So berechnest du die Determinante einer Matrix

Was die Determinante misst

Jede quadratische Matrix hat eine Determinante, geschrieben $\det(A)$ oder $|A|$. Nicht quadratische Matrizen haben keine. Die Determinante beantwortet sofort eine Schlüsselfrage: Eine quadratische Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante von null verschieden ist. Eine Determinante gleich null bedeutet, dass die Matrix den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammendrückt, sodass ein Teil der Information unwiderruflich verloren geht.

Geometrisch ist der Betrag der Determinante der Faktor, um den die Matrix Flächen in zwei Dimensionen oder Volumen in drei Dimensionen vergrößert. Das Vorzeichen zeigt, ob die Abbildung die Orientierung erhält oder umkehrt, wie ein Spiegel, der links und rechts vertauscht.

Die Formel für 2-mal-2-Matrizen

Bei einer $2 \times 2$-Matrix multiplizierst du die Einträge der Hauptdiagonalen und ziehst das Produkt der Einträge der Nebendiagonalen ab:

Hier ist die Deutung als Fläche leicht zu sehen. Die Spalten $(3, 1)$ und $(1, 2)$ der Matrix $\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ spannen ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt $|3 \cdot 2 - 1 \cdot 1| = 5$ auf, und das ist genau die Determinante.

Laplace-Entwicklung für 3-mal-3-Matrizen

Bei größeren Matrizen führt der Laplace’sche Entwicklungssatz das Problem auf kleinere Determinanten zurück. Wähle eine Zeile, zum Beispiel die erste. Streiche für jeden Eintrag seine Zeile und seine Spalte, um eine kleinere Matrix zu erhalten, deren Determinante Unterdeterminante oder Minor heißt, und multipliziere den Eintrag mit diesem Minor. Dann kombinierst du die Ergebnisse nach dem Schachbrettmuster der Vorzeichen $+, -, +$:

Du kannst nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte entwickeln, das Ergebnis ist immer dasselbe. Wähle die mit den meisten Nullen, denn jede Null lässt einen ganzen Summanden wegfallen.

Die Regel von Sarrus, eine Abkürzung nur für 3 mal 3

Für $3 \times 3$-Matrizen gibt es eine leicht zu merkende Abkürzung. Addiere die drei Produkte, die nach rechts unten verlaufen, wobei du über den Rand hinaus weiterzählst, und ziehe die drei Produkte ab, die nach links unten verlaufen. Für die Matrix aus Beispiel 2 sind die absteigenden Produkte $2 \cdot 0 \cdot 5 = 0$, $(-3)(-1)(1) = 3$ und $1 \cdot 2 \cdot 4 = 8$, deren Summe 11 ist. Die aufsteigenden Produkte sind $1 \cdot 0 \cdot 1 = 0$, $2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8$ und $(-3) \cdot 2 \cdot 5 = -30$, deren Summe $-38$ ist. Die Determinante ist $11 - (-38) = 49$, genau wie bei der Laplace-Entwicklung.

Vorsicht: Die Regel von Sarrus funktioniert nur bei $3 \times 3$-Matrizen. Wendet man dasselbe Diagonalschema auf eine $4 \times 4$-Matrix an, erhält man ein falsches Ergebnis, ein häufiger Fehler, der in Klausuren teuer wird.

Das Gauß-Verfahren für größere Matrizen

Die Laplace-Entwicklung wird schnell mühsam: Eine $10 \times 10$-Matrix würde Millionen von Produkten erfordern. Das Gauß-Verfahren ist viel effizienter. Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist einfach das Produkt der Diagonaleinträge: Man bringt die Matrix also auf Dreiecksform und berücksichtigt dabei, wie jede elementare Zeilenumformung die Determinante verändert:

• Addiert man zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen Zeile, ändert sich die Determinante nicht.
• Vertauscht man zwei Zeilen, wird die Determinante mit $-1$ multipliziert.
• Multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl $k$, wird die Determinante mit $k$ multipliziert.

Eigenschaften, die Zeit sparen

• Eine Matrix mit einer Nullzeile oder Nullspalte hat die Determinante 0.
• Eine Matrix mit zwei gleichen Zeilen oder mit einer Zeile, die ein Vielfaches einer anderen ist, hat die Determinante 0.
• Für eine $n \times n$-Matrix gilt $\det(kA) = k^n\det(A)$ und nicht $k\det(A)$.
• Die Determinante der Einheitsmatrix ist 1.

