Ungleichungsrechner

Über den Ungleichungsrechner

Eine Gleichung fragt, wo zwei Terme gleich sind; eine Ungleichung fragt, wo einer größer oder kleiner als der andere ist. Die Antwort ist selten eine einzelne Zahl, sondern eine Menge von Zahlen, etwa alle $x$ zwischen 2 und 3. Diese Menge richtig aufzuschreiben, mit den passenden runden und eckigen Klammern und Randpunkten, ist die Stelle, an der die meisten Punkte verloren gehen.

Dieser Rechner löst lineare Ungleichungen wie $3x - 5 \ge 7$ , Polynomungleichungen wie $x^2 - 5x + 6 < 0$ , Bruchungleichungen wie $\frac{x+1}{x-2} \le 0$ , Doppelungleichungen wie $-3 < 2x + 1 \le 9$ und Betragsungleichungen wie $|x - 4| < 3$ . Er zeigt immer, welche Punkte die Zahlengerade teilen, und testet jedes Intervall, damit du verstehst, warum die Lösung so aussieht.

Was ist eine Ungleichung?

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit einem der Zeichen $<$ , $>$ , $\le$ oder $\ge$ . Ihre Lösungsmenge besteht aus allen Werten der Variablen, die den Vergleich wahr machen. Für $x + 2 > 5$ besteht die Lösungsmenge aus allen Zahlen größer als 3, geschrieben $(3, \infty)$ .

In der hier verwendeten Schreibweise steht eine runde Klammer für einen ausgeschlossenen und eine eckige Klammer für einen eingeschlossenen Randpunkt; im deutschsprachigen Raum wird ein ausgeschlossener Randpunkt oft auch mit einer nach außen gedrehten eckigen Klammer geschrieben. Unendlich ist immer ausgeschlossen, weil es keine Zahl ist, die man erreichen kann. Getrennte Teile werden mit dem Vereinigungszeichen verbunden, wie in $(-\infty, 1) \cup [4, \infty)$ .

So benutzt du den Ungleichungsrechner

Gib die Ungleichung mit <, >, <= oder >= ein, zum Beispiel x^2 - 5x + 6 < 0 oder 2x + 3 >= 7.
Schreibe bei einer Doppelungleichung beide Vergleiche in eine Zeile, etwa -3 < 2x + 1 <= 9.
Verwende für den Betrag abs(), zum Beispiel abs(x - 4) < 3.
Klicke auf Lösen. Sieh dir die kritischen Stellen und die Vorzeichentabelle an und lies dann die Lösungsmenge in Intervallschreibweise.

Formeln

Umkehren des Ungleichheitszeichens

a < b \text{ und } k < 0 \Rightarrow ka > kb

Beim Multiplizieren oder Teilen mit einer negativen Zahl dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Betrag, kleiner als

|u| < c \iff -c < u < c \quad (c > 0)

Betrag, größer als

|u| > c \iff u < -c \ \text{oder}\ u > c

Vorzeichen eines Produkts

(x - r_1)(x - r_2) < 0 \iff r_1 < x < r_2 \quad (r_1 < r_2)

Durchgerechnetes Beispiel: x² − 5x + 6 < 0

Im Beispiel lässt sich $x^2 - 5x + 6 < 0$ zu $(x - 2)(x - 3) < 0$ faktorisieren. Die kritischen Stellen 2 und 3 teilen die Zahlengerade in drei Intervalle, und der Rechner testet in jedem einen Wert.

Nur im mittleren Intervall ist das Produkt negativ, und die Randpunkte gehören nicht dazu, weil die Ungleichung echt ist: Die Lösung ist also das offene Intervall $(2, 3)$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

(2, 3)

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Die Ungleichung lösen und die Antwort in Intervallschreibweise angeben.

{x}^{2}-5x+6 < 0

Lösungsweg Schritt für Schritt

Alles auf eine Seite bringen und faktorisieren
Eine Vorzeichentabelle braucht die Form f(x) im Vergleich mit 0, geschrieben als Produkt/Quotient von Faktoren.
$(x - 3)(x - 2) < 0$
Die kritischen Stellen bestimmen
Das Vorzeichen kann sich nur bei 2 (Nullstelle), 3 (Nullstelle) ändern.
In jedem Intervall einen Punkt testen (Vorzeichentabelle)
(-∞, 2): Test x = 1 → Vorzeichen + → ausgeschlossen; (2, 3): Test x = 2.5 → Vorzeichen − → eingeschlossen; (3, ∞): Test x = 4 → Vorzeichen + → ausgeschlossen
Über die Randpunkte entscheiden
2: ausgeschlossen; 3: ausgeschlossen
Die Lösungsmenge schreiben
$x \in (2, 3)$

Verwendete Formeln

Umkehren des Ungleichheitszeichens
$a < b,\; c < 0 \Rightarrow ac > bc$
Betrag
$|A| < c \iff -c < A < c,\qquad |A| > c \iff A < -c \text{ oder } A > c$

Die Ungleichung gilt genau für x in (2, 3). Punkte, an denen der Term nicht definiert ist, gehören nie dazu, und Randpunkte gehören nur bei ≤ oder ≥ dazu, wenn der Term null ist.

Probe

x = 1: erfüllt die Ungleichung nicht.
x = 2.5: erfüllt die Ungleichung.
x = 4: erfüllt die Ungleichung nicht.

