Trigonometrie

Der Sinussatz, einschließlich des mehrdeutigen Falls

Q: Gilt der Sinussatz auch für rechtwinklige Dreiecke?

Ja. Mit C = 90^circ ist sin C = 1, also a/(sin A) = c, was sich zur üblichen Definition sin A = a/c umformen lässt. Im rechtwinkligen Dreieck sind die Grunddefinitionen meist schneller, aber der Sinussatz liefert dieselben Ergebnisse.

Q: Warum ergibt der Fall SSW manchmal zwei Dreiecke?

Die Gleichung sin B = k mit 0 < k < 1 liefert einen spitzen Winkel und seinen stumpfen Supplementwinkel, die denselben Sinus haben. Bleibt der bekannte Winkel plus der stumpfe Kandidat unter 180^circ, existieren beide Dreiecke.

Q: Was bedeutet 2R im Sinussatz?

Jeder Quotient a/(sin A) ist gleich dem Durchmesser des Kreises durch die drei Ecken. Zum Beispiel liefert ein Dreieck mit a = 10 und A = 30^circ den Wert 10/0.5 = 20: Sein Umkreis hat also den Radius 10.

Q: Kann man mit dem Sinussatz einen Winkel bestimmen?

Ja, indem man sin B = (bsin A)/a löst und dann den Arkussinus anwendet. Denk daran, dass der Arkussinus nur spitze Winkel liefert: Prüfe, ob auch der stumpfe Supplementwinkel passt.

Q: Wie erkenne ich, welcher Fall bei meiner Aufgabe vorliegt?

Notiere die drei bekannten Angaben in der Reihenfolge, in der sie um das Dreieck herum liegen. Zwei Winkel und eine beliebige Seite sind WWS oder WSW, und der Sinussatz löst die Aufgabe direkt. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind SWS, drei Seiten SSS; beide verlangen zuerst den Kosinussatz. Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind SSW, der mehrdeutige Fall, bei dem du prüfen musst, ob es null, ein oder zwei Dreiecke gibt.

Von MathSolver Pro Editorial Team · Veröffentlicht am 25. Oktober 2026

Der Sinussatz besagt, dass in jedem Dreieck jede Seite geteilt durch den Sinus des gegenüberliegenden Winkels dieselbe Zahl ergibt. Mit ihm löst man ein Dreieck, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind, und mit etwas Vorsicht auch, wenn zwei Seiten und der Gegenwinkel einer davon bekannt sind.

Die Formel und die Bezeichnungen

Bezeichne die Winkel eines Dreiecks mit $A$ , $B$ und $C$ und die jeweils gegenüberliegenden Seiten mit $a$ , $b$ und $c$ . Die Gegenseite eines Winkels ist diejenige, die ihn nicht berührt. Mit dieser Bezeichnung lautet der Sinussatz:

\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R

Dabei ist $R$ der Radius des Kreises durch die drei Ecken, des sogenannten Umkreises. Man verwendet nie mehr als zwei der drei Brüche gleichzeitig: Der Satz ist in der Praxis eine Verhältnisgleichung zwischen einer Seite, ihrem Gegenwinkel, einer weiteren Seite und deren Gegenwinkel. Man kann ihn auch umgekehrt schreiben, $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$ , was praktischer ist, wenn ein Winkel gesucht ist.

Der Satz gilt für jedes Dreieck, nicht nur für rechtwinklige, und gehört zur Trigonometrie im allgemeinen Dreieck. In einem rechtwinkligen Dreieck mit $C = 90^\circ$ reduziert er sich auf die bekannte Beziehung $\sin A = \frac{a}{c}$ , denn $\sin 90^\circ = 1$ .

Warum der Sinussatz gilt

Zeichne die Höhe auf die Seite $c$ von der Ecke $C$ aus und nenne ihre Länge $h$ . Das Dreieck zerfällt in zwei rechtwinklige Dreiecke. In dem mit dem Winkel $A$ ist $b$ die Hypotenuse, also $h = b\sin A$ . In dem mit dem Winkel $B$ ist $a$ die Hypotenuse, also $h = a\sin B$ .

Beide Ausdrücke beschreiben dieselbe Höhe, also gilt $b\sin A = a\sin B$ . Teilt man beide Seiten durch $\sin A\sin B$ , erhält man $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ . Wiederholt man die Überlegung mit der Höhe von einer anderen Ecke, kommt die Seite $c$ hinzu. Ist der Winkel $A$ stumpf, liegt der Höhenfußpunkt außerhalb des Dreiecks, aber dieselben Gleichungen gelten weiter, weil $\sin(180^\circ - A) = \sin A$ .

Dieselbe Höhe liefert die Flächenformel. Der Flächeninhalt ist die Hälfte von Grundseite mal Höhe, also mit Grundseite $c$ und Höhe $b\sin A$ :

\text{Fläche} = \tfrac{1}{2}bc\sin A = \tfrac{1}{2}ac\sin B = \tfrac{1}{2}ab\sin C

Zum Beispiel hat ein Dreieck, in dem zwei Seiten der Länge 8 und 11 einen Winkel von $50^\circ$ einschließen, den Flächeninhalt $\frac{1}{2}(8)(11)\sin 50^\circ \approx 33.71$ Flächeneinheiten.

