Abstand zweier Punkte berechnen — Rechner mit Abstandsformel

Q: Wie lautet die Abstandsformel?

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2). Sie liefert die Länge der Strecke, die die beiden Punkte verbindet.

Q: Warum ist das Ergebnis eine Wurzel?

Wenn Δ x^2 + Δ y^2 keine Quadratzahl ist, ist der exakte Abstand irrational. Der Rechner vereinfacht die Wurzel und gibt auch ihren Dezimalwert an.

Q: Funktioniert die Abstandsformel auch im Raum?

Ja, mit einem dritten Summanden: d = √(Δ x^2 + Δ y^2 + Δ z^2). Dieser Rechner arbeitet mit Punkten der Ebene, gib also nur die x- und y-Koordinaten ein.

Über den Abstandsrechner für zwei Punkte

Die Abstandsformel ist der Satz des Pythagoras, angewendet auf Koordinaten. Die waagerechte und die senkrechte Differenz zwischen zwei Punkten bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, und der Abstand ist die Hypotenuse.

Dieser Rechner vereinfacht die Wurzel exakt: Von $(−2, 1)$ nach $(3, −3)$ liefert er $\sqrt{41}$ und von $(0,0)$ nach $(1, 3)$ liefert er $\sqrt{10}$ , nicht bloß eine gerundete Dezimalzahl.

Was ist die Abstandsformel?

Die Abstandsformel liefert die Länge der Strecke, die zwei Punkte eines Koordinatensystems verbindet. Sind die Punkte $(x_1, y_1)$ und $(x_2, y_2)$ , so ist die waagerechte Differenz $x_2 - x_1$ und die senkrechte Differenz $y_2 - y_1$ . Gezeichnet bilden diese beiden Differenzen die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Hypotenuse die gesuchte Strecke ist.

Der Satz des Pythagoras besagt dann, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate ist, und die Wurzel liefert den Abstand. Das Ergebnis ist immer null oder positiv, hängt nicht von der Reihenfolge der Punkte ab und hat dieselbe Einheit wie die Koordinaten.

Damit bestimmst du zum Beispiel die Seiten eines Dreiecks auf Karopapier, den Radius eines Kreises aus Mittelpunkt und einem Kreispunkt oder die Luftlinie zwischen zwei Orten auf einer Karte.

So benutzt du den Abstandsrechner für zwei Punkte

Gib den ersten Punkt (x₁, y₁) ein.
Gib den zweiten Punkt (x₂, y₂) ein.
Starte die Berechnung, um die Differenzen, ihre Quadrate, die Summe und die vereinfachte Wurzel zu sehen.

Formeln

Abstandsformel

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Satz des Pythagoras

a^2 + b^2 = c^2

Mittelpunkt einer Strecke

M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\ \frac{y_1 + y_2}{2}\right)

Durchgerechnetes Beispiel: (1, 2) und (4, 6)

Das Beispiel misst den Abstand von (1, 2) nach (4, 6). Die Differenzen sind $\Delta x = 3$ und $\Delta y = 4$ , ihre Quadrate 9 und 16 und die Summe 25, also $d = \sqrt{25} = 5$ : das bekannte rechtwinklige 3-4-5-Dreieck. Der Rechner gibt auch den Mittelpunkt (2,5 | 4) an und prüft, dass $d^2$ gleich $\Delta x^2 + \Delta y^2$ ist.

Die folgende Lösung wird von derselben Rechen-Engine erzeugt wie der Rechner oben.

Ergebnis

d = 5

So haben wir deine Aufgabe verstanden

Den geradlinigen (euklidischen) Abstand zwischen zwei Punkten der Ebene bestimmen.

Lösungsweg Schritt für Schritt

Die Punkte benennen
$(x_1, y_1) = (1, 2),\quad (x_2, y_2) = (4, 6)$
Die waagerechte und die senkrechte Differenz bestimmen
$\Delta x = 3,\quad \Delta y = 4$
Die Differenzen quadrieren und addieren
$(3)^2 + (4)^2 = 9 + 16 = 25$
Die Wurzel ziehen
$d = \sqrt{25} = 5$
Mittelpunkt (Mittelwert der Koordinaten)
$M = \left(\frac{1 + 4}{2}, \frac{2 + 6}{2}\right) = (2.5, 4)$

Verwendete Formeln

Abstandsformel
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Mittelpunktformel
$M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Die Abstandsformel ist der Satz des Pythagoras, angewendet auf das rechtwinklige Dreieck, dessen Katheten die waagerechten und senkrechten Differenzen der Punkte sind.

Probe

d² = 25 stimmt mit Δx² + Δy² = 25 überein

Ausführliche Erklärung

Exakte Wurzeln

Die meisten Punktepaare haben keinen ganzzahligen Abstand. Von (−2, 1) nach (3, −3) sind die Differenzen 5 und −4, die Summe der Quadrate ist 41, und da 41 keinen quadratischen Faktor hat, ist die exakte Antwort $\sqrt{41} \approx 6.4031242$ . Von (1, 1) nach (7, 7) ist die Summe der Quadrate 72, und weil $72 = 36 \times 2$ ist, vereinfacht der Rechner die Wurzel zu $6\sqrt2 \approx 8.4852814$ . Die exakte Wurzel zu behalten ist wichtig, wenn der Abstand später weiterverwendet wird, etwa für einen Umfang oder einen Flächeninhalt.