Ausführliche Erklärung

Lineare Ungleichungen

Eine lineare Ungleichung löst man wie eine Gleichung, mit einer zusätzlichen Regel: Immer wenn beide Seiten mit einer negativen Zahl multipliziert oder durch sie geteilt werden, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Aus $-2x > 6$ folgt $x < -3$ , weil die Multiplikation mit $-\tfrac12$ die Reihenfolge der Zahlen auf der Zahlengeraden umkehrt.

Der Grund: Das Vorzeichen zu wechseln entspricht einer Spiegelung der Zahlengeraden. Wenn $5 > 2$ , dann ist $-5 < -2$ . Dieselbe Zahl auf beiden Seiten zu addieren oder zu subtrahieren ändert die Richtung nie.

Das Verfahren mit der Vorzeichentabelle

Bei Polynom- und Bruchungleichungen bringst du alles auf eine Seite, sodass auf der anderen null steht. Dann bestimmst du die kritischen Stellen: die Nullstellen des Zählers und bei Brüchen die Nullstellen des Nenners. Ein Polynom kann sein Vorzeichen nur an einer Nullstelle wechseln, also ist sein Vorzeichen zwischen zwei aufeinanderfolgenden kritischen Stellen konstant.

Wähle in jedem Intervall einen beliebigen Testwert und bestimme das Vorzeichen. Behalte die Intervalle, deren Vorzeichen zur Ungleichung passt. Entscheide zuletzt über jeden Randpunkt: Nullstellen des Zählers gehören bei $\le$ oder $\ge$ dazu, Nullstellen des Nenners aber nie, weil der Term dort nicht definiert ist.

Mehrfache Nullstellen verlangen Aufmerksamkeit. In $(x - 1)^2 (x + 2) > 0$ wechselt der Faktor $(x - 1)^2$ nie das Vorzeichen, also hat der Term auf beiden Seiten von $x = 1$ dasselbe Vorzeichen. Die Vorzeichentabelle berücksichtigt das automatisch, während die Abkürzung, die Vorzeichen einfach abwechseln zu lassen, scheitert.

Doppel- und Betragsungleichungen

Eine Doppelungleichung wie $-3 < 2x + 1 \le 9$ löst man, indem man dieselbe Operation gleichzeitig auf alle drei Teile anwendet, was $-2 < x \le 4$ ergibt. Eine Betragsungleichung lässt sich auf eine Doppelungleichung zurückführen: $|x - 4| < 3$ bedeutet, dass der Abstand von $x$ zu 4 kleiner als 3 ist, also $1 < x < 7$ .

Häufige Fehler

Vergessen, das Ungleichheitszeichen nach dem Multiplizieren oder Teilen mit einer negativen Zahl umzudrehen.
Beide Seiten mit einem Term wie $x - 2$ multiplizieren, dessen Vorzeichen unbekannt ist. Verwende eine Vorzeichentabelle.
Einen Wert in die Lösungsmenge aufnehmen, der einen Nenner null macht.
Das Intervall auf der Seite von unendlich mit einer eckigen Klammer schließen.
$|x| > 3$ als $-3 > x > 3$ schreiben, was keine Zahl erfüllt; gemeint ist $x < -3$ oder $x > 3$ .

Tipps

Sorge dafür, dass auf einer Seite null steht, bevor du faktorisierst.
Zeichne immer die Zahlengerade mit den kritischen Stellen; das verhindert die meisten Fehler bei den Randpunkten.
Teste in der ursprünglichen Ungleichung einen Wert aus deiner Lösung und einen, der nicht dazugehört.
Echte Ungleichungen ergeben ausgeschlossene Randpunkte; nicht echte Ungleichungen schließen die Nullstellen des Zählers ein.

Häufige Fragen

Warum dreht sich das Ungleichheitszeichen beim Teilen durch eine negative Zahl um?

Die Multiplikation mit einer negativen Zahl kehrt die Reihenfolge der Zahlen auf der Zahlengeraden um. 5 ist größer als 2, aber minus 5 ist kleiner als minus 2, also muss der Vergleich umgedreht werden, damit er wahr bleibt.

Was ist die Intervallschreibweise?

Eine Art, eine Lösungsmenge mit runden und eckigen Klammern aufzuschreiben. Die runde Klammer schließt einen Randpunkt aus, die eckige schließt ihn ein, und die Teile werden mit dem Vereinigungszeichen verbunden.

Wie löst man eine quadratische Ungleichung?

Bring alles auf eine Seite, faktorisiere oder berechne die Nullstellen, markiere sie auf der Zahlengeraden, teste in jedem Intervall einen Wert und behalte die Intervalle, deren Vorzeichen passt.

Warum gehören bei Bruchungleichungen manche Randpunkte nicht dazu?

Werte, die den Nenner null machen, lassen den Term undefiniert, deshalb können sie nie zur Lösung gehören, auch nicht bei kleiner gleich oder größer gleich.

Kann eine Ungleichung keine Lösung haben?

Ja. Zum Beispiel hat x Quadrat plus 1 kleiner als 0 keine reelle Lösung, weil x Quadrat plus 1 immer positiv ist. Der Rechner gibt die leere Menge an.

Kann eine Ungleichung für alle reellen Zahlen gelten?

Ja. Zum Beispiel gilt x Quadrat größer gleich 0 für jedes reelle x, und der Rechner antwortet mit der ganzen Zahlengeraden.

Probiere den Ungleichungsrechner aus

Gib eine Ungleichung ein und erhalte die kritischen Stellen, die Vorzeichentabelle und die Lösung in Intervallschreibweise.

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