Gleichungssysteme lösen: grafisches Verfahren, Einsetzungsverfahren und Additionsverfahren

Was es heißt, ein System zu lösen

Ein lineares Gleichungssystem besteht aus zwei oder mehr linearen Gleichungen mit denselben Unbekannten. Eine Lösung ist eine Belegung der Unbekannten, etwa $x = 2$ und $y = 3$, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt. Nur eine Gleichung zu erfüllen, reicht nicht.

Bei zwei Unbekannten beschreibt jede Gleichung eine Gerade in der Ebene, und eine Lösung ist ein Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Dieses Bild erklärt die drei möglichen Ergebnisse:

• Die Geraden schneiden sich einmal: genau eine Lösung.
• Die Geraden sind parallel: keine Lösung. Man sagt, das System ist unlösbar.
• Die Geraden sind identisch: unendlich viele Lösungen. Das System ist lösbar, aber nicht eindeutig.

Verfahren 1: das grafische Verfahren

Bringe jede Gleichung in die Normalform $y = mx + b$, zeichne beide Geraden und lies den Schnittpunkt ab. Das grafische Verfahren zeigt am besten, was ein System bedeutet, und verrät sofort, ob die Geraden parallel oder identisch sind. Es ist aber ungenau: Ein Schnittpunkt bei $x = \frac{7}{3}$ lässt sich auf einer Skizze kaum ablesen. Nutze es zum Abschätzen und bestätige das Ergebnis dann rechnerisch. Beide Geraden gleichzeitig zeichnen kannst du mit dem Funktionsplotter.

Verfahren 2: das Einsetzungsverfahren

Löse eine Gleichung nach einer Unbekannten auf, setze diesen Term in die andere Gleichung ein und löse die verbleibende Gleichung mit einer Unbekannten. Das Einsetzungsverfahren ist die naheliegende Wahl, wenn eine Unbekannte schon den Koeffizienten 1 oder $-1$ hat.

Setze den eingesetzten Term immer in Klammern. $3x + 2x - 1$ zu schreiben, klappt hier nur zufällig, aber wenn du $y = 2x - 1$ in $3x - y = 9$ einsetzt, brauchst du $3x - (2x - 1)$, und die Klammer ändert das Vorzeichen der $-1$.

Verfahren 3: das Additionsverfahren

Addiere oder subtrahiere Vielfache der Gleichungen so, dass eine Unbekannte wegfällt. Das Additionsverfahren ist meist am schnellsten, wenn beide Gleichungen in der Form $ax + by = c$ vorliegen.

Passt kein Koeffizient zusammen, multipliziere vorher eine der Gleichungen oder beide, damit sie zusammenpassen.

Keine oder unendlich viele Lösungen erkennen

Fallen beim Additionsverfahren beide Unbekannten weg, schau dir an, was übrig bleibt.

• $x + y = 4$ und $2x + 2y = 10$. Verdoppelst du die erste, erhältst du $2x + 2y = 8$; nach dem Subtrahieren bleibt $0 = 2$, was falsch ist. Die Geraden sind parallel: Es gibt keine Lösung.
• $x + y = 4$ und $3x + 3y = 12$. Verdreifachst du die erste, erhältst du genau die zweite; nach dem Subtrahieren bleibt $0 = 0$. Alle Punkte der Geraden $x + y = 4$ sind Lösungen.

Noch vor dem Rechnen kannst du das an den Koeffizienten ablesen: Ist $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2}$, haben die Geraden dieselbe Steigung, und das System hat keine oder unendlich viele Lösungen.

Die Cramersche Regel mit Determinanten

Bei einem System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten liefern Determinanten jede Unbekannte direkt:

Für $2x + 3y = 12$ und $5x - 3y = 9$: $D = 2(-3) - 3(5) = -21$, $D_x = 12(-3) - 3(9) = -63$ und $D_y = 2(9) - 12(5) = -42$. Damit erhältst du $x = 3$ und $y = 2$, wie beim Additionsverfahren. Ist $D = 0$, ist die Regel nicht anwendbar, und genau das ist der Fall paralleler oder identischer Geraden. Die Anleitung zu Determinanten erklärt, wie man sie für größere Systeme berechnet.

