kgV-Rechner

Q: Wie berechnet man das kgV von drei Zahlen?

Kombiniere sie paarweise: lcm(8, 12) = 24 und dann lcm(24, 15) = 120. Oder nimm jeden Primfaktor mit seinem größten Exponenten: 2^3 × 3 × 5 = 120.

Über den kgV-Rechner

Das kleinste gemeinsame Vielfache einer Menge ganzer Zahlen ist die kleinste positive ganze Zahl, die ein Vielfaches jeder dieser Zahlen ist. Beim Addieren von Brüchen ist es der Hauptnenner, und bei vielen Aufgaben zu Fahrplänen und Wiederholungen liefert es die Antwort.

Dieses Werkzeug baut das kgV aus der Primfaktorzerlegung auf und bestätigt es mit der Identität $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{|ab|}{\gcd(a,b)}$ .

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?

Die Vielfachen einer Zahl entstehen, wenn man sie mit 1, 2, 3 und so weiter multipliziert: Die Vielfachen von 12 sind 12, 24, 36, 48 usw., die von 18 sind 18, 36, 54 usw. Ein gemeinsames Vielfaches steht in beiden Listen, und das kleinste gemeinsame Vielfache ist das erste davon, hier 36.

Zwei positive ganze Zahlen haben unendlich viele gemeinsame Vielfache, und alle sind Vielfache des kgV. Das kgV ist nie kleiner als die größte Zahl der Liste und nie größer als das Produkt aller Zahlen; genau gleich diesem Produkt ist es, wenn die Zahlen keinen Primfaktor gemeinsam haben.

So benutzt du den kgV-Rechner

Gib zwei bis zehn ganze Zahlen ein, getrennt durch Kommas oder Leerzeichen.
Klicke auf kgV berechnen.
Sieh dir die Primfaktorzerlegung jeder Zahl und die verwendete höchste Potenz jedes Primfaktors an.

Formeln

Aus der Primfaktorzerlegung

\operatorname{lcm} = \prod p^{\max(e_1, e_2, \ldots)}

Mit dem ggT

\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}

Mehr als zwei Zahlen

\operatorname{lcm}(a, b, c) = \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(a, b), c)

Durchgerechnetes Beispiel: 12, 18

Das durchgerechnete Beispiel bestimmt das kgV von 12 und 18. Die Primfaktorzerlegungen sind $12 = 2^2 \times 3$ und $18 = 2 \times 3^2$ . Da $\gcd(12, 18) = 6$ , liefert die Identität $\frac{12 \times 18}{6} = \frac{216}{6} = 36$ . Nimmt man jeden Primfaktor mit seinem größten Exponenten, $2^2 \times 3^2 = 36$ , erhält man dasselbe Ergebnis, und die Probe bestätigt, dass 36 ohne Rest durch 12 und durch 18 teilbar ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

36

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der Zahlen bestimmen.

Lösungsweg Schritt für Schritt

Primfaktorzerlegung jeder Zahl
$12 = 2^{2} \times 3,\quad 18 = 2 \times 3^{2}$
Mit dem ggT 12 und 18 zusammenführen
$\operatorname{lcm}(12, 18) = \frac{12 \times 18}{\gcd(12, 18)} = \frac{216}{6} = 36$
Mit den Primfaktoren bestätigen
Jeden vorkommenden Primfaktor mit seinem größten Exponenten nehmen.
$2^{2} \times 3^{2} = 36$

Verwendete Formeln

kgV aus dem ggT
$\operatorname{lcm}(a, b) = \frac{|a \cdot b|}{\gcd(a, b)}$

36 ist die kleinste positive Zahl, die durch jede eingegebene Zahl ohne Rest teilbar ist.

Probe

36 ÷ 12 = 3
36 ÷ 18 = 2

Ausführliche Erklärung

Warum die höchsten Potenzen

Ein Vielfaches von 12 muss $2^2$ und 3 unter seinen Primfaktoren haben, ein Vielfaches von 18 braucht 2 und $3^2$ . Um ein Vielfaches von beiden zu sein, braucht eine Zahl $2^2$ , um die 12 abzudecken, und $3^2$ , um die 18 abzudecken, und sonst nichts. Jeden Primfaktor mit seinem größten Exponenten zu nehmen ist also die kleinste Wahl, die alle Zahlen abdeckt, und genau das ist die Definition des kleinsten gemeinsamen Vielfachen.

Das kgV bei Brüchen und Fahrplänen

Der Hauptnenner zweier Brüche ist das kgV ihrer Nenner. Um $\frac{5}{12} + \frac{7}{18}$ zu berechnen, werden beide Brüche auf den Nenner 36 erweitert, was die Zahlen kleiner hält als mit $12 \times 18 = 216$ . Auch Fahrplanfragen löst das kgV: Fährt ein Bus alle 8 Minuten, ein zweiter alle 12 und ein dritter alle 15, fahren sie nach $\operatorname{lcm}(8, 12, 15) = 120$ Minuten wieder gleichzeitig ab.

