Kreuzprodukt-Rechner

Über den Kreuzprodukt-Rechner

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt) nimmt zwei räumliche Vektoren und liefert einen dritten Vektor, der zu beiden orthogonal ist. Es ist die übliche Methode, um einen Normalenvektor einer Ebene zu finden, den Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Dreiecks in 3D zu berechnen und Drehgrößen der Physik wie Drehmoment und Drehimpuls zu beschreiben.

Dieser Rechner bestimmt $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ für räumliche Vektoren mit der bekannten Determinantenschreibweise, bei der $\mathbf{i}$ , $\mathbf{j}$ und $\mathbf{k}$ in der ersten Zeile stehen. Er zeigt jede Komponente einzeln, einschließlich des Vorzeichenwechsels beim mittleren Term, der Quelle der meisten Fehler, und gibt dann den Betrag an und bestätigt, dass das Ergebnis zu beiden gegebenen Vektoren orthogonal ist.

Was ist das Kreuzprodukt?

Für die Vektoren $\mathbf{u} = \langle u_1, u_2, u_3 \rangle$ und $\mathbf{v} = \langle v_1, v_2, v_3 \rangle$ ist das Kreuzprodukt der Vektor $\langle u_2v_3 - u_3v_2,\; u_3v_1 - u_1v_3,\; u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$ . Es ist für Vektoren im dreidimensionalen Raum definiert, und das Ergebnis ist ebenfalls ein räumlicher Vektor.

Er steht senkrecht auf $\mathbf{u}$ und auf $\mathbf{v}$ , und seine Orientierung ergibt sich aus der Rechte-Hand-Regel: Krümme die Finger der rechten Hand von $\mathbf{u}$ nach $\mathbf{v}$ , dann zeigt der Daumen in Richtung von $\mathbf{u} \times \mathbf{v}$ . Sein Betrag ist $|\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta$ , der Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms.

So benutzt du den Kreuzprodukt-Rechner

Gib die drei Komponenten des ersten Vektors durch Kommas getrennt ein, zum Beispiel 1, 2, 3.
Gib die drei Komponenten des zweiten Vektors ein.
Klicke auf Berechnen.
Lies die i-, j- und k-Komponenten und den resultierenden Vektor ab.
Nutze den Betragsschritt für Flächeninhalte und die Orthogonalitätsprobe, um das Ergebnis zu bestätigen.

Formeln

Determinantenschreibweise

\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \end{vmatrix}

Betrag

|\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = |\mathbf{u}|\,|\mathbf{v}|\sin\theta

Antikommutativität

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = -(\mathbf{u} \times \mathbf{v})

Flächeninhalt des Dreiecks

A = \tfrac12\,|\mathbf{u} \times \mathbf{v}|

Durchgerechnetes Beispiel: ⟨1,2,3⟩ × ⟨4,5,6⟩

Das Beispiel berechnet das Kreuzprodukt von $\mathbf{u} = \langle 1, 2, 3 \rangle$ und $\mathbf{v} = \langle 4, 5, 6 \rangle$ . Die $\mathbf{i}$ -Komponente ist $2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = -3$ , die $\mathbf{j}$ -Komponente ist $-(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4) = 6$ und die $\mathbf{k}$ -Komponente ist $1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = -3$ .

Also ist $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \langle -3, 6, -3 \rangle$ mit dem Betrag $\sqrt{54} = 3\sqrt6 \approx 7.348$ , dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Sein Skalarprodukt mit jedem der gegebenen Vektoren ist 0, was bestätigt, dass er zu ihnen orthogonal ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

u \times v = \langle -3, 6, -3 \rangle

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren.

\langle 1, 2, 3 \rangle \times \langle 4, 5, 6 \rangle

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Determinante mit den Einheitsvektoren i, j, k in der ersten Zeile aufschreiben
$u \times v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix}$
i-Komponente
$(2)(6) - (3)(5) = -3$
j-Komponente (Achtung auf das Minuszeichen in der Entwicklung)
$-\big((1)(6) - (3)(4)\big) = 6$
k-Komponente
$(1)(5) - (2)(4) = -3$
Betrag = Flächeninhalt des von u und v aufgespannten Parallelogramms
$|u \times v| = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7.348469228$
Orthogonalität prüfen
$(u\times v) u = 0,\quad (u\times v) v = 0$

Verwendete Formeln

Kreuzprodukt
$u \times v = \langle u_2v_3 - u_3v_2,\ u_3v_1 - u_1v_3,\ u_1v_2 - u_2v_1 \rangle$
Betrag
$|u \times v| = |u||v|\sin\theta$

Das Ergebnis steht senkrecht auf u und v; sein Betrag 3√6 ≈ 7.348469228 ist der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Parallelogramms (das Dreieck hat die Hälfte dieser Fläche).

Probe

Das Ergebnis steht senkrecht auf beiden Eingabevektoren (beide Skalarprodukte sind 0).

Ausführliche Erklärung

Die Determinantenmethode

Die Einheitsvektoren in die erste Zeile einer $3 \times 3$ -Determinante zu schreiben und nach dieser Zeile zu entwickeln, ist die einfachste Art, sich die Formel zu merken. Jede Komponente ist eine $2 \times 2$ -Determinante aus den Spalten, die nicht zu diesem Einheitsvektor gehören. Der mittlere Term bekommt ein Minuszeichen aus dem Vorzeichenmuster der Kofaktoren $+, -, +$ ; deshalb hebt der Rechner ihn ausdrücklich hervor.

