Kosinussatz-Rechner

Q: Wann verwendet man den Kosinussatz?

Wenn du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) oder alle drei Seiten (SSS) kennst. In diesen Fällen ist keine Seite zusammen mit ihrem gegenüberliegenden Winkel bekannt, sodass du nicht mit dem Sinussatz beginnen kannst.

Q: Wie berechnet man einen Winkel mit dem Kosinussatz?

Löse die Formel nach dem Kosinus auf, cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), setze die drei Seitenlängen ein und wende den Arkuskosinus an.

Q: Wie hängen Kosinussatz und Satz des Pythagoras zusammen?

Misst der Winkel C genau 90°, ist cos C gleich 0, und die Formel wird zu c² = a² + b². Der Kosinussatz ist die allgemeine Form, die für jedes Dreieck gilt.

Q: Was passiert, wenn meine drei Seiten kein Dreieck bilden?

Der Rechner prüft die Dreiecksungleichung und zeigt einen Fehler an, wenn eine Seite mindestens so lang ist wie die beiden anderen zusammen, etwa bei den Seiten 1, 2 und 5.

Q: Sind die Ergebnisse exakt oder gerundet?

Ist die dritte Seite eine Quadratwurzel, erscheint sie in exakter Form, etwa √39 oder 2√19, zusammen mit einem Dezimalwert. Die Winkel werden in Dezimalgrad angegeben.

Q: Wie wird der Flächeninhalt berechnet?

Mit der Formel Flächeninhalt = ½ab sin C aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel. Im Modus SSS wird der Winkel zuerst berechnet.

Q: Kann der Kosinussatz zwei Dreiecke liefern?

Nein. Angaben nach SWS oder SSS legen immer genau ein Dreieck fest. Der mehrdeutige Fall mit zwei möglichen Dreiecken tritt nur bei SsW mit dem Sinussatz auf.

Über den Kosinussatz-Rechner

Rechtwinklige Dreiecke löst du mit dem Satz des Pythagoras und einfacher Trigonometrie, doch die meisten Dreiecke in Vermessung, Navigation, Technik und Physik haben keinen rechten Winkel. Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf jedes Dreieck; er ist das richtige Werkzeug, wenn du zwei Seiten und den von ihnen eingeschlossenen Winkel kennst oder alle drei Seiten und keinen Winkel.

Dieser Rechner behandelt beide Fälle. Im Modus SWS bestimmt er die dritte Seite, wobei er eine exakte Wurzel wie $\sqrt{39}$ beibehält, wenn es eine gibt, und danach die beiden übrigen Winkel. Im Modus SSS prüft er, ob die Seiten ein Dreieck bilden können, und bestimmt alle drei Winkel. In beiden Modi endet er mit dem Flächeninhalt.

Was ist der Kosinussatz?

In einem Dreieck mit den Seiten $a$ , $b$ und $c$ , die den Winkeln $A$ , $B$ und $C$ gegenüberliegen, besagt der Kosinussatz $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ . Dieselbe Beziehung gilt für jede Seite mit ihrem gegenüberliegenden Winkel.

Für $C = 90°$ ist $\cos C = 0$ , und die Formel wird zu $c^2 = a^2 + b^2$ , dem Satz des Pythagoras. Der zusätzliche Term $-2ab\cos C$ korrigiert je nach Winkel: Er verkürzt $c$ , wenn $C$ spitz ist, und verlängert es, wenn $C$ stumpf ist, weil der Kosinus eines stumpfen Winkels negativ ist.

So benutzt du den Kosinussatz-Rechner

Wähle SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel) oder SSS (drei Seiten).
Gib die Seiten $a$ und $b$ ein.
Gib im Modus SWS den eingeschlossenen Winkel $C$ in Grad ein; im Modus SSS gibst du die dritte Seite $c$ ein.
Starte die Berechnung, um die fehlende Seite oder die Winkel und danach den Flächeninhalt zu sehen.
Prüfe das Ergebnis: Die Winkelsumme muss 180° ergeben, und der größte Winkel muss der größten Seite gegenüberliegen.

Formeln

Kosinussatz

c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Nach dem Winkel aufgelöst

\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}

Winkelsumme

A + B + C = 180^\circ

Flächeninhalt (SWS)

K = \tfrac12 ab\sin C

Durchgerechnetes Beispiel: a = 5, b = 7, C = 60°

Im Beispiel ist $a = 5$ , $b = 7$ und der eingeschlossene Winkel $C = 60°$ . Wegen $\cos 60° = \frac12$ liefert die Formel $c^2 = 25 + 49 - 35 = 39$ , also $c = \sqrt{39} \approx 6.245$ .

Anschließend bestimmt die Engine den Winkel $A$ mit dem nach dem Kosinus aufgelösten Kosinussatz, etwa $43.898°$ , und den Winkel $B$ über die Winkelsumme, etwa $76.102°$ . Der Flächeninhalt beträgt $\frac12 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60° = \frac{35\sqrt3}{4} \approx 15.155$ .