Wann man ihn nutzt: die Fälle WWS und WSW

Der Sinussatz braucht mindestens ein vollständiges Paar: eine Seite und ihren Gegenwinkel. Kennst du zwei Winkel, kennst du auch den dritten, denn die Winkelsumme im Dreieck beträgt $180^\circ$ . Daher lässt sich jede Aufgabe mit zwei Winkeln und einer Seite mit dem Sinussatz lösen. Diese Fälle heißen WWS (Winkel, Winkel, Seite) und WSW (Winkel, Seite, Winkel).

Beispiel 1 (WWS): $A = 40^\circ$ , $B = 60^\circ$ , $a = 10$

Dritter Winkel: $C = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ$ .
Berechne $b$ : $\frac{b}{\sin 60^\circ} = \frac{10}{\sin 40^\circ}$ , also $b = \frac{10\sin 60^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 13.47$ .
Berechne $c$ : $c = \frac{10\sin 80^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 15.32$ .
Plausibilitätsprüfung: Der größte Winkel, $80^\circ$ , liegt der größten Seite, 15,32, gegenüber.

Beispiel 2 (WSW): $A = 35^\circ$ , $C = 75^\circ$ , $b = 20$

Die bekannte Seite liegt zwischen den beiden bekannten Winkeln. Berechne zuerst $B = 180^\circ - 35^\circ - 75^\circ = 70^\circ$ , womit das Paar $b$ , $B$ vollständig ist.
$a = \frac{20\sin 35^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 12.21$ .
$c = \frac{20\sin 75^\circ}{\sin 70^\circ} \approx 20.56$ .

Rechne immer mit der gegebenen Seite und nicht mit einer Seite, die du berechnet und gerundet hast. So vermeidest du, dass sich Rundungsfehler aufsummieren.

Der mehrdeutige Fall (SSW)

Sind zwei Seiten und der Gegenwinkel einer davon bekannt, beschreiben die Angaben womöglich gar kein Dreieck, genau eines oder zwei verschiedene. Der Grund: Ein spitzer Winkel und sein Supplementwinkel haben denselben Sinus, daher liefert $\sin B = k$ zwei Kandidaten, $B$ und $180^\circ - B$ , die beide gültig sein können.

Sei der Winkel $A$ spitz, $a$ seine Gegenseite und $b$ die andere bekannte Seite. Berechne die Höhe $h = b\sin A$ . Dann gilt:

Ist $a < h$ , ist die Seite zu kurz, um die Grundlinie zu erreichen: kein Dreieck.
Ist $a = h$ , erreicht sie die Grundlinie gerade so: ein rechtwinkliges Dreieck.
Ist $h < a < b$ , kann sie in zwei Lagen einschwenken: zwei Dreiecke.
Ist $a \ge b$ , passt nur eine Lage: ein Dreieck.

Ist $A$ stumpf, gibt es ein Dreieck, wenn $a > b$ , und sonst keines, denn die Seite gegenüber dem stumpfen Winkel muss die längste sein.

Beispiel 3: zwei Dreiecke mit $A = 30^\circ$ , $a = 6$ , $b = 10$

Höhe: $h = 10\sin 30^\circ = 5$ . Da $5 < 6 < 10$ , sind zwei Dreiecke zu erwarten.
$\sin B = \frac{10\sin 30^\circ}{6} = \frac{5}{6} \approx 0.8333$ , also $B \approx 56.44^\circ$ oder $B \approx 123.56^\circ$ .
Erstes Dreieck: $C \approx 93.56^\circ$ und $c = \frac{6\sin C}{\sin 30^\circ} \approx 11.98$ .
Zweites Dreieck: $C \approx 26.44^\circ$ und $c \approx 5.34$ .

Beispiel 4: kein Dreieck, dann genau ein Dreieck

Mit $A = 30^\circ$ , $a = 4$ , $b = 10$ : $\sin B = \frac{10(0.5)}{4} = 1.25$ . Ein Sinus kann nicht größer als 1 sein: Es gibt kein Dreieck.
Mit $A = 30^\circ$ , $a = 12$ , $b = 10$ : $\sin B = \frac{5}{12}$ , also $B \approx 24.62^\circ$ oder $155.38^\circ$ .
Die zweite Möglichkeit entfällt, weil $30^\circ + 155.38^\circ > 180^\circ$ . Ein Dreieck: $C \approx 125.38^\circ$ , $c \approx 19.57$ .

Eine Vermessungsaufgabe

Vermesser nutzen den Sinussatz, um Entfernungen zu bestimmen, die sie nicht ablaufen können. Zwei Punkte $P$ und $Q$ an einem Flussufer liegen 100 m auseinander. Am gegenüberliegenden Ufer steht ein Baum $T$ . Der Winkel bei $P$ zwischen dem Ufer und der Sichtlinie zum Baum beträgt $52^\circ$ , bei $Q$ beträgt er $71^\circ$ .