Mit diesen Regeln findest du viele Determinanten ganz ohne Rechnung. Merkst du, dass eine Zeile das Doppelte einer anderen ist, ist die Determinante null und die Matrix hat keine Inverse, was du mit dem Leitfaden zur inversen Matrix bestätigen kannst.

Die Cramersche Regel: Gleichungssysteme mit Determinanten lösen

Mit Determinanten lassen sich kleine lineare Gleichungssysteme direkt lösen. Für $2x + y = 5$ und $x - 3y = -1$ ist die Koeffizientendeterminante $D = 2(-3) - 1(1) = -7$. Ersetze die erste Spalte durch die rechte Seite, um $D_x = 5(-3) - 1(-1) = -14$ zu erhalten, und dann die zweite Spalte, um $D_y = 2(-1) - 5(1) = -7$ zu erhalten. Dann gilt $x = \frac{D_x}{D} = 2$ und $y = \frac{D_y}{D} = 1$.

Die Cramersche Regel ist elegant und praktisch für $2 \times 2$- und $3 \times 3$-Systeme, aber wenig effizient bei größeren Systemen, bei denen das Gauß-Verfahren schneller ist. Ist $D = 0$, hat das System keine oder unendlich viele Lösungen. Der Determinantenrechner zeigt die Schritte der Laplace-Entwicklung und des Gauß-Verfahrens für Matrizen jeder Größe, und der Matrizenrechner übernimmt die ergänzenden Rechnungen.

Ein 4-mal-4-Beispiel: Lass die Nullen arbeiten

Große Determinanten werden handlich, wenn man die Nullen ausnutzt. Betrachte die Matrix mit den Zeilen $(1, 0, 2, 0)$, $(3, 1, 0, 0)$, $(0, 0, 2, 1)$ und $(0, 0, 0, 4)$. Die letzte Zeile hat drei Nullen: Entwickelt man nach ihr, bleibt ein einziger Summand übrig, der Eintrag 4 an einer Position mit Pluszeichen, multipliziert mit der Determinante der $3 \times 3$-Matrix, die durch Streichen der letzten Zeile und der letzten Spalte entsteht.

Diese kleinere Matrix hat die Zeilen $(1, 0, 2)$, $(3, 1, 0)$ und $(0, 0, 2)$. Auch ihre letzte Zeile hat zwei Nullen, also entwickelt man erneut: Der Eintrag 2 mal $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1$ ergibt 2. Die gesamte Determinante ist daher $4 \cdot 2 = 8$. Ohne die Nullen würde dieselbe Rechnung vierundzwanzig Produkte aus je vier Zahlen erfordern.

Häufige Fehler, die du vermeiden solltest

• Den Vorzeichenwechsel der Laplace-Entwicklung vergessen, vor allem das Minuszeichen an der zweiten Stelle der ersten Zeile.
• Die Diagonalregel von Sarrus auf eine $4 \times 4$-Matrix oder größer anwenden.
• Beim Gauß-Verfahren eine Zeile mit einer Zahl multiplizieren, ohne die Determinante zu korrigieren.
• Zwei Zeilen vertauschen und vergessen, das Vorzeichen zu wechseln.
• Annehmen, dass $\det(A + B) = \det(A) + \det(B)$ gilt, was im Allgemeinen falsch ist; nur Produkte lassen sich sauber trennen.

Eine gute Gewohnheit ist es, eine $3 \times 3$-Determinante auf zwei Arten zu berechnen, zum Beispiel durch Entwicklung nach einer Zeile und dann nach einer Spalte, die eine Null enthält. Stimmen die Ergebnisse überein, kannst du ihnen vertrauen; weichen sie ab, führt dich der Unterschied zu einem Vorzeichenfehler.

Determinanten in drei Dimensionen

In drei Dimensionen ist der Betrag einer $3 \times 3$-Determinante das Volumen des Spats, eines schiefen Quaders, dessen Kanten die drei Spaltenvektoren sind. Die Matrix aus Beispiel 2 bildet einen Einheitswürfel also auf einen Körper mit dem Volumen 49 ab. Dieselbe Idee liefert einen schnellen Test, ob drei Vektoren in einer Ebene liegen: Das tun sie genau dann, wenn die Determinante null ist, denn ein plattgedrückter Quader hat kein Volumen. Das Kreuzprodukt hängt eng damit zusammen, da man es meist als symbolische $3 \times 3$-Determinante berechnet.

Häufige Fragen