Funktionsplotter online — Funktionen, Ungleichungen und Punkte zeichnen

Q: Kann ich mit dem Graphen Gleichungen lösen?

Ja, näherungsweise: Zeichne jede Seite und lies die x-Koordinaten der Punkte ab, an denen sich die Kurven schneiden. Für exakte Antworten nutzt du den Gleichungslöser.

Q: Funktioniert er auf dem Handy?

Ja. Der Graph passt sich an die Bildschirmgröße an und lässt sich mit dem Finger verschieben.

Q: Wie finde ich den Schnittpunkt zweier Kurven?

Gib jede Funktion in einer eigenen Zeile ein und zoome auf den Schnittpunkt. Die x-Koordinate löst die Gleichung, die entsteht, wenn man beide Funktionen gleichsetzt, und die y-Koordinate ist ihr gemeinsamer Wert an dieser Stelle.

Über den Funktionsplotter

Ein Graph macht aus einer Formel ein Bild: Nullstellen werden zu Schnittpunkten mit der x-Achse, Hoch- und Tiefpunkte zu Gipfeln und Tälern, und Asymptoten zeigen sich dort, wo die Kurve ins Unendliche schießt.

Ungleichungen wie $y > 2x + 1$ werden als farbiger Bereich dargestellt: Eine durchgezogene Randlinie zeigt, dass die Punkte auf der Geraden dazugehören ( $\le$ , $\ge$ ), eine gestrichelte Randlinie, dass sie nicht dazugehören ( $<$ , $>$ ). Punkte wie $(3, 0)$ werden als beschriftete Markierungen gezeichnet, was sehr praktisch ist, um Nullstellen und Achsenabschnitte zu kontrollieren.

Gib bis zu fünf Zeilen gleichzeitig ein, um sie zu vergleichen. Der Plotter tastet jede Kurve sehr dicht ab, unterbricht sie an Definitionslücken und senkrechten Asymptoten, statt falsche Verbindungslinien zu zeichnen, und zeichnet alles sofort neu, wenn du zoomst oder die Ansicht verschiebst.

Was ist ein Funktionsplotter?

Ein Funktionsplotter zeichnet die Menge der Punkte, die eine Beziehung erfüllen. Für eine Funktion $y = f(x)$ berechnet er $y$ für sehr viele dicht beieinanderliegende $x$ -Werte im ganzen sichtbaren Fenster und verbindet sie zu einer Kurve. Bei einer Ungleichung färbt er alle Punkte der Ebene ein, für die sie wahr ist, und bei einer Liste von Punkten markiert er einfach jedes Koordinatenpaar.

Das Bild beantwortet Fragen, die sich allein mit Algebra schwer entscheiden lassen: wie viele Lösungen eine Gleichung hat, wo sie ungefähr liegen, ob eine Funktion steigt oder fällt und wie sie sich für sehr große oder sehr kleine $x$ -Werte verhält. Dieser Plotter läuft vollständig in deinem Browser: Nichts von dem, was du eingibst, wird irgendwohin gesendet.

So benutzt du den Funktionsplotter

Gib eine Funktion von x ein, etwa x^2 - 2x - 3 oder sin(x). Du kannst mit y = oder f(x) = beginnen.
Bei einer Ungleichung stellst du nach y um, zum Beispiel y >= x^2 - 4 oder y < 3 - x. Für eine senkrechte Grenze schreibst du x < 2 oder x >= -1.
Um Punkte zu markieren, schreibst du sie in Klammern und durch Kommas getrennt, zum Beispiel (1, 2), (-3, 0.5).
Füge mit der Schaltfläche Eingabe hinzufügen weitere Zeilen hinzu, um sie in verschiedenen Farben zu vergleichen.
Ziehe den Graphen, um ihn zu verschieben, zoome mit dem Mausrad oder den Schaltflächen + und −, und klicke auf Ansicht zurücksetzen, um zur Startansicht zurückzukehren.

Formeln

Normalform der Geradengleichung

y = mx + b

Scheitelpunktform der Parabel

y = a(x - h)^2 + k

Sinuskurve

y = A\sin(Bx + C) + D

Durchgerechnetes Beispiel

Gib zum Beispiel $y = x^2 - 2x - 3$ ein. Die Kurve ist eine nach oben geöffnete Parabel, weil der Koeffizient von $x^2$ positiv ist. Sie schneidet die x-Achse bei $x = -1$ und $x = 3$ , den Nullstellen, denn $x^2 - 2x - 3 = (x + 1)(x - 3)$ . Die y-Achse schneidet sie bei $-3$ , dem absoluten Glied, und ihr tiefster Punkt, der Scheitelpunkt, liegt bei $(1, -4)$ , genau in der Mitte zwischen den Nullstellen. Füge eine zweite Zeile mit $y < x^2 - 2x - 3$ hinzu: Der Bereich unter der Kurve wird eingefärbt, mit gestrichelter Randlinie.