Enthält die Liste eine 0, gibt der Rechner nach Konvention 0 zurück und erklärt, dass 0 ein Vielfaches jeder ganzen Zahl ist, da es in diesem Fall kein positives gemeinsames Vielfaches gibt.

Wie kgV und ggT zusammenhängen

Für zwei positive ganze Zahlen ist das Produkt aus ggT und kgV immer gleich dem Produkt der beiden Zahlen. Der Grund zeigt sich in der Primfaktorzerlegung: Für jeden Primfaktor nimmt der ggT den kleineren Exponenten und das kgV den größeren, zusammen verwenden sie jeden Exponenten genau einmal. Bei 12 und 18 ergeben der ggT 6 und das kgV 36 multipliziert 216, also $12 \times 18$ . Diese Identität lässt sich nicht direkt auf drei oder mehr Zahlen übertragen, deshalb kombiniert der Rechner sie paarweise.

Häufige Fehler

Alle Zahlen miteinander multiplizieren; das ergibt zwar ein gemeinsames Vielfaches, aber oft nicht das kleinste.
Von jedem Primfaktor die kleinste Potenz nehmen; das kgV verlangt die größte.
kgV und ggT verwechseln: Das kgV ist mindestens so groß wie die größte der Zahlen.
Nur die Vielfachen der größten Zahl auflisten und das erste nehmen, ohne es mit den anderen zu prüfen.

Tipps

Ist eine Zahl ein Vielfaches aller anderen, ist sie das kgV.
Sind die Zahlen teilerfremd, ist das kgV einfach ihr Produkt.
Verwende das kgV der Nenner als Hauptnenner, um Brüche zu addieren.
Prüfe ein kgV, indem du es durch jede Zahl teilst; alle Quotienten müssen ganze Zahlen sein.
Bei zwei Zahlen berechnest du zuerst den ggT; ihr Produkt durch diesen ggT zu teilen ist meist der kürzeste Weg.
Bei kleinen Zahlen schreibst du einige Vielfache der größten Zahl auf und prüfst jedes mit den anderen; das erste passende ist das kgV.

Häufige Fragen

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?

Es ist die kleinste positive ganze Zahl, die durch jede der Zahlen ohne Rest teilbar ist. Das kgV von 4, 6 und 10 ist 60.

Wie hängen kgV und ggT zusammen?

Für zwei positive ganze Zahlen ist ihr Produkt gleich dem ggT mal dem kgV, also gilt $\operatorname{lcm}(a,b) = \frac{ab}{\gcd(a,b)}$ .

Wann brauche ich das kgV?

Zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen mit verschiedenen Nennern und bei Aufgaben, die fragen, wann sich wiederholende Ereignisse wieder zusammenfallen.

Was ist das kgV, wenn eine der Zahlen 0 ist?

Null ist ein Vielfaches jeder Zahl, aber das kgV ist als kleinstes positives gemeinsames Vielfaches definiert, deshalb gilt nach Konvention $\operatorname{lcm}(a, 0) = 0$ .

Kann das kgV kleiner als die Zahlen sein?

Nein. Das kgV ist immer mindestens so groß wie der größte Betrag in der Liste (außer sie enthält eine 0).

Akzeptiert der Rechner negative Zahlen?

Ja. Das Vorzeichen ändert nichts an den Vielfachen: Das kgV wird mit den Beträgen berechnet und als positive Zahl angegeben.

Wie berechnet man das kgV von drei Zahlen?

Kombiniere sie paarweise: $\operatorname{lcm}(8, 12) = 24$ und dann $\operatorname{lcm}(24, 15) = 120$ . Oder nimm jeden Primfaktor mit seinem größten Exponenten: $2^3 \times 3 \times 5 = 120$ .

Was ist der Unterschied zwischen kgV und Hauptnenner?

Der Hauptnenner ist einfach das kgV der Nenner von Brüchen. Für $\frac{5}{12}$ und $\frac{7}{18}$ ist er $\operatorname{lcm}(12, 18) = 36$ .

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Gib deine Zahlen ein und sieh dir die Primfaktorzerlegung und die Probe an.

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Aus der Primfaktorzerlegung

Mit dem ggT

Mehr als zwei Zahlen

Durchgerechnetes Beispiel: 12, 18

Ergebnis

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Lösungsweg Schritt für Schritt

Verwendete Formeln

Probe

Ausführliche Erklärung

Warum die höchsten Potenzen

Das kgV bei Brüchen und Fahrplänen

Wie kgV und ggT zusammenhängen

Häufige Fehler

Tipps

Häufige Fragen

Was ist das kleinste gemeinsame Vielfache?

Wie hängen kgV und ggT zusammen?

Wann brauche ich das kgV?

Was ist das kgV, wenn eine der Zahlen 0 ist?

Kann das kgV kleiner als die Zahlen sein?

Akzeptiert der Rechner negative Zahlen?

Wie berechnet man das kgV von drei Zahlen?

Was ist der Unterschied zwischen kgV und Hauptnenner?

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