Ungleichungen lösen und die Lösung in Intervallschreibweise angeben

Die Ungleichheitszeichen und die Form der Lösung

Eine Ungleichung vergleicht zwei Terme mit einem dieser vier Zeichen: $<$ (kleiner als), $>$ (größer als), $\le$ (kleiner oder gleich) und $\ge$ (größer oder gleich). Ihre Lösung ist meist eine unendliche Menge von Zahlen: Man gibt sie als Ungleichung, als Darstellung auf dem Zahlenstrahl oder als Intervall an.

• $x < 5$ entspricht dem Intervall $(-\infty, 5)$; die runde Klammer zeigt, dass 5 ausgeschlossen ist, und auf dem Zahlenstrahl markiert man die Stelle mit einem offenen Kreis.
• $x \le 3$ entspricht $(-\infty, 3]$; die eckige Klammer zeigt, dass 3 dazugehört, und man markiert die Stelle mit einem ausgefüllten Kreis.
• $-2 \le x < 4$ entspricht $[-2, 4)$.
• Unendlich bekommt immer eine runde Klammer, weil es keine Zahl ist, die man einschließen könnte. In Deutschland schreibt man statt der runden Klammer oft auch eine nach außen gedrehte eckige Klammer; beide Schreibweisen bezeichnen dieselbe Menge.

Die einzige Regel, die sich gegenüber Gleichungen ändert

Du darfst auf beiden Seiten jede Zahl addieren oder subtrahieren und beide Seiten mit einer positiven Zahl multiplizieren oder durch sie dividieren, genau wie bei einer Gleichung. Multiplizierst oder dividierst du beide Seiten aber mit einer negativen Zahl, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

Um zu sehen, warum, geh von der wahren Aussage $-2 < 3$ aus und multipliziere beide Seiten mit $-1$. Du erhältst $2$ und $-3$, und $2 > -3$. Die Multiplikation mit einer negativen Zahl spiegelt den Zahlenstrahl, wodurch sich ändert, welche Seite die größere ist. Dasselbe gilt, wenn du die beiden Seiten einer Ungleichung vertauschst: $5 > x$ bedeutet dasselbe wie $x < 5$.

Lineare Ungleichungen

Einen Wert auf jeder Seite der Randstelle zu testen, dauert zehn Sekunden und entlarvt mit Sicherheit ein vergessenes Umdrehen des Zeichens.

Doppelte Ungleichungen: „und“ und „oder“

Eine doppelte Ungleichung wie $-3 \le 2x + 1 < 9$ bedeutet, dass beide Bedingungen gelten. Man löst sie, indem man dieselbe Umformung gleichzeitig auf alle drei Teile anwendet.

Die Lösung ist $[-2, 4)$, der gemeinsame Teil beider Bedingungen. Eine Bedingung mit „oder“, etwa $x < -1$ oder $x \ge 3$, ist die Vereinigung zweier Teile und wird als $(-\infty, -1) \cup [3, \infty)$ geschrieben.

Betragsungleichungen

Der Betrag $|A|$ ist der Abstand von $A$ zu null. Ein Abstand kleiner als $k$ bedeutet, nah an null zu sein, was ein einziges Intervall ergibt; ein Abstand größer als $k$ bedeutet, weit weg zu sein, was zwei Teile ergibt. Für $k > 0$:

Ist $k$ negativ, hat $|A| < k$ keine Lösung und $|A| > k$ gilt für alle reellen Zahlen, denn ein Betrag ist nie negativ.

Quadratische Ungleichungen mit Vorzeichenuntersuchung

Versuche nicht, bei einer Ungleichung die Wurzel zu ziehen. Bringe stattdessen alles auf eine Seite, bestimme, wo der Term null wird, und untersuche sein Vorzeichen zwischen diesen Stellen.

Im Graphen ist $y = x^2 - x - 6$ eine nach oben geöffnete Parabel, die außerhalb ihrer Nullstellen oberhalb der x-Achse liegt, was zur Vorzeichenuntersuchung passt. Der Rechner für quadratische Gleichungen findet die Nullstellen, wenn sie schwer zu faktorisieren sind.

Bruchungleichungen

Steht die Unbekannte im Nenner, multipliziere beide Seiten nie mit diesem Nenner: Du weißt nicht, ob er positiv oder negativ ist. Nutze stattdessen eine Vorzeichentabelle mit den Nullstellen von Zähler und Nenner.

Ungleichungen mit zwei Unbekannten

Eine Ungleichung wie $y > 2x + 1$ beschreibt einen Bereich der Ebene. Zeichne die Randgerade $y = 2x + 1$, gestrichelt bei einer echten Ungleichung und durchgezogen bei $\le$ oder $\ge$, und schraffiere dann die Halbebene, die sie erfüllt. Am schnellsten testest du den Ursprung: $0 > 1$ ist falsch, also schraffierst du die Seite, die $(0, 0)$ nicht enthält. Der Funktionsplotter zeichnet solche Ungleichungen direkt.

Häufige Fehler

• Vergessen, das Zeichen nach einer Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl umzudrehen.
• Mit einem Term multiplizieren, der die Unbekannte enthält und dessen Vorzeichen unbekannt ist.
• $|x - 4| < 3$ nur als $x - 4 < 3$ schreiben, wodurch die untere Grenze verloren geht.
• Bei Unendlich eine eckige Klammer setzen oder an einer Randstelle die falsche Klammer.
• Einen Wert einschließen, für den ein Nenner null wird.

Der Ungleichungsrechner zeigt jeden Schritt und die Intervallschreibweise. Die Schritte zum Lösen von Gleichungen, die du hier ständig brauchst, findest du unter lineare Gleichungen lösen.

Eine Anwendungsaufgabe mit Ungleichung

Ungleichungen tauchen immer auf, wenn eine Situation eine Grenze, ein Minimum oder ein Budget hat. Wendungen wie „mindestens“, „nicht mehr als“, „höchstens“ und „über“ zeigen dir das passende Zeichen: „mindestens“ bedeutet $\ge$, „höchstens“ und „nicht mehr als“ bedeuten $\le$, und „über“ oder „mehr als“ bedeuten $>$.

Der Sachzusammenhang hat eine Einschränkung hinzugefügt, die die Algebra allein nicht lieferte. Echte Aufgaben verlangen oft $t \ge 0$ oder eine Ganzzahligkeitsbedingung: Frag dich immer, welche Werte sinnvoll sind, bevor du das endgültige Intervall aufschreibst.

Eine Lösung in Intervallform prüfen

Die Lösung einer Ungleichung hat drei Bestandteile, in die sich Fehler einschleichen können: die Randwerte, ob jede Randstelle dazugehört und auf welcher Seite der Randstelle die Lösung liegt. Prüfe sie in dieser Reihenfolge. Setze jede Randstelle in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu sehen, ob Gleichheit entsteht, denn das zeigt, ob diese Stelle zur Lösung gehört. Teste dann einen Wert in jedem Intervall deiner Lösung und einen außerhalb.

Im Beispiel mit dem Bruch ergibt $x = 1$ den Wert $\frac{0}{3} = 0$, und $0 \le 0$ ist wahr: Die 1 gehört also dazu. Bei $x = -2$ ist der Term nicht definiert: Die $-2$ bleibt ausgeschlossen, obwohl die Ungleichung Gleichheit zulässt. Diese beiden Proben bestätigen die Klammern von $(-2, 1]$.

Häufige Fragen