Bruchrechner

Über den Bruchrechner

Ein Bruch $\frac{a}{b}$ steht für $a$ gleich große Teile eines Ganzen, das in $b$ Teile zerlegt wurde. Zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen braucht man einen gemeinsamen Nenner, beim Multiplizieren und Dividieren rechnet man direkt mit Zählern und Nennern.

Dieser Rechner liest einen ganzen Term wie $1\tfrac12 + \tfrac{3}{4} \times \tfrac{2}{5}$ , beachtet die Rechenregeln (Punkt vor Strich) und hält jeden Zwischenwert als exakten Bruch fest, sodass keinerlei Rundungsfehler entstehen.

Was ist ein Bruch?

Ein Bruch ist eine Zahl, die als ganze Zahl über einer anderen geschrieben wird, $\frac{a}{b}$ mit $b \neq 0$ . Die untere Zahl, der Nenner, gibt an, in wie viele gleich große Teile das Ganze zerlegt wurde; die obere, der Zähler, gibt an, wie viele dieser Teile genommen werden. So entspricht $\frac34$ drei Stücken eines in vier Teile zerlegten Ganzen.

Ein Bruch ist auch eine Division: $\frac34$ ist dieselbe Zahl wie $3 \div 4 = 0.75$ . Ist der Zähler kleiner als der Nenner, ist der Bruch echt und liegt zwischen 0 und 1. Ist er größer, ist der Bruch unecht, etwa $\frac{7}{4}$ , und lässt sich auch als gemischte Zahl $1\tfrac34$ schreiben. Viele verschiedene Brüche stehen für denselben Wert; $\frac{2}{4}$ , $\frac{3}{6}$ und $\frac{50}{100}$ sind alle gleich $\frac12$ , und der Bruch, der keinen gemeinsamen Teiler mehr hat, heißt vollständig gekürzt.

So benutzt du den Bruchrechner

Gib den Term ein und verwende / für jeden Bruchstrich, zum Beispiel 2/3 + 5/6.
Schreibe eine gemischte Zahl mit einem Leerzeichen zwischen ganzem Teil und Bruch: 1 1/2.
Verwende +, −, * oder × und ÷ zwischen den Brüchen. Klammern sind erlaubt.
Klicke auf Berechnen, um den Hauptnenner, den entstehenden Zähler und das gekürzte Ergebnis zu sehen.

Formeln

Brüche addieren

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}

In der Praxis hält der Hauptnenner die Zahlen klein.

Brüche multiplizieren

\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

Brüche dividieren

\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}

Man multipliziert mit dem Kehrwert des Divisors.

Brüche kürzen

\frac{a}{b} = \frac{a \div g}{b \div g},\quad g = \gcd(a, b)

Durchgerechnetes Beispiel: 2/3 + 5/6

Das durchgerechnete Beispiel addiert $\frac23$ und $\frac56$ . Die Nenner sind verschieden, also bestimmt der Rechner zuerst den Hauptnenner 6 und erweitert $\frac23$ zu $\frac46$ . Die Summe der Zähler ergibt $\frac96$ ; Zähler und Nenner haben den gemeinsamen Teiler 3, und nach dem Kürzen bleibt $\frac32$ , als gemischte Zahl also $1\tfrac12$ . Die Probe als Dezimalzahl, 1,5, bestätigt das Ergebnis.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\frac{3}{2}

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Exaktes Rechnen mit Brüchen (Ergebnisse vollständig gekürzt).

Lösungsweg Schritt für Schritt

Beide Brüche auf den Hauptnenner bringen
Der Hauptnenner von 3 und 6 ist 6.
$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6}$
Zähler addieren, Nenner beibehalten
$\frac{4 + 5}{6} = \frac{9}{6}$
Kürzen
Zähler und Nenner durch ihren ggT 3 teilen.
$\frac{9}{6} = \frac{3}{2}$
Ergebnis, vollständig gekürzt
$\frac{3}{2} = 1\tfrac{1}{2}$

Verwendete Formeln

Addition
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$
Multiplikation
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$
Division
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$

Zum Addieren und Subtrahieren werden die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner gebracht; beim Multiplizieren werden Zähler mit Zähler und Nenner mit Nenner multipliziert; beim Dividieren wird mit dem Kehrwert multipliziert. Das Ergebnis wird mit dem ggT gekürzt.

Probe

Probe als Dezimalzahl: 3/2 ≈ 1.5
Als gemischte Zahl: 1 1/2

Ausführliche Erklärung

Warum man zum Addieren einen gemeinsamen Nenner braucht

Addieren kann man nur gleich große Teile. Drittel und Sechstel sind nicht gleich groß, deshalb lässt sich $\frac23 + \frac56$ erst berechnen, wenn beide Brüche in Sechsteln ausgedrückt sind. Werden Zähler und Nenner eines Bruchs mit derselben Zahl multipliziert, ändert sich sein Wert nicht; genau dieses Erweitern macht das Umschreiben möglich. Man nimmt den Hauptnenner, also das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner, statt einfach das Produkt der Nenner, weil er die Zahlen klein hält und am Ende oft Kürzungsarbeit spart.