Beispiel 5: Breite des Flusses

Winkel am Baum: $180^\circ - 52^\circ - 71^\circ = 57^\circ$ , gegenüber der bekannten Standlinie von 100 m.
Entfernung von $Q$ zum Baum, gegenüber dem Winkel von $52^\circ$ : $QT = \frac{100\sin 52^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 93.96$ m.
Entfernung von $P$ zum Baum: $PT = \frac{100\sin 71^\circ}{\sin 57^\circ} \approx 112.74$ m.
Breite, also der senkrechte Abstand des Baums vom Ufer: $QT\sin 71^\circ \approx 88.84$ m. Mit $PT\sin 52^\circ$ erhält man denselben Wert, was als Kontrolle dient.

Dieselbe Idee der Triangulation, wiederholt in riesigen Dreiecksnetzen, ermöglichte die Kartierung ganzer Länder lange vor der Satellitenortung und steckt bis heute darin, wie GPS-Empfänger und Mobilfunknetze aus Winkeln und Entfernungen eine Position schätzen.

Sinussatz oder Kosinussatz?

Sieh dir die Angaben an. Hast du eine Seite und ihren Gegenwinkel sowie eine weitere Angabe, nimm den Sinussatz. Hast du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel (SWS) oder alle drei Seiten (SSS), gibt es kein vollständiges Paar: Beginne dann mit dem Kosinussatz. Nach einer Anwendung des Kosinussatzes hast du meist ein Paar, und der Sinussatz kann den Rest erledigen; sicherer ist es aber, zuerst den größten Winkel mit dem Kosinussatz zu berechnen, um die Mehrdeutigkeit des Arkussinus zu vermeiden.

Den vollständigen Entscheidungsweg, Fall für Fall, findest du in unserer Anleitung zum Lösen von Dreiecken. Was die Winkelwerte betrifft, erklärt der Einheitskreis, warum $\sin\theta = \sin(180^\circ - \theta)$ gilt, und das ist der Ursprung des mehrdeutigen Falls.

Häufige Fehler

Eine Seite einem Winkel zuordnen, dem sie nicht gegenüberliegt. Zeichne vorher eine beschriftete Skizze.
Im Fall SSW die zweite Lösung, $180^\circ - B$ , vergessen.
Eine zweite Lösung akzeptieren, bei der die Winkelsumme $180^\circ$ übersteigt.
Den Taschenrechner im Bogenmaß-Modus mit Winkeln in Grad benutzen.
Zwischenwinkel zu stark runden, was die Endergebnisse für die Seiten deutlich verändern kann.

Eine schnelle Plausibilitätsprüfung deckt die meisten Fehler auf: Die längste Seite muss dem größten Winkel gegenüberliegen und die kürzeste dem kleinsten. Der Kosinussatz-Rechner löst jedes Dreieck aus drei Angaben und zeigt im mehrdeutigen Fall beide Lösungen: So kannst du deine Rechnung kontrollieren.

Häufige Fragen

Gilt der Sinussatz auch für rechtwinklige Dreiecke?

Ja. Mit $C = 90^\circ$ ist $\sin C = 1$ , also $\frac{a}{\sin A} = c$ , was sich zur üblichen Definition $\sin A = \frac{a}{c}$ umformen lässt. Im rechtwinkligen Dreieck sind die Grunddefinitionen meist schneller, aber der Sinussatz liefert dieselben Ergebnisse.

Warum ergibt der Fall SSW manchmal zwei Dreiecke?

Die Gleichung $\sin B = k$ mit $0 < k < 1$ liefert einen spitzen Winkel und seinen stumpfen Supplementwinkel, die denselben Sinus haben. Bleibt der bekannte Winkel plus der stumpfe Kandidat unter $180^\circ$ , existieren beide Dreiecke.

Was bedeutet 2R im Sinussatz?

Jeder Quotient $\frac{a}{\sin A}$ ist gleich dem Durchmesser des Kreises durch die drei Ecken. Zum Beispiel liefert ein Dreieck mit $a = 10$ und $A = 30^\circ$ den Wert $\frac{10}{0.5} = 20$ : Sein Umkreis hat also den Radius 10.

Kann man mit dem Sinussatz einen Winkel bestimmen?

Ja, indem man $\sin B = \frac{b\sin A}{a}$ löst und dann den Arkussinus anwendet. Denk daran, dass der Arkussinus nur spitze Winkel liefert: Prüfe, ob auch der stumpfe Supplementwinkel passt.

Wie erkenne ich, welcher Fall bei meiner Aufgabe vorliegt?

Notiere die drei bekannten Angaben in der Reihenfolge, in der sie um das Dreieck herum liegen. Zwei Winkel und eine beliebige Seite sind WWS oder WSW, und der Sinussatz löst die Aufgabe direkt. Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel sind SWS, drei Seiten SSS; beide verlangen zuerst den Kosinussatz. Zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel sind SSW, der mehrdeutige Fall, bei dem du prüfen musst, ob es null, ein oder zwei Dreiecke gibt.

MathSolver Pro Editorial Team

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