Rechner für trigonometrische Identitäten

Die Sinus-Kosinus-Strategie

Jede trigonometrische Funktion lässt sich mit Sinus und Kosinus schreiben; führt man alles auf diese beiden Funktionen zurück, sprechen beide Seiten einer Identität dieselbe Sprache. Tangens, Kotangens, Sekans und Kosekans werden zu Brüchen, und das Problem reduziert sich auf Bruchterme in $\sin x$ und $\cos x$.

Stehen beide Seiten als Brüche da, macht das Subtrahieren und Gleichnamigmachen aus der Identität eine einzige Aussage: Ein bestimmter Zähler muss null sein. Die Nenner musst du nicht weiter untersuchen, denn sie zeigen nur, wo die ursprünglichen Terme nicht definiert waren.

Die letzte Hürde ist, dass $\sin x$ und $\cos x$ nicht unabhängig sind: Sie hängen über $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ zusammen. Ersetzt du jede gerade Potenz des Kosinus durch Potenzen von $1 - \sin^2 x$, beseitigst du diese Abhängigkeit für die geraden Potenzen. Nach dem Zusammenfassen gleichartiger Terme bleibt bei einer wahren Identität nichts übrig. Deshalb liefert die Methode für die zulässigen Terme immer eine klare Antwort, anders als das Ausprobieren, bei dem man eine Seite wählt und Schritt für Schritt umformt.

Vielfache Winkel und Verschiebungen

Winkel wie $2x$ und $3x$ werden zuerst in Funktionen von $x$ selbst aufgelöst. Die Doppelwinkelformeln liefern $\sin 2x$ und $\cos 2x$, und die wiederholte Anwendung der Additionstheoreme liefert $\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x$. Der Rechner prüft diese Identität ebenso wie $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$ mit genau demselben Verfahren wie jede andere Eingabe.

Verschiebungen um ein Vielfaches von $\frac{\pi}{2}$ werden mit den Verschiebungsformeln behandelt. Allgemein akzeptiert der Rechner jeden Winkel der Form $kx + m\cdot\frac{\pi}{2}$ mit ganzen Zahlen $k$ und $m$. Halbe Winkel wie $\frac{x}{2}$ und beliebige Verschiebungen wie $x + 1$ lassen sich nicht auf Polynome in $\sin x$ und $\cos x$ zurückführen; deshalb lehnt der Rechner sie mit einer Erklärung ab, statt einen unzuverlässigen Beweis zu liefern.

Der Rechner arbeitet mit einer einzigen Variablen. Ein Additionstheorem wie $\sin(x + y) = \sin x\cos y + \cos x\sin y$ hat zwei unabhängige Winkel und liegt außerhalb seiner Reichweite; er weist darauf hin, statt den Beweis zu versuchen.

Eine Gleichung widerlegen

Lässt sich der Zähler nicht auf null zurückführen, ist die Gleichung keine Identität. Um das greifbar zu machen, berechnet der Rechner beide Seiten an einem Testwinkel und zeigt, dass sie verschieden sind. Beim klassischen Fehler $\sin 2x = 2\sin x$ gibt er an, dass bei $x = 30°$ die linke Seite etwa $0.866$ beträgt, die rechte dagegen $1$.

Ein einziges Gegenbeispiel genügt, um eine Identität zu widerlegen, aber keine noch so große Zahl passender Beispiele kann sie beweisen. Zwei Terme können zufällig bei vielen Winkeln übereinstimmen. Deshalb ist der Beweis des Rechners algebraisch, und deshalb ist das Prüfen einiger Werte an einem Graphen eine Kontrolle und kein Beweis.

Terme vereinfachen

Ohne Gleichheitszeichen schreibt der Rechner den Term mit Sinus und Kosinus, fasst alles zu einem einzigen Bruch zusammen, verwendet den trigonometrischen Pythagoras und kürzt gemeinsame Faktoren. Danach vergleicht er das Ergebnis mit bekannten Formen. Bei $\tan x + \cot x$ wird der Bruch $\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x\cos x}$ zu $\frac{1}{\sin x\cos x}$, den er als $\sec x\csc x$ erkennt.

In der Trigonometrie gibt es fast nie die eine richtige vereinfachte Form. $\sec x\csc x$, $\frac{1}{\sin x\cos x}$ und $\frac{2}{\sin 2x}$ sind alle gleichwertig. Der Rechner wählt eine übliche kompakte Form, und die Schritte zeigen die Zwischenbrüche, sodass du bei der Version aufhören kannst, die dein Kurs verlangt.

Einen Beweis von Hand aufschreiben

Viele Lehrkräfte verlangen, eine Seite in die andere umzuformen, statt die Seiten zu subtrahieren, weil das gleichzeitige Bearbeiten beider Seiten unzulässige Schritte wie das Quadrieren verbergen kann. Die Schritte des Rechners lassen sich direkt in diesen Stil übertragen. Beginne mit der komplizierteren Seite, schreibe sie mit Sinus und Kosinus, fasse die Brüche zusammen, wende $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ in der passenden Richtung an und vereinfache, bis du bei der anderen Seite ankommst.

Nützliche Kniffe sind das Erweitern mit dem konjugierten Term, etwa beim Beweis von $\frac{1 - \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{1 + \cos x}$, das Faktorisieren einer Differenz zweier Quadrate wie bei $\sin^4 x - \cos^4 x = (\sin^2 x - \cos^2 x)(\sin^2 x + \cos^2 x)$ und das Aufteilen eines Bruchs in mehrere Summanden. Der Rechner bestätigt, dass beide Identitäten wahr sind, sodass du dich darauf konzentrieren kannst, die Begründung klar darzustellen.