Das Kreuzprodukt ist distributiv bezüglich der Addition, $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \times \mathbf{v} + \mathbf{u} \times \mathbf{w}$ , und multipliziert man einen der Vektoren mit einem Skalar, vervielfacht sich das Ergebnis entsprechend. Assoziativ ist es dagegen nicht: $(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \times \mathbf{w}$ und $\mathbf{u} \times (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ sind im Allgemeinen verschiedene Vektoren. Für ebene Vektoren wie $\langle 1, 2, 0 \rangle$ und $\langle 3, 4, 0 \rangle$ zeigt das Ergebnis $\langle 0, 0, -2 \rangle$ entlang der $z$ -Achse direkt nach unten, und sein Betrag 2 ist der Flächeninhalt des Parallelogramms in der Ebene.

Geometrische Deutung

Der Betrag des Kreuzprodukts ist gleich dem Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Seiten $\mathbf{u}$ und $\mathbf{v}$ ; die Hälfte davon ist also der Flächeninhalt des Dreiecks, das sie bilden. Für ein Dreieck mit den Eckpunkten $P$ , $Q$ und $R$ berechnest du das Kreuzprodukt von $\overrightarrow{PQ}$ und $\overrightarrow{PR}$ und halbierst seinen Betrag.

Sind die Vektoren parallel, fällt das Parallelogramm flach zusammen, und das Kreuzprodukt ist der Nullvektor. Für $\langle 1, 2, 3 \rangle$ und $\langle 2, 4, 6 \rangle$ liefert der Rechner $\langle 0, 0, 0 \rangle$ , was einen schnellen Test auf Parallelität ergibt.

Normalenvektoren, Ebenen und Physik

Das Kreuzprodukt zweier Richtungsvektoren einer Ebene liefert einen Normalenvektor der Ebene, und mit einem Punkt der Ebene kannst du ihre Gleichung $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$ aufstellen. In der Computergrafik liefert dieselbe Rechnung die Flächennormalen für die Beleuchtung.

In der Physik ist das Drehmoment $\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$ , und die magnetische Kraft auf eine bewegte Ladung ist $q\,\mathbf{v} \times \mathbf{B}$ . In beiden Fällen steht das Ergebnis senkrecht auf der Ebene der beiden Vektoren, wie es die Rechte-Hand-Regel vorhersagt.

Häufige Fehler

Das Minuszeichen der $\mathbf{j}$ -Komponente vergessen.
Annehmen, dass $\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \mathbf{v} \times \mathbf{u}$ gilt; vertauscht man die Reihenfolge, kehrt sich die Richtung um.
Das Kreuzprodukt auf ebene Vektoren anwenden, ohne vorher eine dritte Komponente null zu ergänzen.
Das Kreuzprodukt mit dem Skalarprodukt verwechseln, das eine Zahl liefert.
Vergessen, den Betrag zu halbieren, um den Flächeninhalt eines Dreiecks zu erhalten.

Tipps

Kontrolliere deine Antwort, indem du ihr Skalarprodukt mit jedem gegebenen Vektor berechnest; beide Ergebnisse müssen 0 sein.
Merke dir $\mathbf{i} \times \mathbf{j} = \mathbf{k}$ , $\mathbf{j} \times \mathbf{k} = \mathbf{i}$ und $\mathbf{k} \times \mathbf{i} = \mathbf{j}$ als Eselsbrücke.
Gib bei 2D-Vektoren 0 als dritte Komponente ein; die Antwort zeigt dann in Richtung der $z$ -Achse.
Nutze den Skalarprodukt-Rechner, um den Winkel zwischen den Vektoren zu bestimmen.
Nutze den Determinantenrechner, um das Spatprodukt $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} \times \mathbf{w})$ als $3 \times 3$ -Determinante zu berechnen.
Zeichne die beiden Vektoren und wende die Rechte-Hand-Regel an, um das Vorzeichen jeder Komponente vor dem Rechnen vorherzusagen.

Häufige Fragen

Wie berechnet man das Kreuzprodukt?

Schreibe i, j und k in die erste Zeile einer 3×3-Determinante und die beiden Vektoren in die folgenden Zeilen, und entwickle dann nach der ersten Zeile. Vergiss das Minuszeichen der j-Komponente nicht.

Was gibt der Betrag des Kreuzprodukts an?

Den Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Die Hälfte davon ist der Flächeninhalt des Dreiecks, das sie bilden.

Ist das Kreuzprodukt kommutativ?

Nein. Vertauscht man die Reihenfolge, kehrt sich die Richtung um: v × u = −(u × v).

Kann ich das Kreuzprodukt von 2D-Vektoren berechnen?

Nicht direkt; das Kreuzprodukt ist für drei Komponenten definiert. Ergänze bei jedem Vektor 0 als dritte Komponente, dann zeigt das Ergebnis in Richtung der z-Achse.

Was bedeutet ein Kreuzprodukt gleich null?

Dass die Vektoren parallel sind (oder einer von ihnen der Nullvektor ist): Sie spannen also keine Fläche auf.

Wie überprüft man ein Kreuzprodukt?

Berechne sein Skalarprodukt mit jedem der ursprünglichen Vektoren. Beide Ergebnisse müssen null sein, weil das Kreuzprodukt zu beiden gegebenen Vektoren orthogonal ist. Der Rechner macht diese Probe für dich.

Wie findet man einen Normalenvektor einer Ebene?

Nimm zwei nicht parallele Vektoren, die in der Ebene liegen, und berechne ihr Kreuzprodukt. Das Ergebnis steht senkrecht auf der Ebene.

Probier den Kreuzprodukt-Rechner aus

Gib zwei 3D-Vektoren ein und erhalte das Kreuzprodukt, seinen Betrag und die Orthogonalitätsprobe, Schritt für Schritt.

Rechner verwenden Den KI-Löser fragen