Drei Gleichungen mit drei Unbekannten

Die Strategie bleibt dieselbe: Eliminiere eine Unbekannte in zwei verschiedenen Gleichungspaaren, um ein System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten zu erhalten, löse es und setze dann rückwärts ein.

Größere Systeme löst man meist mit Matrizen und dem Gauß-Verfahren; der Matrizenrechner zeigt genau diesen Ablauf.

Eine Anwendungsaufgabe

Zwei Unbekannte erfordern zwei voneinander unabhängige Angaben. Liefert eine Aufgabe nur eine, kann sie keine eindeutige Antwort haben.

Das Verfahren wählen und Fehler vermeiden

• Nimm das Einsetzungsverfahren, wenn eine Unbekannte schon allein steht oder den Koeffizienten 1 hat.
• Nimm das Additionsverfahren, wenn die Gleichungen in allgemeiner Form vorliegen, vor allem wenn die Koeffizienten schon gleich oder Gegenzahlen sind.
• Nimm die Cramersche Regel, um bei einem System mit zwei Gleichungen und zwei Unbekannten schnell zur Antwort zu kommen, oder wenn du eine Formel für jede Unbekannte brauchst.
• Prüfe das Ergebnis immer in beiden ursprünglichen Gleichungen, denn ein Rechenfehler kann einen Punkt liefern, der nur eine davon erfüllt.

Vergleiche deine Rechnung mit dem Rechner für Gleichungssysteme, der jeden Schritt des Additions- oder Einsetzungsverfahrens zeigt. Um die Schritte zum Lösen einer einzelnen Gleichung zu wiederholen, die in jedem Verfahren vorkommen, lies, wie man lineare Gleichungen löst.

Welches Verfahren wählen?

Alle Verfahren führen zur selben Lösung: Wähle das, bei dem die Rechnung am einfachsten wird. Das Einsetzungsverfahren ist ideal, wenn in einer Gleichung schon eine Unbekannte allein steht, wie bei $y = 2x - 1$, oder wenn eine Unbekannte den Koeffizienten 1 oder $-1$ hat. Das Additionsverfahren ist meist schneller, wenn beide Gleichungen in der Form $ax + by = c$ vorliegen und keine Unbekannte allein steht, weil es die Brüche ans Ende verschiebt.

Das grafische Verfahren dient der Veranschaulichung: zwei sich schneidende Geraden, zwei parallele Geraden oder dieselbe Gerade zweimal gezeichnet. Für exakte Werte ist es weniger zuverlässig, außer der Schnittpunkt hat ganzzahlige Koordinaten. Die Cramersche Regel und Matrixverfahren eignen sich für Systeme mit drei oder mehr Unbekannten, und genau diese verwenden Rechner und Programme intern.

Bei nichtlinearen Systemen, etwa einer Geraden und einer Parabel, ist das Einsetzungsverfahren fast immer die richtige Wahl. Aus $y = x^2$ und $y = x + 2$ folgt $x^2 = x + 2$, also $x^2 - x - 2 = 0$ und $(x - 2)(x + 1) = 0$. Die Schnittpunkte sind $(2, 4)$ und $(-1, 1)$, und beide erfüllen jede Gleichung.

Eine Lösung prüfen

Die Lösung eines Systems muss alle Gleichungen erfüllen, nicht nur die zuletzt verwendete. Setze deine Werte in jede ursprüngliche Gleichung ein. Im zweiten Beispiel zum Additionsverfahren ergibt $(2, 5)$ die Werte $3(2) + 2(5) = 16$ und $4(2) - 5(5) = -17$: Beide Gleichungen sind erfüllt. Ein Wert, der eine Gleichung erfüllt, die andere aber nicht, verrät einen Rechenfehler beim Addieren.

Schreib die Probe in deiner Klassenarbeit hin. Sie dauert weniger als eine Minute, und eine geprüfte Antwort wird bei der Korrektur oft positiv gewertet.

Der Rechner für Gleichungssysteme löst Systeme mit zwei und drei Unbekannten und zeigt jeden Schritt, was sich zum Vergleich mit deiner eigenen Rechnung gut eignet.

Häufige Fragen