Nach x auflösen — Rechner, der jede Variable mit Rechenweg isoliert

Über den Rechner zum Auflösen nach x

Nach $x$ auflösen heißt, alle Werte von $x$ zu bestimmen, die die Gleichung wahr machen. Bei einer linearen Gleichung geschieht das, indem man die Operationen in umgekehrter Reihenfolge rückgängig macht; bei höheren Potenzen muss man faktorisieren oder eine Formel anwenden.

Der Rechner wählt das Verfahren passend zur Struktur deiner Gleichung und setzt jede Lösung zur Probe in die ursprüngliche Gleichung ein. Werte, die einen Nenner null machen würden, werden verworfen.

Was bedeutet „nach x auflösen“?

Eine Gleichung besagt, dass zwei Terme gleich sind, und der Buchstabe $x$ steht für eine Zahl, die wir noch nicht kennen. Nach $x$ auflösen heißt, alle Zahlen zu finden, die diese Gleichheit wahr machen, die sogenannte Lösungsmenge. Für $3(x - 2) = 2x + 7$ gibt es genau eine solche Zahl, 13, denn für $x = 13$ ergeben beide Seiten 33, und kein anderer Wert bringt sie ins Gleichgewicht.

Der Kerngedanke ist das Gleichgewicht: Was du auf einer Seite tust, musst du auch auf der anderen tun, damit die Gleichung beim Vereinfachen wahr bleibt. Jeder Schritt macht eine Operation rückgängig, die auf $x$ wirkt, von außen nach innen, bis $x$ allein steht. Manche Gleichungen haben eine Lösung, manche mehrere, manche keine, und manche sind für jeden Wert von $x$ wahr.

So benutzt du den Rechner zum Auflösen nach x

Gib die Gleichung mit genau einem Gleichheitszeichen ein, zum Beispiel 3(x − 2) = 2x + 7.
Gib bei Bedarf eine andere Variable zum Auflösen an, zum Beispiel b in A = (1/2)·b·h.
Klicke auf Lösen und lies die Schritte von oben nach unten.

Formeln

Umkehroperationen

x + a = b \Rightarrow x = b - a,\qquad ax = b \Rightarrow x = \frac{b}{a}

Lineare Form

ax + b = 0 \Rightarrow x = -\frac{b}{a},\ a \neq 0

Mitternachtsformel

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Durchgerechnetes Beispiel: 3(x − 2) = 2x + 7

Das durchgerechnete Beispiel ist $3(x - 2) = 2x + 7$ . Der Rechner multipliziert die 3 aus und erhält $3x - 6 = 2x + 7$ , subtrahiert $2x$ auf beiden Seiten, um die Unbekannte links zu sammeln, was $x - 6 = 7$ übrig lässt, und addiert dann 6 auf beiden Seiten, um $x = 13$ zu erhalten. Die Probe setzt 13 für x in die ursprüngliche Gleichung ein: Die linke Seite ergibt $3 \times 11 = 33$ und die rechte $26 + 7 = 33$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

x = 13

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Lineare Gleichung in x: x mit Umkehroperationen isolieren.

3 \left( x-2\right) = 2x+7

Lösungsweg Schritt für Schritt

Von der Gleichung ausgehen
$3 \left( x-2\right) = 2x+7$
Jede Seite vereinfachen (ausmultiplizieren und gleichartige Terme zusammenfassen)
$3x - 6 = 2x + 7$
2x auf beiden Seiten subtrahieren
$x - 6 = 7$
6 auf beiden Seiten addieren
$x = 13$

Verwendete Formeln

Lineare Gleichung
$ax + b = c \;\Rightarrow\; x = \frac{c - b}{a}$

Dieselbe Operation auf beiden Seiten hält die Gleichung im Gleichgewicht. Erst die Addition, dann die Multiplikation rückgängig machen, und x steht allein.

Probe

x = 13: linke Seite = 33, rechte Seite = 33 ✓

Ausführliche Erklärung

Gleichungen mit Brüchen

Brüche werden beseitigt, indem man jeden Term mit dem Hauptnenner multipliziert. In $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ ist der Hauptnenner 6, und die Gleichung wird zu $3x + 2x = 60$ , also $5x = 60$ und $x = 12$ . Beide Seiten mit derselben von null verschiedenen Zahl zu multiplizieren ändert die Lösungen nie, deshalb ist dieser Schritt sicher. Anders ist es, wenn der Nenner $x$ enthält, denn die Zahl, mit der man multipliziert, könnte für manche Werte von $x$ null sein.

Scheinlösungen bei Bruchgleichungen

Betrachte $\frac{x}{x - 2} = \frac{2}{x - 2} + 3$ . Beseitigt man die Nenner und vereinfacht, erhält man eine quadratische Gleichung, deren einzige Lösung $x = 2$ ist. Aber $x = 2$ macht beide Nenner null: Die ursprüngliche Gleichung ist an dieser Stelle gar nicht definiert. Der Rechner notiert die Bedingung beim Multiplizieren, verwirft $x = 2$ am Ende und meldet, dass die Gleichung keine Lösung hat. Jeden Kandidaten in die ursprüngliche Gleichung einzusetzen ist der einzige verlässliche Weg, solche Lösungen zu erkennen.