Multiplizieren und Dividieren

Beim Multiplizieren braucht man keinen gemeinsamen Nenner: Man rechnet Zähler mal Zähler und Nenner mal Nenner. $\frac23$ von $\frac34$ zu nehmen heißt, zwei Drittel von drei Vierteln zu nehmen, also $\frac{6}{12} = \frac12$ . Die Division fragt, wie oft der Divisor in den Dividenden passt, und das ist dasselbe wie die Multiplikation mit seinem Kehrwert. Für $\frac34 \div \frac25$ schreibt der Rechner die Aufgabe als $\frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8}$ , also $1\tfrac78$ .

Gemischte Zahlen, Dezimalzahlen und längere Terme

Gemischte Zahlen werden vor der Rechnung in unechte Brüche umgewandelt, Dezimalzahlen in exakte Brüche: So wird $0.25 + \frac13$ zu $\frac14 + \frac13 = \frac{7}{12}$ statt zu einer gerundeten Dezimalzahl. In einem Term wie $1\tfrac12 - \frac34 \times \frac25$ wird zuerst multipliziert, was $\frac{3}{10}$ ergibt; danach liefert die Subtraktion $\frac{6}{5}$ . Weil jeder Zwischenwert exakt bleibt, ist auch das Endergebnis exakt.

Häufige Fehler

Die Nenner addieren: $\frac12 + \frac13$ ist $\frac56$ , nicht $\frac25$ .
Bei einer Division vergessen, den zweiten Bruch umzudrehen.
$1\tfrac12$ als $1 \times \tfrac12$ lesen; eine gemischte Zahl bedeutet $1 + \tfrac12$ .
Das Ergebnis nicht kürzen, etwa $\frac{6}{8}$ statt $\frac34$ stehen lassen.
Zum Addieren über Kreuz multiplizieren; das Überkreuzmultiplizieren dient zum Vergleichen von Brüchen oder zum Lösen von Verhältnisgleichungen, nicht zum Addieren.
Aus Summen kürzen, zum Beispiel die 3en in $\frac{3 + 1}{3}$ durchstreichen.

Tipps

Kürze gemeinsame Faktoren vor dem Multiplizieren, damit die Zahlen klein bleiben.
Wandle gemischte Zahlen vor dem Multiplizieren oder Dividieren in unechte Brüche um.
Prüfe ein Ergebnis, indem du beide Seiten in Dezimalzahlen umrechnest.
Um zwei Brüche $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ mit positiven Nennern zu vergleichen, vergleiche $ad$ und $bc$ .
Schätze zuerst: $\frac23 + \frac56$ ist etwas weniger als $\frac12 + 1$ , ein Ergebnis um 1,5 ist also plausibel.
Kürze jeden Bruch, bevor du anfängst; mit kleineren Zahlen findest du den Hauptnenner leichter.

Häufige Fragen

Wie addiert man Brüche mit verschiedenen Nennern?

Bringe beide Brüche auf den Hauptnenner, addiere die Zähler und kürze. Für $\frac23 + \frac56$ ist der Hauptnenner 6, das ergibt $\frac46 + \frac56 = \frac96 = \frac32$ .

Wie gebe ich eine gemischte Zahl ein?

Schreibe den ganzen Teil, ein Leerzeichen und dann den Bruch, zum Beispiel 2 3/4. Der Rechner wandelt sie vor dem Rechnen in $\frac{11}{4}$ um.

Kann ich Dezimalzahlen und Brüche mischen?

Ja. Eine Dezimalzahl wie 0.25 wird zuerst in den exakten Bruch $\frac14$ umgewandelt, sodass das Ergebnis exakt bleibt.

Warum wird das Ergebnis als unechter Bruch und als gemischte Zahl angezeigt?

Beide Formen drücken denselben Wert aus. Unechte Brüche sind praktischer, wenn man in der Algebra weiterrechnet; gemischte Zahlen kann man sich leichter vorstellen.

Was passiert, wenn ich durch null teile?

Die Division durch einen Bruch mit dem Wert null ist nicht definiert: Der Rechner bricht ab und zeigt, welcher Teil des Terms das Problem verursacht.

Beachtet der Rechner Punkt vor Strich?

Ja. Multiplikationen und Divisionen werden vor Additionen und Subtraktionen ausgeführt, und Klammern werden zuerst berechnet.

Wie teilt man einen Bruch durch einen anderen?

Behalte den ersten Bruch, ersetze die Division durch eine Multiplikation und drehe den zweiten Bruch um. $\frac34 \div \frac25 = \frac34 \times \frac52 = \frac{15}{8} = 1\tfrac78$ .

Wie wandelt man einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl um?

Teile den Zähler durch den Nenner. Der Quotient ist der ganze Teil, und der Rest steht über dem ursprünglichen Nenner: $\frac{15}{8}$ ergibt Quotient 1 und Rest 7, also $1\tfrac78$ .

Wie rechnet man einen Bruch in eine Dezimalzahl oder in Prozent um?

Teile den Zähler durch den Nenner, um die Dezimalzahl zu erhalten, und multipliziere dann mit 100, um den Prozentsatz zu erhalten. $\frac{3}{8} = 0.375 = 37.5\%$ . Der Rechner zeigt zu jedem Ergebnis den Dezimalwert als Probe.

Probiere den Bruchrechner aus

Gib deine eigenen Brüche ein und verfolge jeden Schritt der Rechnung.

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