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

c = √39 ≈ 6.244997998; A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°

So haben wir deine Aufgabe verstanden

SWS: die dritte Seite und die übrigen Winkel bestimmen

Lösungsweg Schritt für Schritt

In c² = a² + b² − 2ab·cos C einsetzen
$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2(5)(7)\cos 60^\circ = 39$
Die Wurzel ziehen
$c = \sqrt{39} = \sqrt{39} \approx 6.244997998$
Winkel A mit dem umgestellten Kosinussatz bestimmen
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \approx 0.72057669 \Rightarrow A \approx 43.897886^\circ$
Die Winkel eines Dreiecks ergeben zusammen 180°
$B = 180^\circ - A - C \approx 76.102114^\circ$
Flächeninhalt aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel
$\text{Flächeninhalt} = \tfrac12ab\sin C \approx 15.155445$

Verwendete Formeln

Kosinussatz
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Nach einem Winkel aufgelöst
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
Flächeninhalt
$\text{Flächeninhalt} = \tfrac12 ab\sin C$

Das Dreieck hat die Seiten a = 5, b = 7, c ≈ 6.244998 und die Winkel A ≈ 43.897886°, B ≈ 76.102114°, C ≈ 60°. Es ist ein spitzwinkliges, unregelmäßiges Dreieck mit dem Flächeninhalt ≈ 15.155445 und dem Umfang ≈ 18.244998.

Probe

A + B + C = 180°.
Die Heronsche Formel liefert denselben Flächeninhalt: 15.155445.
Verhältnisse nach dem Sinussatz: a/sin A ≈ 7.2111026, b/sin B ≈ 7.2111026, c/sin C ≈ 7.2111026.

Ausführliche Erklärung

Ein Dreieck nach SWS berechnen

Mit zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel liefert der Kosinussatz direkt die dritte Seite. Es gibt nur ein mögliches Dreieck, also keine Mehrdeutigkeit. Sind alle drei Seiten bekannt, liefert die nach dem Kosinus aufgelöste Formel einen Winkel nach dem anderen. Der Rechner verwendet für den zweiten Winkel den Kosinussatz statt des Sinussatzes, weil die Kosinusformel einen spitzen Winkel nicht mit seinem stumpfen Nebenwinkel verwechselt.

Stumpfe eingeschlossene Winkel werden genauso behandelt. Für $a = 4$ , $b = 6$ und $C = 120°$ ist $\cos 120° = -\frac12$ , also $c^2 = 16 + 36 + 24 = 76$ und $c = 2\sqrt{19} \approx 8.718$ , größer als jede der beiden gegebenen Seiten, wie zu erwarten.

Ein Dreieck nach SSS berechnen

Drei Längen bilden nur dann ein Dreieck, wenn die Summe von zwei beliebigen immer größer als die dritte ist: Das ist die Dreiecksungleichung. Der Rechner prüft das zuerst: Die Seiten 1, 2 und 5 werden abgelehnt, weil $1 + 2 < 5$ ist. Bei gültigen Seiten berechnet er den Winkel $C$ und dann den Winkel $A$ , beide mit der nach dem Kosinus aufgelösten Formel, und bestimmt $B$ über die Winkelsumme. Gibst du die größte Seite als $c$ ein, zeigt der erste berechnete Winkel, ob das Dreieck spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ist: Die Seiten 3, 4 und 5 ergeben $C = 90°$ .

Kosinussatz oder Sinussatz?

Verwende den Kosinussatz in den Fällen SWS und SSS, in denen kein Paar aus einer Seite und ihrem gegenüberliegenden Winkel bekannt ist. Verwende den Sinussatz in den Fällen WSW, SWW und SsW, in denen mindestens eine Seite mit ihrem gegenüberliegenden Winkel bekannt ist. Der Fall SsW kann zwei Lösungen haben; die Fälle des Kosinussatzes haben nie zwei, weshalb er der sicherere Ausgangspunkt ist, wenn du die Wahl hast.

Häufige Fehler

Im Modus SWS einen Winkel verwenden, der nicht zwischen den beiden gegebenen Seiten liegt.
Den Faktor 2 in $2ab\cos C$ vergessen.
Den Taschenrechner im Bogenmaßmodus lassen, obwohl der Winkel in Grad angegeben ist.
$2ab$ subtrahieren, bevor mit $\cos C$ multipliziert wird, was die Rechenreihenfolge verletzt.
Die Prüfung der Dreiecksungleichung überspringen und einen unmöglichen Kosinus größer als 1 erhalten.

Tipps

Beschrifte das Dreieck so, dass die unbekannte Seite $c$ und der bekannte Winkel $C$ heißt.
Der größte Winkel liegt immer der größten Seite gegenüber; nutze das zur Kontrolle der Antwort.
Behalte exakte Werte wie $\sqrt{39}$ bis zum letzten Schritt bei, damit sich keine Rundungsfehler ansammeln.
Nutze den Einheitskreis-Rechner, um die exakten Kosinuswerte besonderer Winkel zu finden.
Bei rechtwinkligen Dreiecken sind die Abstandsformel und der Satz des Pythagoras schneller.

Häufige Fragen

Wann verwendet man den Kosinussatz?