Determinantenrechner

Über den Determinantenrechner

Die Determinante fasst eine quadratische Matrix in einer einzigen Zahl zusammen, die mehrere wichtige Fragen auf einmal beantwortet. Ist die Matrix invertierbar? Hat das lineare Gleichungssystem, das sie darstellt, eine eindeutige Lösung? Um welchen Faktor vervielfacht die Abbildung Flächen oder Volumen, und kehrt sie die Orientierung um? All das lässt sich an der Determinante ablesen.

Dieser Rechner bestimmt die Determinante quadratischer Matrizen jeder vernünftigen Größe. Er wählt das Verfahren aus dem Lehrbuch: das Kreuzprodukt der Diagonalen bei $2 \times 2$ -Matrizen, die Entwicklung nach der ersten Zeile bei $3 \times 3$ -Matrizen und die Elimination auf obere Dreiecksform ab $4 \times 4$ . Brüche und Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt: Die Antwort ist also exakt.

Was ist eine Determinante?

Die Determinante ist eine Zahl $\det(A)$ , auch $|A|$ geschrieben, die für jede quadratische Matrix definiert ist. Für eine $2 \times 2$ -Matrix ist sie $ad - bc$ . Für größere Matrizen wird sie rekursiv über die Laplace-Entwicklung definiert oder, gleichwertig, als vorzeichenbehaftete Summe über alle Permutationen der Spalten.

Geometrisch ist $|\det(A)|$ der Faktor, um den die lineare Abbildung $A$ Flächen in zwei Dimensionen oder Volumen in drei Dimensionen vervielfacht. Eine negative Determinante bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt, wie eine Spiegelung, und eine Determinante null bedeutet, dass sie den Raum auf eine niedrigere Dimension zusammendrückt.

So benutzt du den Determinantenrechner

Gib eine quadratische Matrix mit Leerzeichen zwischen den Einträgen und Semikolons zwischen den Zeilen ein, zum Beispiel 2 -3 1; 2 0 -1; 1 4 5.
Klicke auf Determinante berechnen.
Lies das für die Größe deiner Matrix verwendete Verfahren und jeden Zwischenwert ab.
Prüfe, ob die Determinante null ist, um zu wissen, ob die Matrix invertierbar ist.

Formeln

2×2-Determinante

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

Laplace-Entwicklung (erste Zeile)

\det(A) = \sum_{j} (-1)^{1+j}\, a_{1j}\, M_{1j}

Determinante eines Produkts

\det(AB) = \det(A)\,\det(B)

Dreiecksmatrix

\det(U) = u_{11}\,u_{22}\cdots u_{nn}

Durchgerechnetes Beispiel: 3×3-Matrix

Das Beispiel berechnet die Determinante der $3 \times 3$ -Matrix mit den Zeilen $(2, -3, 1)$ , $(2, 0, -1)$ und $(1, 4, 5)$ durch Entwicklung nach der ersten Zeile. Jeder Eintrag der ersten Zeile wird mit dem $2 \times 2$ -Minor multipliziert, der durch Streichen seiner Zeile und Spalte entsteht, mit den Vorzeichen $+$ , $-$ , $+$ .

Die Minoren sind 4, 11 und 8: Die Determinante ist also $2 \cdot 4 - (-3) \cdot 11 + 1 \cdot 8 = 8 + 33 + 8 = 49$ . Ein Wert ungleich null bedeutet, dass diese Matrix invertierbar ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

\det A = 49

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Die Determinante einer 3×3-Matrix berechnen.

\det \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die 3×3-Matrix einlesen
$A = \begin{bmatrix}2 & -3 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 5\end{bmatrix}$
Nach der ersten Zeile entwickeln (Laplace-Entwicklung)
$\det A = (2)\begin{vmatrix}0 & -1 \\ 4 & 5\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 1 & 5\end{vmatrix} + (1)\begin{vmatrix}2 & 0 \\ 1 & 4\end{vmatrix}$
Jeden 2×2-Minor berechnen
$M_{11} = 4,\quad M_{12} = 11,\quad M_{13} = 8$
Mit den wechselnden Vorzeichen + − + zusammenfassen
$\det A = (2)(4) - (-3)(11) + (1)(8) = 49$

Verwendete Formeln

2×2-Determinante
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
Laplace-Entwicklung
$\det A = \sum_{j} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$

Die Determinante ist 49 und damit ungleich null: Die Matrix ist also invertierbar, und ihre Zeilen sind linear unabhängig.

Probe

Exakt mit Brüchen berechnet; das gaußsche Eliminationsverfahren liefert denselben Wert 49.

Ausführliche Erklärung

Laplace-Entwicklung

Der Minor $M_{ij}$ ist die Determinante der Matrix, die durch Streichen von Zeile $i$ und Spalte $j$ entsteht. Der Kofaktor versieht ihn mit dem Vorzeichen $(-1)^{i+j}$ , das einem Schachbrettmuster folgt, beginnend mit $+$ oben links. Die Entwicklung nach jeder beliebigen Zeile oder Spalte liefert dasselbe Ergebnis: Von Hand wählt man am besten eine Zeile oder Spalte mit Nullen.

