Der Kosinussatz mit Beispielen erklärt

Die Formel

Bezeichne das Dreieck wie üblich: Winkel $A$, $B$, $C$ und Gegenseiten $a$, $b$, $c$. Der Kosinussatz hat drei Fassungen, eine für jede Seite, und alle folgen demselben Muster:

Lies es so: Das Quadrat einer Seite ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen, minus einem Korrekturterm. Der Winkel in diesem Term liegt der Seite auf der linken Seite gegenüber und ist damit zugleich der Winkel zwischen den beiden Seiten auf der rechten Seite. Für $C = 90^\circ$ ist $\cos C = 0$, und die Korrektur verschwindet: Es bleibt $c^2 = a^2 + b^2$. Der Satz des Pythagoras ist also ein Sonderfall.

Stellt man nach dem Kosinus um, erhält man die Form zur Berechnung von Winkeln:

Ein kurzer Beweis mit Koordinaten

Lege die Ecke $C$ in den Ursprung und die Seite $a$ auf die positive x-Achse: Die Ecke $B$ liegt dann bei $(a, 0)$. Die Ecke $A$ hat vom Ursprung den Abstand $b$ in Richtung des Winkels $C$: Ihre Koordinaten sind also $(b\cos C, b\sin C)$.

Die Seite $c$ ist der Abstand von $A$ zu $B$. Nach der Abstandsformel gilt $c^2 = (b\cos C - a)^2 + (b\sin C)^2$. Ausmultipliziert ergibt das $b^2\cos^2 C - 2ab\cos C + a^2 + b^2\sin^2 C$, und wegen $\cos^2 C + \sin^2 C = 1$ wird daraus $a^2 + b^2 - 2ab\cos C$. Der Beweis gilt für spitze wie für stumpfe Winkel $C$, weil die Koordinaten die Vorzeichen automatisch berücksichtigen.

Dieselbe Identität taucht in Vektorform auf, $|\mathbf{u} - \mathbf{v}|^2 = |\mathbf{u}|^2 + |\mathbf{v}|^2 - 2\,\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}$, und deshalb lässt sich mit dem Skalarprodukt der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen.

Eine Seite bestimmen: zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel

Sind zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel bekannt (SWS), kann man mit dem Sinussatz nicht beginnen, weil keine Seite mit ihrem Gegenwinkel gepaart ist. Der Kosinussatz liefert die dritte Seite direkt.

Die Winkel bestimmen: alle drei Seiten

Sind alle drei Seiten bekannt (SSS), nimm für jeden Winkel die Kosinusform. Beginne mit dem größten Winkel, der der längsten Seite gegenüberliegt. Ist er stumpf, ist sein Kosinus negativ, und der Arkuskosinus behandelt das richtig, denn er liefert Winkel von $0^\circ$ bis $180^\circ$. Ist der größte Winkel bekannt, sind die beiden anderen zwangsläufig spitz: Dann könnte sogar der Sinussatz ohne jede Mehrdeutigkeit den Rest erledigen.

Können die drei Längen kein Dreieck bilden, merkt man es an der Formel: Der Kosinus liegt außerhalb von $[-1, 1]$. Bei den Seiten 3, 4 und 8 hätte der Winkel gegenüber 8 den Wert $\cos = \frac{9 + 16 - 64}{24} = -1.625$, was unmöglich ist, im Einklang mit der Dreiecksungleichung $3 + 4 < 8$.

Spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig ohne Taschenrechner

Das Vorzeichen von $a^2 + b^2 - c^2$ ist dasselbe wie das von $\cos C$. Ist $c$ die längste Seite, ergibt sich eine schnelle Einteilung:

• $c^2 < a^2 + b^2$: Der größte Winkel ist spitz, das Dreieck also spitzwinklig.
• $c^2 = a^2 + b^2$: Das Dreieck ist rechtwinklig.
• $c^2 > a^2 + b^2$: Das Dreieck ist stumpfwinklig.

Bei den Seiten 5, 7 und 10 gilt $100 > 74$: Das Dreieck ist stumpfwinklig, wie Beispiel 3 bestätigt hat. Bei 6, 8 und 9 gilt $81 < 100$: Es ist spitzwinklig.