Keine Lösung oder unendlich viele Lösungen

Manchmal verschwindet die Unbekannte. $2(x + 1) = 2x + 5$ vereinfacht sich zu $2x + 2 = 2x + 5$ , und nach Subtraktion von $2x$ bleibt $2 = 5$ übrig, was für kein $x$ stimmt: Es gibt keine Lösung. Ist die verbleibende Gleichheit dagegen wahr, etwa $2 = 2$ , passt jede reelle Zahl, und die Gleichung ist eine Identität. Diese beiden Ergebnisse werden ausgeschrieben und nicht als Wert von $x$ angegeben.

Eine Lösung durch Einsetzen prüfen

Eine Lösung ist nur richtig, wenn sie die ursprüngliche Gleichung wahr macht; deshalb setzt der Rechner die Lösung immer in die Gleichung ein, die du eingegeben hast, und nicht in eine vereinfachte Fassung. Das Einsetzen in eine spätere Zeile würde jeden früheren Fehler verbergen. Mach es von Hand genauso: Berechne linke und rechte Seite getrennt, und wenn die beiden Zahlen verschieden sind, suche den ersten Schritt, ab dem die Seiten nicht mehr im Gleichgewicht waren.

Häufige Fehler

Eine Operation nur auf eine Seite der Gleichung anwenden.
Ein Minuszeichen nur mit dem ersten Term in der Klammer ausmultiplizieren.
Beide Seiten durch $x$ teilen, wodurch die Lösung $x = 0$ verloren geht.
Eine Lösung behalten, die einen Nenner der ursprünglichen Gleichung null macht.
Einen Term auf die andere Seite des Gleichheitszeichens bringen, ohne sein Vorzeichen zu ändern.

Tipps

Beseitige zuerst die Brüche, indem du beide Seiten mit dem Hauptnenner multiplizierst.
Sammle die Terme mit der Unbekannten auf der Seite, auf der der Koeffizient positiv bleibt.
Setze deine Lösung immer in die ursprüngliche Gleichung ein.
Schreibe jeden Schritt in eine neue Zeile und richte die Gleichheitszeichen untereinander aus: So fallen Vorzeichenfehler sofort auf.
Nutze das Feld „Auflösen nach“, um eine Formel umzustellen, zum Beispiel um $b$ aus $A = \frac12 bh$ zu erhalten.

Häufige Fragen

Wie löst man eine Gleichung nach x auf?

Vereinfache jede Seite, bringe mit Umkehroperationen alle Terme mit x auf eine Seite und die Zahlen auf die andere und teile dann durch den Koeffizienten von x. Für $3(x-2) = 2x + 7$ : $3x - 6 = 2x + 7$ , also $x = 13$ .

Kann ich auch nach einer anderen Variablen als x auflösen?

Ja. Gib den Buchstaben im Feld „Auflösen nach“ ein. Formeln wie $A = \frac12 bh$ werden zu $b = \frac{2A}{h}$ umgestellt, wenn die Variable linear vorkommt.

Was passiert, wenn die Gleichung keine Lösung hat?

Wenn sich die Unbekannte weghebt und eine falsche Gleichheit wie $1 = 2$ übrig bleibt, meldet der Rechner, dass es keine Lösung gibt.

Und wenn alle Werte von x passen?

Wenn sich die Unbekannte weghebt und eine wahre Gleichheit übrig bleibt, ist die Gleichung eine Identität, und alle reellen Zahlen sind Lösungen.

Löst er auch Gleichungen mit x zum Quadrat?

Ja. Quadratische Gleichungen werden exakt gelöst, durch Faktorisieren oder mit der Mitternachtsformel, einschließlich irrationaler und komplexer Lösungen.

Warum wurde eine meiner Lösungen verworfen?

Wenn eine Gleichung x im Nenner hat, kann das Multiplizieren mit diesem Nenner Scheinlösungen erzeugen. Jede Lösung, die einen Nenner null macht, wird verworfen, und der Grund wird angezeigt.

Wie löst man eine Gleichung mit Brüchen?

Multipliziere jeden Term auf beiden Seiten mit dem Hauptnenner. Für $\frac{x}{2} + \frac{x}{3} = 10$ ergibt die Multiplikation mit 6 die Gleichung $3x + 2x = 60$ , also $x = 12$ .

Wie stellt man eine Formel nach einer Variablen um?

Behandle die anderen Buchstaben wie feste Zahlen und mache die Operationen rückgängig, die auf die gesuchte Variable wirken. Aus $A = \frac12 bh$ multiplizierst du mit 2 und teilst durch $h$ , um $b = \frac{2A}{h}$ zu erhalten.

Probiere den Rechner zum Auflösen nach x aus

Gib deine Gleichung oder Formel ein und verfolge jede Umkehroperation bis zur geprüften Lösung.

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