Die Laplace-Entwicklung ist ideal für $3 \times 3$ -Matrizen, wächst aber sehr schnell: Eine $4 \times 4$ -Entwicklung braucht vier $3 \times 3$ -Determinanten, und eine $10 \times 10$ -Entwicklung bräuchte Millionen von Termen. Deshalb wechselt der Rechner bei großen Matrizen das Verfahren.

Umformung auf Dreiecksform mit dem gaußschen Eliminationsverfahren

Addiert man zu einer Zeile ein Vielfaches einer anderen, ändert sich die Determinante nicht, vertauscht man zwei Zeilen, wechselt ihr Vorzeichen, und multipliziert man eine Zeile mit einer Zahl, wird die Determinante mit derselben Zahl multipliziert. Mit diesen Regeln eliminiert der Rechner die Einträge unter jedem Pivotelement, bis eine obere Dreiecksmatrix entsteht, und multipliziert dann die Diagonaleinträge. Für die $4 \times 4$ -Matrix mit den Zeilen $(1, 0, 2, 0)$ , $(0, 3, 0, 1)$ , $(2, 0, 1, 0)$ und $(0, 1, 0, 2)$ ergibt sich $-15$ .

Was bedeutet eine Determinante null?

Eine Determinante null bedeutet, dass die Zeilen linear abhängig sind: Mindestens eine Zeile ist eine Linearkombination der anderen. Die Matrix hat keine Inverse, und das System $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ hat entweder keine oder unendlich viele Lösungen. Die Matrix mit den Zeilen $(1, 2, 3)$ , $(4, 5, 6)$ und $(7, 8, 9)$ ist das klassische Beispiel; ihre Determinante ist 0, weil die mittlere Zeile der Mittelwert der beiden anderen ist.

Determinanten tauchen auch in der cramerschen Regel zum Lösen kleiner Gleichungssysteme auf, im charakteristischen Polynom $\det(A - \lambda I) = 0$ , dessen Nullstellen die Eigenwerte sind, und in der Transformationsformel für Mehrfachintegrale.

Häufige Fehler

$ad + bc$ oder $ab - cd$ statt $ad - bc$ berechnen.
Die wechselnden Vorzeichen der Laplace-Entwicklung vergessen.
Den falschen Minor verwenden, weil die falsche Zeile oder Spalte gestrichen wurde.
Den Vorzeichenwechsel beim Vertauschen von Zeilen während der Umformung vergessen.
Versuchen, die Determinante einer nicht quadratischen Matrix zu berechnen.

Tipps

Entwickle nach der Zeile oder Spalte mit den meisten Nullen.
Ziehe zuerst einen gemeinsamen Faktor aus einer Zeile heraus; die Determinante wird mit derselben Zahl multipliziert.
Sind zwei Zeilen gleich oder proportional, ist die Determinante ohne weitere Rechnung 0.
Nutze $\det(A^{T}) = \det(A)$ , um nach einer Spalte zu entwickeln, wenn das bequemer ist.
Nutze den Rechner für inverse Matrizen, wenn die Determinante ungleich null ist und du $A^{-1}$ brauchst.
Nutze den Eigenwertrechner, der auf $\det(A - \lambda I)$ beruht.

Häufige Fragen

Wie berechnet man die Determinante einer 2×2-Matrix?

Multipliziere die Einträge der Hauptdiagonale und ziehe das Produkt der anderen Diagonale ab: Für die Zeilen (a, b) und (c, d) ist die Determinante ad − bc.

Wie berechnet man die Determinante einer 3×3-Matrix?

Entwickle nach einer Zeile: Multipliziere jeden Eintrag mit seinem 2×2-Minor, setze die Vorzeichen +, −, + und addiere. Der Rechner zeigt jeden Minor und die Endsumme.

Welches Verfahren wird bei 4×4-Matrizen oder größeren verwendet?

Die Umformung auf obere Dreiecksform mit dem gaußschen Eliminationsverfahren, gefolgt vom Produkt der Diagonaleinträge. Bei großen Matrizen ist das viel schneller als die Laplace-Entwicklung.

Was bedeutet eine Determinante gleich null?

Dass die Matrix singulär ist: Ihre Zeilen sind linear abhängig, sie hat keine Inverse, und das zugehörige lineare Gleichungssystem hat keine eindeutige Lösung.

Kann eine Determinante negativ sein?

Ja. Eine negative Determinante bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt. Ihr Betrag bleibt der Skalierungsfaktor für Flächen oder Volumen.

Kann ich die Determinante einer nicht quadratischen Matrix berechnen?

Nein. Die Determinante ist nur für quadratische Matrizen definiert, und der Rechner nennt die Größe einer nicht quadratischen Eingabe.

Werden Brüche akzeptiert?

Ja. Brüche und Dezimalzahlen werden in exakte Brüche umgewandelt: Die Determinante ist also exakt.

Probier den Determinantenrechner aus

Gib eine quadratische Matrix ein und erhalte ihre exakte Determinante mit dem passenden Verfahren und jedem Schritt erklärt.

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