Der Flächeninhalt aus drei Seiten: die Heronsche Formel

Kombiniert man den Kosinussatz mit der Flächenformel $\frac{1}{2}ab\sin C$, gelangt man zur Heronschen Formel, die nur die Seitenlängen verwendet. Sei $s = \frac{a + b + c}{2}$ der halbe Umfang. Dann gilt:

Bei den Seiten 5, 7 und 10 ist $s = 11$, und der Flächeninhalt beträgt $\sqrt{11 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 1} = \sqrt{264} \approx 16.25$. Zur Kontrolle liefert $\frac{1}{2}(5)(7)\sin 111.80^\circ$ dasselbe Ergebnis, 16,25.

Die Wahl zwischen den beiden Sätzen

Nimm den Kosinussatz in den Fällen SWS und SSS, den beiden Fällen ohne ein Paar aus Seite und Gegenwinkel. Nimm den Sinussatz, wenn du eine Seite und ihren Gegenwinkel hast. Bei gemischten Aufgaben kommt meist zuerst der Kosinussatz zum Einsatz, und der Sinussatz schließt ab. Die Anleitung zum Lösen von Dreiecken fasst alle Fälle an einem Ort zusammen.

Ein praktischer Vorteil des Kosinussatzes ist, dass er für einen Winkel nie eine mehrdeutige Antwort liefert, denn jeder Kosinus zwischen $-1$ und 1 gehört zu genau einem Winkel zwischen $0^\circ$ und $180^\circ$. Der Sinussatz dagegen unterscheidet einen spitzen Winkel nicht von seinem stumpfen Supplementwinkel. Deshalb empfehlen viele Lehrbücher, den größten Winkel über den Kosinus zu berechnen, wann immer ein stumpfer Winkel möglich ist.

Häufige Fehler

• Zuerst $a^2 + b^2 - 2ab$ berechnen und dann mit $\cos C$ multiplizieren. Das Produkt $2ab\cos C$ muss vor der Subtraktion berechnet werden.
• Einen Winkel verwenden, der nicht von den beiden gegebenen Seiten eingeschlossen wird.
• Bei der Suche nach einer Seite die abschließende Quadratwurzel vergessen.
• Grad und Bogenmaß am Taschenrechner vermischen.
• $c$ zu früh runden und diesen gerundeten Wert dann zur Bestimmung der Winkel verwenden.

Der Kosinussatz-Rechner löst die Fälle SWS, SSS und weitere und zeigt dabei jede Einsetzung. Um die exakten Kosinuswerte der besonderen Winkel zu wiederholen, nutze den Einheitskreis-Rechner.

Wo der Kosinussatz verwendet wird

Jede Situation mit zwei bekannten Entfernungen und dem Winkel dazwischen ist ein Fall für den Kosinussatz. Navigatoren berechnen damit, wie weit ein Schiff nach zwei Teilstrecken mit unterschiedlichem Kurs vom Hafen entfernt ist. Ingenieure bestimmen damit die Länge einer Strebe oder eines Seils, das die Enden zweier Träger verbindet, die einen bekannten Winkel bilden. In der Robotik ergibt sich der Winkel, den jedes Gelenk eines Arms mit zwei Segmenten einnehmen muss, um einen Punkt zu erreichen, durch Umstellen des Kosinussatzes nach einem Winkel, da die Längen der beiden Segmente und die Entfernung zum Ziel bekannt sind.

Dieselbe Formel misst in der Datenwissenschaft, wie ähnlich sich zwei Zahlenlisten sind. Fasst man jede Liste als Vektor auf, heißt der Kosinus des Winkels zwischen ihnen, berechnet über das Skalarprodukt, Kosinus-Ähnlichkeit; sie wird in Suchmaschinen und Empfehlungssystemen eingesetzt. Die Geometrie ist dieselbe wie im Dreieck; nur die Zahl der Dimensionen ändert sich.

Gelöste Übungsaufgaben

1. Die Seiten 4 und 6 schließen einen Winkel von $120^\circ$ ein. Bestimme die dritte Seite. Lösung: $\sqrt{16 + 36 + 24} = \sqrt{76} \approx 8.72$, da $\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$.
2. Bestimme den größten Winkel des Dreiecks mit den Seiten 7, 8 und 13. Lösung: $\cos C = \frac{49 + 64 - 169}{112} = -\frac{1}{2}$, der Winkel beträgt also genau $120^\circ$.
3. Ist das Dreieck mit den Seiten 9, 12 und 15 spitzwinklig, rechtwinklig oder stumpfwinklig? Lösung: $81 + 144 = 225 = 15^2$, es ist also rechtwinklig.
4. Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Seiten 13, 14 und 15. Lösung: $s = 21$, Flächeninhalt $= \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = 84$.

Häufige Fragen