac > 0$ , gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen; ist sie 0, gibt es eine doppelte Lösung; ist sie negativ, gibt es zwei komplexe Lösungen.

Gibt der Rechner komplexe Lösungen an?

Ja. Bei negativer Diskriminante schreiben sich die Lösungen als $p \pm qi$ ; für $x^2 + 2x + 5 = 0$ sind sie $-1 \pm 2i$ .

Was passiert bei a = 0?

Dann ist die Gleichung linear und nicht quadratisch. Nutze den Gleichungsrechner oder den Rechner zum Auflösen nach x.

Wie findet man den Scheitelpunkt der Parabel?

Der Scheitelpunkt liegt bei $x = -\frac{b}{2a}$ ; setze diesen Wert ein, um die y-Koordinate zu erhalten. Der Rechner zeigt beide Koordinaten an.

Warum Lösungen mit Wurzeln statt als Dezimalzahlen?

Exakte Wurzeln bewahren die volle Genauigkeit und zeigen die Struktur der Lösung. Eine gerundete Dezimalzahl steht zur Orientierung daneben.

Was bedeutet eine doppelte Lösung?

Die Diskriminante ist null, und beide Lösungen sind dieselbe Zahl. Die Parabel berührt die x-Achse im Scheitelpunkt, ohne sie zu schneiden, wie bei $x^2 - 6x + 9 = 0$ mit der doppelten Lösung $x = 3$ .

Wann ist Faktorisieren besser als die Formel?

Faktorisiere, wenn die Diskriminante eine Quadratzahl ist und die Zahlen klein sind, denn dann sind die Lösungen rational. Die Formel funktioniert immer: Nimm sie, wenn die Faktorisierung nicht offensichtlich ist.

Warum darf a bei einer quadratischen Gleichung nicht null sein?

Bei $a = 0$ fällt der Term mit $x^2$ weg, und die Gleichung wird linear, $bx + c = 0$ , mit höchstens einer Lösung. Außerdem würde die Formel durch null teilen; deshalb verlangt der Rechner ein von null verschiedenes $a$ .

Probiere den Rechner für quadratische Gleichungen aus

Gib a, b und c ein und erhalte die Diskriminante, die exakten Lösungen, den Scheitelpunkt und die faktorisierte Form.

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