Abstand, Mittelpunkt und Kreise

Der Mittelpunkt ist der Mittelwert der Koordinaten und liegt genau in der Mitte der Strecke: Sein Abstand zu jedem Endpunkt ist $\frac{d}{2}$ . Die Abstandsformel ist außerdem die verkleidete Kreisgleichung: Die Punkte im Abstand $r$ von einem Mittelpunkt $(h, k)$ erfüllen $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ . Um zu entscheiden, ob ein Punkt innerhalb, außerhalb oder auf einem Kreis liegt, vergleichst du seinen Abstand zum Mittelpunkt mit dem Radius.

Warum das Quadrieren das Vorzeichen verschwinden lässt

Eine Differenz wie $\Delta y = -4$ kann je nach Reihenfolge der Punkte negativ sein, eine Länge aber nie. Durch das Quadrieren werden alle Differenzen positiv oder null, also ergeben $(-4)^2$ und $4^2$ beide 16, und die abschließende Wurzel liefert eine positive Zahl. Deshalb ändert das Vertauschen der Punkte das Ergebnis nie. Aus demselben Grund reicht es nicht, $|\Delta x| + |\Delta y|$ zu addieren: Das ist der Weg entlang eines Straßenrasters, der länger ist als die Luftlinie, außer wenn eine der Differenzen null ist.

Häufige Fehler

Vergessen, dass das Quadrat einer negativen Differenz positiv ist.
Aus jedem Summanden einzeln die Wurzel ziehen: $\sqrt{a^2 + b^2} \neq a + b$ .
In einer Subtraktion einen x-Wert mit einem y-Wert mischen.
Die Koordinaten subtrahieren, aber vergessen, vor dem Addieren zu quadrieren.
Die Wurzel zu früh runden und den gerundeten Wert in späteren Schritten weiterverwenden.

Tipps

Achte auf pythagoreische Tripel wie 3-4-5 und 5-12-13, um ganzzahlige Abstände zu erkennen.
Ein Abstand ist nie negativ und nur dann null, wenn die Punkte zusammenfallen.
Vereinfache $\sqrt{n}$ , indem du den größten quadratischen Faktor herausziehst: $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ .
Waagerechte oder senkrechte Strecken brauchen keine Formel: Der Abstand ist einfach die Differenz der Koordinate, die sich ändert.
Um zwei Längen zu vergleichen, vergleiche die quadrierten Abstände, statt die Wurzel zu ziehen.
Behalte die exakte Form wie $\sqrt{41}$ bis zum letzten Schritt und runde nur das Endergebnis.

Häufige Fragen

Wie lautet die Abstandsformel?

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ . Sie liefert die Länge der Strecke, die die beiden Punkte verbindet.

Was hat sie mit dem Satz des Pythagoras zu tun?

Die Differenzen in x und in y bilden die beiden Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks; der Abstand ist die Hypotenuse, also $d^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Warum ist das Ergebnis eine Wurzel?

Wenn $\Delta x^2 + \Delta y^2$ keine Quadratzahl ist, ist der exakte Abstand irrational. Der Rechner vereinfacht die Wurzel und gibt auch ihren Dezimalwert an.

Spielt die Reihenfolge, in der ich die Punkte eingebe, eine Rolle?

Nein. Jede Differenz wird quadriert, also ergibt das Vertauschen der Punkte denselben Abstand.

Kann ich negative oder dezimale Koordinaten verwenden?

Ja. Negative Werte und Dezimalzahlen werden bis zur abschließenden Wurzel exakt behandelt.

Wie finde ich zusätzlich den Mittelpunkt der Strecke?

Bilde den Mittelwert der x-Werte und den der y-Werte. Der Rechner zeigt den Mittelpunkt neben dem Abstand an.

Wie vereinfache ich die Wurzel eines Abstands?

Ziehe den größten quadratischen Faktor der Zahl unter der Wurzel heraus. Der Abstand von (1, 1) nach (7, 7) ist $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt2$ .

Funktioniert die Abstandsformel auch im Raum?

Ja, mit einem dritten Summanden: $d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2}$ . Dieser Rechner arbeitet mit Punkten der Ebene, gib also nur die x- und y-Koordinaten ein.

Wie prüfe ich, ob drei Punkte ein rechtwinkliges Dreieck bilden?

Berechne mit der Abstandsformel die Längen der drei Seiten und prüfe, ob die Summe der Quadrate der beiden kürzeren Seiten gleich dem Quadrat der längsten ist. Wenn ja, ist das Dreieck rechtwinklig (Umkehrung des Satzes des Pythagoras).

Probiere den Abstandsrechner für zwei Punkte aus

Gib zwei Punkte ein und erhalte den exakten Abstand, seinen Dezimalwert und den Mittelpunkt Schritt für Schritt.

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