Ausführliche Erklärung

Die wichtigsten Merkmale einer Kurve ablesen

Die Schnittpunkte von $y = f(x)$ mit der x-Achse entsprechen den reellen Lösungen von $f(x) = 0$ , und der Schnittpunkt mit der y-Achse ist $f(0)$ . Gipfel und Täler sind lokale Hoch- und Tiefpunkte, an denen die Ableitung null wird. Ob eine Kurve weit links und weit rechts unbegrenzt wächst oder sich einer waagerechten Geraden nähert, zeigt ihr Verhalten im Unendlichen. Senkrechte Asymptoten erscheinen dort, wo der Nenner einer gebrochenrationalen Funktion null wird, etwa $x = 2$ bei $y = \frac{1}{x - 2}$ ; der Plotter unterbricht die Kurve dort, statt eine falsche senkrechte Linie durch die Lücke zu zeichnen.

Graphen transformieren

Eine Funktion neben einer veränderten Version zu zeichnen, ist der schnellste Weg, Transformationen zu verstehen. Addiert man außen $k$ , also $f(x) + k$ , verschiebt sich die Kurve um $k$ Einheiten nach oben. Ersetzt man $x$ durch $x - h$ , verschiebt sie sich um $h$ Einheiten nach rechts. Multiplizieren mit $a$ streckt sie in senkrechter Richtung, und ein negatives $a$ spiegelt sie zusätzlich an der x-Achse. Probiere $y = x^2$ , $y = (x - 2)^2$ und $y = -x^2 + 3$ in drei Zeilen aus, um alle drei Effekte gleichzeitig zu sehen.

Gleichungen und Gleichungssysteme grafisch lösen

Um eine Gleichung wie $2^x = x + 3$ zu lösen, zeichnest du jede Seite in einer eigenen Zeile und suchst die Schnittpunkte; ihre x-Koordinaten sind die Lösungen. Mit derselben Methode löst du ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten. Ein Graph liefert Näherungswerte: Nutze ihn, um zu sehen, wie viele Lösungen es gibt und wo sie ungefähr liegen, und bestätige sie dann mit dem Gleichungslöser oder dem Rechner für Gleichungssysteme, um exakte Antworten zu erhalten.

Häufige Fehler

sin x ohne Klammern schreiben; verwende sin(x).
Erwarten, $\sqrt{x}$ oder $\ln x$ für negative x zu sehen; sie sind nur für $x \ge 0$ bzw. $x > 0$ definiert.
Merkmale übersehen, weil das Fenster zu klein ist; zoome zuerst heraus, um die Gesamtform zu sehen.
Einen am Graphen abgelesenen ungefähren Schnittpunkt für die exakte Antwort halten.

Tipps

Zeichne die beiden Seiten einer Gleichung als zwei getrennte Funktionen; die Schnittpunkte sind die Lösungen.
Vergleiche $f(x)$ mit $f(x) + k$ oder mit $f(x - h)$ , um Verschiebungen sichtbar zu machen.
Nutze parallel den Ableitungsrechner, um zu prüfen, wo die Kurve steigt.
Zoome auf einen Schnittpunkt mit den Achsen oder zwischen zwei Kurven, um seine Koordinaten genauer abzulesen.
Markiere neben der Kurve auch einen bekannten Punkt, um zu prüfen, ob die Kurve wirklich durch ihn verläuft.

Häufige Fragen

Was kann ich zeichnen?

Jede Funktion von x, die aus Zahlen, + − × ÷, Potenzen, Wurzeln, Exponentialfunktionen, Logarithmen, dem Betrag sowie den trigonometrischen, Arkus- und Hyperbelfunktionen aufgebaut ist.

Wie viele Funktionen kann ich gleichzeitig darstellen?

Bis zu fünf Zeilen. Jede Zeile ist eine Funktion, eine Ungleichung oder eine Liste von Punkten und wird in ihrer eigenen Farbe gezeichnet.

Wie zeichnet man eine Ungleichung?

Schreibe sie so, dass y allein auf einer Seite steht, etwa y > 2x + 1 oder y <= x^2. Der Lösungsbereich wird eingefärbt; eine gestrichelte Randlinie gehört nicht zur Lösung, eine durchgezogene schon. Für eine senkrechte Grenze schreibst du x < 3 oder x >= -2.

Kann ich Punkte markieren?

Ja. Gib einen oder mehrere Punkte in Klammern ein, etwa (2, 3) oder (0, 0), (1, 1), (2, 4). Jeder Punkt wird als beschriftete Markierung gezeichnet, bis zu 50 pro Zeile.

Wie zoome und verschiebe ich die Ansicht?

Zoome mit dem Mausrad um den Mauszeiger herum oder mit den Schaltflächen + und −, und ziehe, um die Ansicht zu verschieben. Ansicht zurücksetzen stellt wieder das Fenster von −10 bis 10 ein.

Warum hat die Kurve Lücken?

Lücken entstehen dort, wo die Funktion nicht definiert ist, etwa $\sqrt{x}$ für $x < 0$ , oder an senkrechten Asymptoten, etwa $x = 0$ bei $\frac1x$ .

Kann ich mit dem Graphen Gleichungen lösen?